第七章§7.3空间点、直线、平面之间的位置关系

第七章

§7.3空间点、直线、平面之间的位置关系1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.考试要求课时精练落实主干知识探究核心题型内容索引落实主干知识1.基本事实1：过

的三个点，有且只有一个平面.基本事实2：如果一条直线上的

在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_______过该点的公共直线.基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.不在一条直线上两个点一条2.“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条

直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条

直线，有且只有一个平面.3.空间中直线与直线的位置关系相交

平行相交平行任何4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

图形语言符号语言公共点直线与平面相交

__________个平行

___________个在平面内

_____________个a∩α=A1a∥α0a⊂α无数

图形语言符号语言公共点平面与平面平行

__________个相交

______________个α∥β0α∩β=l无数5.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角

.6.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：_________.相等或互补

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线.(

)(2)若直线在平面外，则直线与平面没有公共点.(

)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.(

)(4)两两相交的三条直线共面.(

)自主诊断××××2.用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，正确的是A.A∉m，m⊂α

B.A∉m，m∈αC.A⊄m，m⊂α

D.A⊄m，m∈α√解析

由题意用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，即A∉m，m⊂α.3.(人教A版必修第二册P131练习T1(2))设直线a，b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与bA.平行B.相交C.是异面直线D.可能相交，也可能是异面直线√解析如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，当A'B所在的直线为a，BC'所在的直线为b时，a与b相交；当A'B所在的直线为a，B'C所在的直线为b时，a与b异面，故D正确.4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为

.60°解析因为M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，所以MN∥BC1，又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC∥A1C1，所以∠A1C1B或其补角为异面直线AC和MN所成的角，又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△A1C1B为正三角形，所以∠A1C1B=60°，即异面直线AC和MN所成的角为60°.(1)异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.(2)异面直线所成角的范围：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.微点提醒返回探究核心题型例1

已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；题型一基本事实的应用证明如图所示，连接B1D1.因为EF是△C1D1B1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.例1

已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；证明在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点.所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.例1

已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：(3)DE，BF，CC1三线交于一点.证明因为EF∥BD且EF<BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三线交于一点.共面、共线、共点问题的证明(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.思维升华跟踪训练1

(人教A版必修第二册P132习题8.4T8)如图，△ABC在平面α外，AB∩α=P，BC∩α=Q，AC∩α=R，求证：P，Q，R三点共线.证明∵AB∩α=P，AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.又P∈α，∴P在平面ABC与平面α的交线上.同理可得Q和R均在这条交线上，所以P，Q，R三点共线.例2

(1)下列结论正确的是A.三条互相平行的直线确定一个平面B.若a∥α，a∥b，则b∥αC.若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥bD.若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的直线与a相交或异面题型二空间位置关系的判断√解析对于A，三棱柱的三条侧棱互相平行，可以确定三个平面，所以三条互相平行的直线确定一个或三个平面，故A错误；对于B，若a∥α，a∥b，则b∥α或b⊂α，故B错误；对于C，若α∥β，a⊂α，b⊂β，所以a与b没有公共点，所以a与b平行或异面，故C错误；对于D，若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则直线a与平面α相交，设交点为O，则平面α内所有过点O的直线都与a相交于点O，所有不过点O的直线都与a异面，故D正确.

√

判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断.二是排除法.特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.”思维升华跟踪训练2

(1)已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则lA.与m，n都相交B.与m，n中至少一条相交C.与m，n都不相交D.至多与m，n中的一条相交√解析若l与m，n都不相交，则l∥m，l∥n，则m∥n，这与m，n是异面直线矛盾，故C不正确；如图①，l与m，n中的一条相交，另一条不相交，也可以与m，n都相交，但不交于同一点，如图②，综上，l与m，n中的至少一条相交，故A，D不正确，B正确.图①

