第三章进阶篇不等式恒(能)成立问题进阶2参数半分离与主元变换

第三章进阶篇

不等式恒(能)成立问题进阶2参数半分离与主元变换参数半分离是相对于参数全分离而言的，即把含有两个变量的复杂不等式(或方程)，化成一边含有参数一边不含有参数的两个简单的，易作图的函数(不含参数的一般都可以画出图象).含参数函数的一般是一次函数，即动直线，此动直线有两种形式，一是旋转直线系，二是平行直线系.旋转直线系过一定点，斜率不定.平行直线系斜率一定，但直线在x，y轴上的截距不定，也就是参数在一次函数的常数项中.而这种情况下参数很容易全分离出来，就是用参数全分离比较简单.重点解读例1

(1)已知函数f(x)=xex-x-ax2.当x≥0时，f(x)≥0，则实数a的取值范围为

.

题型一参数半分离解析当x=0时，f(x)≥0恒成立，a可以取任意实数；当x>0时，由于f(x)≥0恒成立，所以ex-1-ax≥0，即ex≥1+ax恒成立，由于函数y=ex在点(0，1)处的切线方程为y=x+1，函数y=1+ax过定点(0，1)，所以a≤1.综上，实数a的取值范围是(-∞，1].(-∞，1](2)(2025·豫西北教研联盟模拟)已知函数f(x)=x+e-x，若存在实数x，使得f(x)=ax成立，则实数a的取值范围为

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解析因为函数f(x)=x+e-x，若存在实数x，使得f(x)=ax成立，则存在实数a，使得e-x=(a-1)x能成立，由于y=e-x过原点的切线方程为y=-ex，所以a-1≤-e或a-1>0，所以a≤1-e或a>1.(-∞，1-e]∪(1，+∞)当不能把参数完全分离时，有可能不容易画出图象，或者指数型函数与对数型函数混合在一起，这个时候可以利用参数半分离转化为过定点的一系列旋转直线，或平行直线，与其他函数图象的交点问题.思维升华跟踪训练1

(1)若不等式alnx-x+1≤0恒成立，则实数a的取值集合为

.{1}

√解析当x≤1时，由x2-2ax+2a≥0恒成立，二次函数的对称轴为直线x=a，①当a≥1时，f(x)在(-∞，1]上单调递减，则f(x)min=f(1)=1>0恒成立，②当a<1时，f(x)min=f(a)=a(2-a)≥0，所以0≤a<1.综上可知，当a≥0时，x2-2ax+2a≥0在(-∞，1]上恒成立；当x>1时，ex-ax≥0恒成立，即ax≤ex在(1，+∞)上恒成立，由于函数y=ex在点(1，e)处的切线方程为y=ex，所以a≤e.综上可知，实数a的取值范围是[0，e].题型二主元变换

一些导数大题经常会含有多个变量，主要解题思路是以x为主元进行求解，但有时解题过程较为复杂，此时，有的题目就可以以其他变量为主元进行求解.思维升华跟踪训练2

已知函数f(x)=2ax+bx-1-2lnx，对任意a∈[1，3]和任意x∈(0，+∞)，f(x)≥2bx-3恒成立，求实数b的取值范围.

跟踪训练2

已知函数f(x)=2ax+bx-1-2lnx，对任意a∈[1，3]和任意x∈(0，+∞)，f(x)≥2bx-3恒成立，求实数b的取值范围.

课时精练答案121.

答案121.当x∈(ln

a，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)min=f(ln

a)=eln

a-aln

a-1=a-aln

a-1.设g(a)=a-aln

a-1(a>0)，则g'(a)=1-(ln

a+1)=-ln

a，当0<a<1时，g'(a)>0，g(a)单调递增；当a>1时，g'(a)<0，g(a)单调递减，所以g(a)max=g(1)=0，故a=1.综上，实数a的取值范围为{a|a≤0或a=1}.答案121.(2)方法一

