第十章§10.8概率、统计与其他知识的交汇问题

第十章

§10.8概率、统计与其他知识的交汇问题重点解读有关概率、统计与其他知识相交汇的考题，能体现“返璞归真，支持课改；突破定势，考查真功”的命题理念，是每年高考的必考内容.近几年，将概率、统计问题与数列、函数、导数结合成为创新问题.例1

(2026·惠州模拟)小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的两颗骰子的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的两颗骰子的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷.(1)若第1次从小明开始，设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X，求随机变量X的分布列与数学期望.题型一概率、统计与数列的综合问题

例1

(2026·惠州模拟)小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的两颗骰子的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的两颗骰子的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷.(1)若第1次从小明开始，设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X，求随机变量X的分布列与数学期望.

X0123P例1

(2026·惠州模拟)小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的两颗骰子的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的两颗骰子的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷.(2)若第1次从小芳开始，求第n次由小芳投掷的概率Pn.

例1

(2026·惠州模拟)小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的两颗骰子的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的两颗骰子的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷.(2)若第1次从小芳开始，求第n次由小芳投掷的概率Pn.

概率问题与数列的交汇综合性较强，主要有以下类型：(1)求通项公式：关键是找出概率Pn或均值E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)求出通项公式.(2)求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和.(3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限.思维升华跟踪训练1

(2026·昭通模拟)某工厂一台自动加工机器有两种状态：正常和故障.每小时初检查机器状态，若正常，则继续工作；若故障，则进行检修.机器在正常状态下，1小时内都不会发生故障，1小时后故障的概率为0.2，故障时有两种检修方案：方案一是加急检修，1小时修复的概率为0.9，费用为9元/小时；方案二是常规检修，1小时修复的概率为0.6，费用为6元/小时.若1小时内无法修复，则下1小时继续采用同样的检修方案.机器正常工作1小时可收益10元.各小时机器状态是否正常相互独立.(1)假设机器初始状态为正常，若机器出现故障则随机选择检修方案，求2小时后机器正常工作的概率；

跟踪训练1

(2026·昭通模拟)某工厂一台自动加工机器有两种状态：正常和故障.每小时初检查机器状态，若正常，则继续工作；若故障，则进行检修.机器在正常状态下，1小时内都不会发生故障，1小时后故障的概率为0.2，故障时有两种检修方案：方案一是加急检修，1小时修复的概率为0.9，费用为9元/小时；方案二是常规检修，1小时修复的概率为0.6，费用为6元/小时.若1小时内无法修复，则下1小时继续采用同样的检修方案.机器正常工作1小时可收益10元.各小时机器状态是否正常相互独立.(2)假设机器初始状态为故障，并一直选择加急检修，求3小时内机器的总收益X的分布列和数学期望；解依题意，X的所有可能的值为-27，-8，11，X=-27的情况为第1个小时没有修复，第2个小时没有修复，第3个小时继续修，修了3个小时花费27元，从而P(X=-27)=0.1×0.1=0.01；X=11的情况为第1个小时检修好，花费9元，第2个小时正常工作，收益10元，第3个小时也正常工作，收益10元，共收益11元，从而P(X=11)=0.9×0.8=0.72；跟踪训练1

(2026·昭通模拟)某工厂一台自动加工机器有两种状态：正常和故障.每小时初检查机器状态，若正常，则继续工作；若故障，则进行检修.机器在正常状态下，1小时内都不会发生故障，1小时后故障的概率为0.2，故障时有两种检修方案：方案一是加急检修，1小时修复的概率为0.9，费用为9元/小时；方案二是常规检修，1小时修复的概率为0.6，费用为6元/小时.若1小时内无法修复，则下1小时继续采用同样的检修方案.机器正常工作1小时可收益10元.各小时机器状态是否正常相互独立.(2)假设机器初始状态为故障，并一直选择加急检修，求3小时内机器的总收益X的分布列和数学期望；解X=-8的情况为有1个小时收益10元，另外2个小时检修花费18元，则P(X=-8)=1-P(X=-27)-P(X=11)=1-0.01-0.72=0.27.于是X的分布列为数学期望为E(X)=-27×0.01+(-8)×0.27+11×0.72=5.49(元).X-27-811P0.010.270.72跟踪训练1

(2026·昭通模拟)某工厂一台自动加工机器有两种状态：正常和故障.每小时初检查机器状态，若正常，则继续工作；若故障，则进行检修.机器在正常状态下，1小时内都不会发生故障，1小时后故障的概率为0.2，故障时有两种检修方案：方案一是加急检修，1小时修复的概率为0.9，费用为9元/小时；方案二是常规检修，1小时修复的概率为0.6，费用为6元/小时.若1小时内无法修复，则下1小时继续采用同样的检修方案.机器正常工作1小时可收益10元.各小时机器状态是否正常相互独立.(3)假设机器初始状态为正常，并长期选择常规检修，记n(n∈N*)小时后机器正常的概率为Pn，求Pn并计算n个小时的累计期望收益E(Y).