图②(2)(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论中，正确的有A.直线AM与CC1是相交直线B.直线BN与MB1是异面直线C.AM与BN平行D.直线A1M与BN共面√√解析对于A，M，C，C1三点在平面CDD1C1内，M点不在直线CC1上，A点不在平面CDD1C1内，可得直线AM与CC1是异面直线，故A错误；对于B，B，N，B1三点在平面BCC1B1内，B1不在直线BN上，M点不在平面BCC1B1内，可得直线BN与MB1是异面直线，故B正确；对于C，取DD1的中点E，连接AE，EN，又N为C1C的中点，则EN∥CD∥AB，AB=CD=EN，所以四边形ABNE是平行四边形，所以AE∥BN，AM∩AE=A，则AM与BN不平行，故C错误；解析对于D，连接MN，A1B，D1C，因为M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，所以MN∥D1C，由正方体的性质可知，A1B∥D1C，所以MN∥A1B，则A1，B，M，N四点共面，所以直线A1M与BN共面，故D正确.

题型三异面直线所成的角√

(2)如图，在空间四边形ABCD中，AB=CD=8，M，N分别是BC，AD的中点.若异面直线AB与CD所成的角为60°，则MN的长为

.

异面直线所成角的求法思维升华方法解读平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解补形法在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解

√

返回课时精练对一对答案1234567891011121314题号12345678答案CBBDCBABDBCD题号9101314答案7

BCDD答案123456789101112131411.

答案123456789101112131411.

答案123456789101112131411.∴直线EH，FG不平行，设它们的交点为P，则P∈EH，又EH⊂平面ABD，∴P∈平面ABD，同理P∈平面BCD，又平面ABD∩平面BCD=BD，∴P∈BD，即EH，FG必相交且交点在直线BD上.答案123456789101112131412.

答案123456789101112131412.

答案123456789101112131412.

一、单项选择题1.若直线a，b，c满足a∥b，a，c异面，则b与cA.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线√1234567891011121314答案知识过关1234567891011121314答案解析在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥DC，AB和DD1是异面直线，DC∩DD1=D，故直线a，b，c满足a∥b，a，c异面，则b与c可能相交，不一定是异面直线，故A，D错误；AB∥DC，AB和B1C1是异面直线，DC和B1C1是异面直线，故直线a，b，c满足a∥b，a，c异面，则b与c可能是异面直线，故B错误；直线a，b，c满足a∥b，a，c异面，则由平行公理得b与c不可能是平行直线，故C正确.2.已知∠ABC两边所在直线与∠A1B1C1两边所在直线分别平行，若∠ABC=70°，则∠A1B1C1等于A.70° B.70°或110°C.110° D.70°或20°1234567891011121314√答案解析当∠ABC的两边与∠A1B1C1的两边的方向都相同或都相反时，∠A1B1C1=∠ABC=70°；当∠ABC的两边与∠A1B1C1的两边的方向是一个相同，一个相反时，∠A1B1C1=180°-∠ABC=110°.综上，∠A1B1C1=70°或∠A1B1C1=110°.3.已知平面α∩平面β=l，点A，C∈α，点B∈β，且B∉l，又AC∩l=M，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是A.直线CM B.直线BMC.直线AB D.直线BC√1234567891011121314答案解析已知过A，B，C三点确定的平面为γ，则AC⊂γ.又AC∩l=M，则M∈γ，又平面α∩平面β=l，则l⊂α，l⊂β，又因为AC∩l=M，所以M∈β，因为B∈β，B∈γ，所以β∩γ=BM.4.(2026·济南模拟)如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是1234567891011121314答案√1234567891011121314答案解析对于A，如图1，PQ∥CD∥AB∥MN，M，N，P，Q四点共面，A错误；对于B，如图2，MP∥GH∥EF∥NQ，M，N，P，Q四点共面，B错误；1234567891011121314答案解析对于C，如图3，MP∥KL∥NQ，M，N，P，Q四点共面，C错误；对于D，如图4，PQ⊂平面MPQ，N∉平面MPQ，M∈平面MPQ，M∉直线PQ，则MN与PQ是异面直线，D正确.5.给出以下四个结论，其中正确的是A.不共面的四点中，存在三点共线B.若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面C.若将一个西瓜切3刀，则这个西瓜最多可以被切成8块D.依次首尾相接的四条线段必共面√1234567891011121314答案1234567891011121314答案解析如果四个点中，有3个点共线，第4个点不在这条直线上，则这四个点共面，这与已知矛盾，故A错误；如图1，点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，但点A，B，C，D，E不共面，故B错误；如图2，一个西瓜切3刀等价于一个正方体被三个1234567891011121314答案解析平面切割，按照如图所示的方法切割可得最多块数为8，故C正确；如图3，a，b，c，d四条线段首尾相接，但a，b，c，d不共面，故D错误.

