2022考研数学一押题卷｜含答案详解

2022考研数学一押题卷｜含答案详解1.设函数$f(x)$在$(a,b)$内二阶可导，且$f'(x)>0$，$f''(x)<0$，则曲线$y=f(x)$在$(a,b)$内的图形特征是（）A.单调递增且下凸B.单调递增且上凸C.单调递减且下凸D.单调递减且上凸2.若级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，且$0<b_n\leqa_n$，则$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$（）A.一定收敛B.一定发散C.可能收敛也可能发散D.条件收敛3.设$D=\{(x,y)\midx^2+y^2\leq1\}$，则$\iint_De^{\sqrt{x^2+y^2}}\mathrm{d}\sigma$的值等于（）A.$\pi(e-1)$B.$2\pi(e-1)$C.$\pi(e^2-1)$D.$2\pi(e^2-1)$4.已知向量$\mathbf{a}=(1,2,3)$，$\mathbf{b}=(0,-1,1)$，则$\mathbf{a}\times\mathbf{b}$与$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$的值分别为（）A.$(5,-1,-1),-1$B.$(-5,1,1),-1$C.$(5,-1,-1),5$D.$(-5,1,1),5$5.设函数$g(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$g(a)=g(b)=0$，则存在$\xi\in(a,b)$，使得$g'(\xi)=0$的充分条件是（）A.$g(x)$在$[a,b]$上可导B.$g(x)$在$[a,b]$上连续C.$g(x)$在$(a,b)$内单调D.$g(x)$在$(a,b)$内存在极值6.设$y=\ln(\sinx)$，则$y''$的表达式为（）A.$\cotx$B.$-\cotx$C.$\csc^2x$D.$-\csc^2x$7.已知$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+fx)}{x}=5$，则$f(0)$的值为（）A.$5$B.$4$C.$-5$D.$-4$8.设函数$y=f(x)$由方程$\sin(xy)+\lny-x=1$确定，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$在$x=0$处的值为（）A.$1$B.$-1$C.$0$D.$2$9.微分方程$y''-4y'+4y=0$的通解为（）A.$(C_1+C_2x)e^{2x}$B.$C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}$C.$e^{2x}(C_1\cosx+C_2\sinx)$D.$C_1+C_2e^{2x}$10.设$A$为$3\times3$矩阵，且$|A|=2$，则$\left|2A^{-1}\right|$的值为（）A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{2}$C.$2$D.$4$1.$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sin^2x}$的值为________。2.曲线$y=x^3-3x^2+2$的拐点坐标为________。3.设$f(x)=\int_0^xt\sint\mathrm{d}t$，则$f'(\pi)$的值为________。4.若$z=\ln(x^2+y^2)$，则$\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}$在$(1,1)$处的值为________。5.设向量$\mathbf{a}=(1,1,1)$，$\mathbf{b}=(1,2,3)$，则$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$的值为________。6.行列式$\left|\begin{matrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{matrix}\right|$的值为________。1.（10分）计算不定积分$\int\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d}x$。2.（10分）设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且满足$\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=1$，证明：存在$x_0\in(0,1)$，使得$f(x_0)=x_0$。3.（10分）计算二重积分$\iint_D(x+y)\mathrm{d}\sigma$，其中$D$是由抛物线$y=x^2$和直线$y=1$所围成的区域。4.（10分）设向量组$\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\}$线性无关，且$\mathbf{b}_1=\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2$，$\mathbf{b}_2=\mathbf{a}_2+\mathbf{a}_3$，$\mathbf{b}_3=\mathbf{a}_3+\mathbf{a}_1$，证明：向量组$\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3\}$也线性无关。5.（10分）求解微分方程$y''-3y'+2y=\sinx$。6.（10分）设$A=\left[\begin{matrix}1&2&3\\2&1&2\\1&-1&1\end{matrix}\right]$，求$A$的特征值和特征向量。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A解析：$f'(x)>0$表明函数单调递增，$f''(x)<0$表明函数下凸，故选A。2.A解析：由比较判别法，$0<b_n\leqa_n$且$\suma_n$收敛，则$\sumb_n$收敛。3.A解析：极坐标变换，$D:\{(\rho,\theta)\mid0\leq\rho\leq1,0\leq\theta\leq2\pi\}$，$\iint_De^{\sqrt{x^2+y^2}}\mathrm{d}\sigma=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1e^{\rho}\rho\mathrm{d}\rho=\pi(e-1)$。4.B解析：$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(-5,1,1)$，$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=-1$。5.D解析：由罗尔定理的推论，$g(x)$在$(a,b)$内存在极值时必存在$\xi$使$g'(\xi)=0$。6.D解析：$y'=\cotx$，$y''=-\csc^2x$。7.B解析：$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+fx)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{fx}{x}=f(0)=5$，但$f(0)=4$。8.A解析：对方程两边求导，$x=0$时$y=1$，得$y'=\frac{1}{2}$。9.A解析：特征方程$r^2-4r+4=0$，通解为$(C_1+C_2x)e^{2x}$。10.B解析：$|kA|=k^n|A|$，$|2A^{-1}|=\frac{1}{2^3}|A|=\frac{1}{4}$。二、填空题1.$\frac{1}{2}$解析：等价无穷小替换，$\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{\sin^2x}=\frac{1}{2}$。2.$(1,0)$解析：$y'=3x^2-6x$，$y''=6x-6$，令$y''=0$得$x=1$，$y=0$。3.$\pi$解析：$f'(x)=x\sinx$，$f'(\pi)=\pi\sin\pi=0$。4.$1$解析：$\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{2x}{x^2+y^2}$，$\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=\frac{-4xy}{(x^2+y^2)^2}$，$(1,1)$处为$1$。5.$6$解析：$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1\cdot1+1\cdot2+1\cdot3=6$。6.$0$解析：行列式两行成比例，值为$0$。三、解答题1.解：令$t=x^2+1$，$\mathrm{d}t=2x\mathrm{d}x$，$\int\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}=\sqrt{t}+C=\sqrt{x^2+1}+C$。2.证明：令$F(x)=f(x)-x$，$F(0)=f(0)>0$，$F(1)=f(1)-1<0$，由零点定理，存在$x_0\in(0,1)$使$F(x_0)=0$，即$f(x_0)=x_0$。3.解：$D=\{(x,y)\mid-1\leqx\leq1,x^2\leqy\leq1\}$，$\iint_D(x+y)\mathrm{d}\sigma=\int_{-1}^1\mathrm{d}x\int_{x^2}^1(x+y)\mathrm{d}y=\frac{11}{15}$。4.证明：设$c_1\mathbf{b}_1+c_2\mathbf{b}_2+c_3\mathbf{b}_3=\mathbf{0}$，$c_1(\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2)+c_2(\mathbf{a}_2+\mathbf{a}_3)+c_3(\mathbf{a}_3+\mathbf{a}_1)=\mathbf{0}$，$(c_1+c_3)\mathbf{a}_1+(c_1+c_2)\mathbf{a}_2+(c_2+c_3)\mathbf{a}_3=\mathbf{0}$，由线性无关，$c_1=c_2=c_3=0$，故$\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3\}$线性无关。5.解：对应齐次方程通解为$C_1e^x+C_2e^{2x}$，非齐次特解设为$y^=Ax\sinx+Bx\cosx$，代入得$A=\frac{1}{2},B=0$，通解为$y=C_1e^x+C_2e^{2x}+\frac{1}{2}x\sinx$。6.解：特征方程$r^2-2r-3=0$，$r_1=3