f(x)≤x2ex对x∈[0，+∞)恒成立，即(1-x2)ex≤ax+1对x∈[0，+∞)恒成立，即当x≥0时，函数h(x)=(1-x2)ex的图象恒在直线y=ax+1的下方，而h'(x)=(1-x2-2x)ex，h″(x)=(-x2-4x-1)ex<0(x≥0)，所以函数h(x)在[0，+∞)上的图象上凸，且在点(0，1)处的切线斜率k=h'(0)=1，答案121.直线y=ax+1过定点(0，1)，斜率为a，故a≥1，即a的取值范围为[1，+∞).方法二

f(x)≤x2ex对x∈[0，+∞)恒成立，即(1-x2)ex≤ax+1对x∈[0，+∞)恒成立，记h(x)=(1-x2)ex=(1+x)(1-x)ex，x≥0.①当a≥1时，设函数m(x)=(1-x)ex，x≥0，则m'(x)=-xex≤0，答案121.因此m(x)在[0，+∞)上单调递减.又m(0)=1，故m(x)≤1，所以h(x)=(1+x)·m(x)≤1+x≤ax+1，x≥0，故f(x)≤x2ex对x∈[0，+∞)恒成立.②当a<1时，设函数n(x)=ex-x-1，x≥0，则n'(x)=ex-1≥0，所以n(x)在[0，+∞)上单调递增，且n(0)=0，故ex≥x+1.答案121.

答案121.

答案122.

答案122.

2.

答案122.

答案122.

答案122.

答案121.已知函数f(x)=ex-ax-1(a∈R，其中e为自然对数的底数).(1)若f(x)在定义域内有唯一零点，求a的取值范围；12答案

1.已知函数f(x)=ex-ax-1(a∈R，其中e为自然对数的底数).(1)若f(x)在定义域内有唯一零点，求a的取值范围；解当x∈(ln

a，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)min=f(ln

a)=eln

a-aln

a-1=a-aln

a-1.设g(a)=a-aln

a-1(a>0)，则g'(a)=1-(ln

a+1)=-ln

a，当0<a<1时，g'(a)>0，g(a)单调递增；当a>1时，g'(a)<0，g(a)单调递减，所以g(a)max=g(1)=0，故a=1.综上，实数a的取值范围为{a|a≤0或a=1}.12答案1.已知函数f(x)=ex-ax-1(a∈R，其中e为自然对数的底数).(2)若f(x)≤x2ex对x∈[0，+∞)恒成立，求a的取值范围.解方法一

f(x)≤x2ex对x∈[0，+∞)恒成立，即(1-x2)ex≤ax+1对x∈[0，+∞)恒成立，即当x≥0时，函数h(x)=(1-x2)ex的图象恒在直线y=ax+1的下方，而h'(x)=(1-x2-2x)ex，h″(x)=(-x2-4x-1)ex<0(x≥0)，所以函数h(x)在[0，+∞)上的图象上凸，且在点(0，1)处的切线斜率k=h'(0)=1，直线y=ax+1过定点(0，1)，斜率为a，故a≥1，即a的取值范围为[1，+∞).12答案1.已知函数f(x)=ex-ax-1(a∈R，其中e为自然对数的底数).(2)若f(x)≤x2ex对x∈[0，+∞)恒成立，求a的取值范围.解方法二

f(x)≤x2ex对x∈[0，+∞)恒成立，即(1-x2)ex≤ax+1对x∈[0，+∞)恒成立，记h(x)=(1-x2)ex=(1+x)(1-x)ex，x≥0.①当a≥1时，设函数m(x)=(1-x)ex，x≥0，则m'(x)=-xex≤0，因此m(x)在[0，+∞)上单调递减.又m(0)=1，故m(x)≤1，所以h(x)=(1+x)·m(x)≤1+x≤ax+1，x≥0，故f(x)≤x2ex对x∈[0，+∞)恒成立.12答案1.已知函数f(x)=ex-ax-1(a∈R，其中e为自然对数的底数).(2)若f(x)≤x2ex对x∈[0，+∞)恒成立，求a的取值范围.

12答案1.已知函数f(x)=ex-ax-1(a∈R，其中e为自然对数的底数).(2)若f(x)≤x2ex对x∈[