跟踪训练1

(2026·昭通模拟)某工厂一台自动加工机器有两种状态：正常和故障.每小时初检查机器状态，若正常，则继续工作；若故障，则进行检修.机器在正常状态下，1小时内都不会发生故障，1小时后故障的概率为0.2，故障时有两种检修方案：方案一是加急检修，1小时修复的概率为0.9，费用为9元/小时；方案二是常规检修，1小时修复的概率为0.6，费用为6元/小时.若1小时内无法修复，则下1小时继续采用同样的检修方案.机器正常工作1小时可收益10元.各小时机器状态是否正常相互独立.(3)假设机器初始状态为正常，并长期选择常规检修，记n(n∈N*)小时后机器正常的概率为Pn，求Pn并计算n个小时的累计期望收益E(Y).

跟踪训练1

(2026·昭通模拟)某工厂一台自动加工机器有两种状态：正常和故障.每小时初检查机器状态，若正常，则继续工作；若故障，则进行检修.机器在正常状态下，1小时内都不会发生故障，1小时后故障的概率为0.2，故障时有两种检修方案：方案一是加急检修，1小时修复的概率为0.9，费用为9元/小时；方案二是常规检修，1小时修复的概率为0.6，费用为6元/小时.若1小时内无法修复，则下1小时继续采用同样的检修方案.机器正常工作1小时可收益10元.各小时机器状态是否正常相互独立.(3)假设机器初始状态为正常，并长期选择常规检修，记n(n∈N*)小时后机器正常的概率为Pn，求Pn并计算n个小时的累计期望收益E(Y).

例2

(2025·龙岩模拟)某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量指标值不小于80的产品称为A等品，其他产品称为B等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.题型二概率、统计与导数的综合问题

产品称为B等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.(2)①从样本的质量指标值在[45，55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；例2

(2025·龙岩模拟)某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量指标值不小于80的产品称为A等品，其他

η0123P品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.(2)②该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A等品芯片的利润是m(1<m<24)元，一件B等品芯片的利润是ln(25-m)元，根据(1)的计算结果，试求m的值，使得每箱产品的利润最大.例2

(2025·龙岩模拟)某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量指标值不小于80的产品称为A等品，其他产品称为B等品.现从该解设每箱产品中A等品有Y件，则每箱产品中B等品有(100-Y)件，每箱产品的利润为Z元，由题意知Z=mY+(100-Y)ln(25-m)=[m-ln(25-m)]Y+100ln(25-m)，由(1)知，每件产品为A等品的概率为0.16，所以Y~B(100，0.16)，所以E(Y)=100×0.16=16，E(Z)=[m-ln(25-m)]E(Y)+100ln(25-m)=16[m-ln(25-m)]+100ln(25-m)=16m+84ln(25-m)，

在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率.决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现.思维升华跟踪训练2

为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产.(1)现从试产的新产品中取出了5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对5件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望；

X234P跟踪训练2

为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产.(2)设每件新产品为次品的概率都为p(0<p<1)，且各件新产品是否为次品相互独立.记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为f(p)，问p取何值时，f(p)最大.

课时精练

X012P答案121.

答案121.令f'(x)=0，得x=20，当1≤x<20时，f'(x)>0，当x>20时，f'(x)<0，且f(20)>0，所以函数f(x)在[1，20)上单调递增，在(20，+∞)上单调递减，当x=20时，f(x)取得最大值，所以需要增加产量，增加20箱最好.答案121.

答案122.

答案122.答题活动性别合计男生女生未报名参加203555报名参加301545合计5050100

答案122.

答案122.

答案122.

X012P1.某种药材的种植、加工过程受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材.(1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望；12答案

1.某种药材的种植、加工过程受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材.(2)已知每箱药材的利润如表：今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m(m∈N*)箱，成本相应增加(1000m-2000lnm)元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由.12答案等级上等药材中等药材普通药材利润(元/箱)40002000-1200解令f'(x)=0，得x=20，当1≤x<20时，f'(x)>0，当x>20时，f'(x)<0，且f(20)>0，所以函数f(x)在[1，20)上单调递增，在(20，+∞)上单调递减，当x=20时，f(x)取得最大值，所以需要增加产量，增加20箱最好.1.某种药材的种植、加工过程受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他