江苏省苏州市昆山市蓬朗高级中学2025-2026学年高二（下）第二次模块检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省苏州市昆山市蓬朗高级中学高二（下）第二次模块检测数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，则不同的挂法共有（）A.9种 B.6种 C.5种 D.4种2.在我国古代，北斗七星分别被命名为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光.汉代典籍《春秋运斗枢》中早有相关记载，因其排布形状酷似古时舀酒的斗，故而得名北斗七星.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中点B，D，E，F看作共线，其他任意三点均不共线.若过这七个点中任意三点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（）

A.30 B.31 C.34 D.353.若，，，则事件A与B满足（）A.互为对立事件 B. C. D.A与B互斥4.“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则P（B|A）=（）A. B. C. D.5.已知5名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有（）A.48种 B.60种 C.66种 D.72种6.从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成（）个没有重复数字的五位数.A.720 B.936 C.1224 D.14407.有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（）

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A.1512种 B.1346种 C.912种 D.756种8.若20252025-a能被7整除，则a的一个值可能为（）A.2024 B.2025 C.2026 D.2027二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列说法中正确的是（）A.3个班级分别从5个不同的景点中选择一处游览，不同的选法总数共有125种

B.测量某一个零件的长度产生的测量误差X是离散型随机变量

C.当P（A）＞0时，P（B|A）=P（B）当且仅当事件A与事件B相互独立

D.在二项式，n∈N*的展开式中，若各项系数和等于，则展开式中的常数项为10.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝，最早出现在南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》中.“杨辉三角”中三角形数的排列规律如图所示，它的第n（n≥1）行的各项从左往右依次是二项式（a+b）n展开式中各项的二项式系数.下列结论正确的是（）A.

B.第2024行中从左往右第1013个数是该行中所有数字中最大的

C.记第n行的第i个数为ai，则

D.记第2行第3个数字为b1，第3行第3个数字为b2，…，第n+1行的第3个数字为bn，则11.某人进行投篮游戏，每次投篮的命中率为，且投篮结果互不影响，如果出现连续n次命中，那么停止投篮，游戏结束.则（）A.当n=2时，投篮2次游戏结束的概率为

B.当n=2时，投篮3次游戏结束的概率大于投篮4次游戏结束的概率

C.当n=2时，游戏结束时投篮总次数的数学期望为

D.设游戏结束时投篮总次数的数学期望为En，则3En+1=5En+5（n≥2）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机变量X的概率分布如表且P（X＞2）=0.4，则E（5X+4）=

.X124P0.4ab13.在（1+x+x2）（1-x）10的展开式中，含x4的系数为

．14.将1，2，3，…，9这九个正整数，填在如图所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数，则每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字之和都等于15的概率为

.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

（1）求值：；

（2）设n∈N*，若，且.

①求正整数n的值；

②求a1+2a2+3a3+…+nan的值.16.(本小题15分)

在二项式，n∈N*的展开式中，若第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）若将展开式中所有的项随机排成一列，求有理项不相邻的概率P和有理项的系数和Q.17.(本小题15分)

在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节.每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为α（0＜α＜1），1-α；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为β（0＜β＜1），1-β.假设每次信号的传输相互独立.

（1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为f（α），求f（α）的最小值；

（2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为x1，x2，x3，x4，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X（x1，x2，x3，x4中任意相邻的数字均不相同时，令X=1），若，求X的分布列和数学期望.18.(本小题17分)

为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复.

（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；

（2）记该同学第n天中午选择米饭套餐的概率为Pn.

①证明：为等比数列，并求数列{Pn}的通项公式；

②证明：当n≥2时，恒成立.19.(本小题17分)

某同学在研究二项式定理的时候发现：，

其中为xr的系数，它具有好多性质，如：①；②；③；请借助于该同学的研究方法或者研究成果解决下列问题：

（1）计算：；（请用数字作答）

（2）若n∈N*，且n≥3，证明：；

（3）设数列a0，a1，a2，…，an是公差不为0的等差数列，证明：对任意的n∈N*，函数是关于x的一次函数.

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】ACD

10.【答案】BD

11.【答案】ACD

12.【答案】16

13.【答案】135

14.【答案】

15.【答案】解：（1）由，及，

得．

（2）①由得，

约去公共因式得，即n2-11n-60=0，

解得n=15或n=-4，由且n≥7得n=15．

②由①得，

两边求导得，

令x=1得a1+2a2+3a3+⋯+15a15=-30．

16.【答案】解：（1）在二项式，n∈N*的展开式中，

其通项为：Tr+1==，r=0，1，2，…，n.

由题可得：==26-n=，解得n=7，

所以当二项式系数最大时，r=3或4．

所以T4=，T5=560x4；

故二项式系数最大的项分别为和560x4．

（2）因为，r=0，1，2，⋯，7，

当r=0，2，4，6时，为有理项，即有理项有4项，

故有理项不相邻的概率为：．

有理项系数和．

17.【答案】解：（1）由题可知，

因为0＜α＜1，所以当时，f（α）的最小值为；

（2）由题设知，X的可能取值为1，2，3，4，

①当X=1时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010，

所以，

②当X=2时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011，

所以，

③当X=3时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000，

所以，

④当X=4时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111，

所以，

所以X的分布列为：X1234P期望．

18.【答案】解：（1）设事件A1为“第1天选择米饭套餐”，事件A2为“第2天选择米饭套餐”，

事件为“第1天不选择米饭套餐”，

根据题意，，，，

由全概率公式得．

（2）①证明：设事件An为“第n天选择米饭套餐”，则Pn=P（An），，

根据题意，，

由全概率公式，得Pn+1=P（An+1）=P（An）P（An+1|An）+，

整理得，

故，

因为，

所以是以为首项，为公比的等比数列，通项公式为；

②证明：当n为大于1的奇数时，；

当n为大于1的偶数时，；

综上所述，当n≥2时，．

19.【答案】解：（1）法一：原式=

=；

法二：原式=

=．

法三：，

两边求导得：，

令n=7，x=1得：=448