1234567891011121314答案√1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案二、多项选择题7.在如图所示的正方体中，O为BD的中点，A1C∩平面C1BD=M，下列说法正确的是A.A，C，C1，A1四点共面B.C1，M，O三点共线C.M∈平面BB1D1DD.A1C与BD异面√√√1234567891011121314答案解析由正方体性质可知，AA1∥CC1，所以A，C，C1，A1四点共面，A正确；∵A1C∩平面C1BD=M，∴M∈平面C1BD，M∈A1C，又A1C⊂平面ACC1A1，∴M∈平面ACC1A1，∵O为BD的中点，BD⊂平面C1BD，四边形ABCD为正方形，所以O为AC的中点，∴O∈平面C1BD，且O∈平面ACC1A1，又C1∈平面C1BD，且C1∈平面ACC1A1，平面C1BD与平面ACC1A1相交，则C1，M，O在交线上，即三点共线，B正确；1234567891011121314答案解析

平面BB1D1D∩平面C1BD=BD，M∈平面C1BD，但M∉BD，所以M∉平面BB1D1D，C错误；A1C∩平面ABCD=C，BD⊂平面ABCD，C∉BD，所以A1C与BD为异面直线，D正确.8.如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，E，F分别是棱PD，PA的中点，下列说法正确的有A.多面体ABF-DCE是三棱柱B.直线BF与PC互为异面直线C.平面ADP与平面BCP的交线平行于EFD.四棱锥P-ABCD和四棱锥P-BCEF的体积之比为8∶31234567891011121314答案√√√1234567891011121314答案解析对于A，多面体ABF-DCE中，由直线AF∩DE=P，得平面ABF与平面DCE不平行，显然多面体ABF-DCE中不存在平行的两个面，则该多面体不是三棱柱，A错误；对于B，由E，F分别是棱PD，PA的中点，得EF∥AD∥BC，BF⊂平面BCEF，C∈平面BCEF，P∉平面BCEF，C∉BF，因此直线BF与PC互为异面直线，B正确；对于C，由AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，则AD∥平面PBC，令平面PBC∩平面PAD=l，而AD⊂平面PAD，则l∥AD∥EF，C正确；1234567891011121314答案

1234567891011121314答案三、填空题9.空间有5个点，其中有4个点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定

个平面.71234567891011121314答案解析∵空间中有5个点，其中有4个点在同一平面内，但没有任何3点共线，∴同一平面的4个点一定能两两连线，最多可连6条线，∵由三点确定一个平面知，任意一条线加上第五个点都会形成一个平面，因此有6个平面，再加上共面的4个点确定的1个平面总共是7个平面.

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

证明结合(1)的结论可知，四边形EFGH是梯形，∴直线EH，FG不平行，设它们的交点为P，则P∈EH，又EH⊂平面ABD，∴P∈平面ABD，同理P∈平面BCD，又平面ABD∩平面BCD=BD，∴P∈BD，即EH，FG必相交且交点在直线BD上.1234567891011121314答案12.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CC1的中点.(1)求异面直线A1E与D1F所成角的余弦值；解如图，设BB1的中点为H，连接HF，EH，A1H，因为F是CC1的中点，所以A1D1∥CB∥HF，A1D1=CB=HF，因此四边形A1D1FH是平行四边形，所以D1F∥A1H，D1F=A1H，因此∠EA1H是异面直线A1E与D1F所成的角或其补角，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是AB的中点，1234567891011121314答案12.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CC1的中点.(1)求异面直线A1E与D1F所成角的余弦值；

1234567891011121314答案12.如图