内蒙古自治区锡林郭勒盟三县联考2025-2026学年八年级上学期9月月考数学试卷（含解析）

内蒙古自治区锡林郭勒盟三县联考2025-2026学年八年级上学期9月月考数学试题一、单选题1．如图，木工师傅制作门框时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的几何原理是（）A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短C．三角形的稳定性 D．垂线段最短2．如图，已知，点B和点E是对应顶点，若，，则的度数为（

）．A． B． C． D．3．如图，在中，的外角和内角的平分线交于点D．，相交于点O，下列结论：①；②；③；④．正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，在中，交于点E，垂足为D，F为的中点，连接交AD于点G．有下列四个结论：①是的角平分线；②是的边上的中线；③是的边上的高；④是的边上的高．其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．如图，，，，则的度数为（

）A． B． C． D．6．如图，的两条角平分线，交于点P，若，则为（）A．115° B．120° C．125° D．130°7．如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是（

）A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②④⑤8．如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接，下列结论：①；②；③；④的最小值是4；⑤四边形的面积是定值．其中正确的个数有（

）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题9．如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置与线绳（线绳垂直于地面）的夹角分别是和，则吊杆前后两次的夹角的度数为．10．如图，点，，．则点的坐标为．11．如图，在中,为边上的高，点F和点G分别为高和边上的动点，且．若，则的最小值为．12．如图，，，，于点D，点F是延长线上一点，点E是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的是．（填序号）三、解答题13．如图，点A，D，B，E在一条直线上，，，，求证：．14．如图，在平面直角坐标系中，，，，，．求C点的坐标．15．小宁与小波两位同学在学习“平行线”后进行了课后探究：素材提供：“两块相同直角三角板，两条平行线”．三角板与三角板如图2所示摆放，其中，，，点A，B在直线上，点D，E在直线上．动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论．问题解决：小宁将三角板向右平移．(1)如图1，当点F落在线段上时，求的度数．(2)如图2，在三角板向右平移过程中，连结（初始状态E，F，B三点在同一直线上），记．①当点F在右侧时，试探究与的数量关系．②小宁发现，当点F在左侧时，与的数量关系将发生改变，那么此时与的数量关系是______．(3)思维拓展：小宁和小波一起将两块三角板旋转，如图3，小宁将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时小波将三角板绕点D以每秒的速度逆时针旋转，设时间为t秒，，且，若边与三角板的一条边平行时，请直接写出所有满足条件的t的值．16．求证：三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．

要求：(1)如图，在中，用尺规作出边上的中线，边上的中线，且与交于点G（不写做法，保留作图痕迹）．(2)在（1）的基础上，写出已知，求证和证明过程．17．知识回顾设的面积为1．如图1，分别将，边2等分，，是其分点，连接，交于点，得到四边形，（1）则的面积，；（2）求出四边形的面积．【拓展探究】（3）如图2，分别将，边3等分，，，，是其分点，连接，交于点，得到四边形，其面积；如图3，分别将，边4等分，，，，，，是其分点，连接，交于点，得到四边形，其面积；按照这个规律进行下去，若分别将，边等分，，得到四边形，其面积．【知识运用】（4）①如图4，中，，，，，，求四边形的面积．②如图4，中，，，如果，，直接写出四边形的面积．18．如图，在平面直角坐标系中，已知，以为一边在第四象限内画正方形，为轴上的一个动点，以为一直角边在第四象限内画等腰直角，其中．(1)点的坐标为____________(2)试判断线段、的关系，并说明理由；(3)设的中点为，直线交轴于点．问：随着点的运动，点的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点的坐标；若发生变化，请说明理由．参考答案1．C解：用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的几何原理是三角形的稳定性．故选：C．2．A解：∵，∴，∴，∵，，∴．故选：A．3．C解：∵的外角和内角的平分线交于点D．∴∵，，∴，∴，故①正确；∵，∴，故③正确；∴∴；故②正确；若，则，∵∴，∴，∴是等边三角形，∴，但根据已知条件无法证明，故④不正确，综上可知，①②③正确，故选：C4．B解：①∵，∴平分．∴是的角平分线，故①正确；②F为的中点，但F不是的边对边的顶点，∴不是的边上的中线；故②错误；③④根据三角形的高的概念可知不是的边上的高，是的边上的高．故③错误，④正确，综上所述，正确的个数是2个．故选B．5．C解：，，在中，是的一个外角，则，∵，，故选：C．6．A解：，，又、是的角平分线，，．故选：A．7．C【详解】在正方形中，，，，，，，故①正确；，，，，故②正确；在正方形对角线上，到，的距离相等，，，，故③正确；设正方形的边长为，，当是的中点时，．由勾股定理得：，，，，，，，，，，，，，，，，，当是的中点时，，故④正确，当时，，，，，，，中边上的高与中边上的高相等，，，设，则，，，，当时，，，，，，故⑤不正确，综上所述：正确结论的序号是①②③④，故选：C．8．C解：∵，，∴为等腰直角三角形，点是的中点，，平分，且，，又，，，故①正确；∵，∴，又∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴；故②正确；，，，∴，，故③错误；当时，的最小，如图所示：

是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，，，故④正确；，，，，，，，，四边形的面积是16，为定值，故⑤正确，即正确的有4个，故选：C．9．/45度解：如图，由题意知：垂直于．在中，，在中，，∴．故答案为：．10．解：如图，过点作轴的平行线，分别交过点作轴的平行线于点，设点的坐标为，∵，∴，∵轴，轴轴，∴轴，∵轴，轴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，解得，∴点的坐标为，故答案为：．11．解：如图，过点D作，且，分别连接；则，∴；在▱中，，∴；∵，∴，∴；∵，∴，∴，∴，当点G在上时，取得最小值，且最小值为线段的长；在中，由勾股定理得：，即的最小值为．故答案为：．12．①③④解：设与的交点为点，∵，，∴，，∴为的垂直平分线，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等边三角形，故③正确；∴，∵，∴，故②错误；如图，在上取P点，使得，∵，∴为等边三角形，∴，，，∴，又∵是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴，故①正确；∵，，∴，∴，∴故④正确，故答案为：①③④．13．见详解【详解】证明：∵，∴，即，在和中，∴，∴．14．C点的坐标为．解：过点作轴于点，则，如图：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴点．15．(1)(2)①；②(3)30或40或50（1）解：延长交直线于点，如图，，∵，且，∴，又，∴，（2）解：①延长交于点G，如图，，∵，∴，∵，，，∴，又，∴，∵，∴，∴；②延长交于点，如图，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；故答案为：；（3）解：①当时，延长交于点，交于点，如图，∴，∴，∵，∴，∵，∴，解得：；②当时，延长交于，交于点，如图，则，∴，∵，∴∴，解得：；③当时，作直线分别交于点，如图，，则，∴，又，∵，∴，∴∵，∴，解得：，综上，的值为30或40或50．16．(1)见解析(2)见解析（1）解：如图所示，

（2）解：已知：在中，、分别是、边上的中线，且与交于点G．求证：，．证明：连接，

、分别是边、的中点，，，，，，，．17．（1），；（2）四边形的面积为；（3），，；（4）①四边形的面积为；②．解：（1）将边2等分，的面积，连接，，分别将，边2等分，，，，，故答案为：，；（2）如图所示，连接，图1中，，是两边的中点，，，，且，，是的中点，，，，；（3）连接，，图1中，，是两边的三等分点，，，，且，，是的三等分点，，，，；同理得：图3中；以此类推，将，边等分，得到四边形，，故答案为：，，；（4）①，，四边形的面积．②由上问可知．1