山西省部分校2027届高三上学期开学联考数学试卷（含答案）

★★★202609高三数学注意事项：1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．样本数据68，56，50，42，39，62，35，30的极差为A．32 B．36 C．38 D．402．在等差数列中，若，，则的公差为A．3 B．-3 C．5 D．-53．已知集合，，则A． B． C． D．4．若直线与曲线相切，则实数A．-2 B．-1 C．1 D．25．函数的图象大致为A． B．C． D．6．已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则向量，的夹角为A． B． C． D．7．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与C在第一象限的交点为A，与x轴的交点为B，若，则C的准线方程为A． B． C． D．8．在的展开式中，含项的系数为，记数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数t的最小值为A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数z满足，则A． B．z的虚部为 C．是纯虚数 D．10．已知直线l的方程为，点，曲线E上任意一点N均满足（其中O为坐标原点），则A．直线l过定点B．存在实数k，使直线l与曲线E无公共点C．直线l被曲线E截得的弦长的最小值为D．当时，直线l被曲线E截得的弦长最大11．在直三棱柱中，，，P为棱的中点，Q是侧面内一点（含边界），，则A．B．点P到平面的距离为C．直线与平面所成角的正弦值为D．点Q的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知椭圆的右焦点，则C的离心率为__________．13．已知函数（，）是奇函数，函数的图象在区间上恰有2条对称轴，则的取值范围为__________．14．甲、乙两个排球队准备举行一场比赛，采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．已知每局甲胜乙的概率为，无平局，设甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的概率为，则当取最大值时，__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某眼科研究机构为研究患白内障与年龄是否有关，将年龄在60岁以上（含60岁）的人群定义为老年人，现随机抽取了180名居民，检查其是否患有白内障，得到如下列联表：白内障患者非白内障患者合计老年人44100非老年人64合计60180（1）请完善上述列联表，并分别估计老年人与非老年人患白内障的概率；（2）根据小概率值的独立性检验，分析患白内障与年龄是否有关．附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816．（15分）在中，，点D在边上，的面积为，，．（1）求；（2）求的面积．17．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，M为的中点，点N在棱上，且．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．18．（17分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）讨论的单调性；（3）已知函数，证明：在上有且只有一个极小值点．19．（17分）已知双曲线（，）的右焦点为，一条渐近线方程为．（1）求E的方程．（2）设O为坐标原点，过点F的直线l与E的右支交于M，N两点，其中点N在第四象限，直线与E的另一个交点为R．（ⅰ）若，求l的方程；（ⅱ）求面积的取值范围．

★★★202609高三数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案C 2．答案A 3．答案B 4．答案D 5．答案A6．答案D 7．答案B 8．答案C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．答案AD 10．答案ACD 11．答案ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．答案 13．答案 14．答案四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解析（1）列联表为白内障患者非白内障患者合计老年人4456100非老年人166480合计60120180 （2分）估计老年人患白内障的概率为， （4分）非老年人患白内障的概率为． （6分）（2）零假设为：患白内障与年龄无关． （7分）， （11分）根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为患白内障与年龄有关． （13分）16．解析（1），． （2分），为锐角，． （4分）∴在中，由余弦定理得，． （7分）（2）由题可得， （9分）∴在中，由正弦定理得，． （12分），． （15分）17．解析（1）如图，取的中点为Q，连接，．为的中点，，． （2分），．，，，， （4分）∴四边形为平行四边形，， （5分）平面，平面，平面． （6分）（2）连接．，，，均为等边三角形，取线段的中点O，连接，，则，，且．∵平面平面，平面平面，且平面，平面，，，两两互相垂直． （8分）以，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，． （9分）设平面的法向量为，则，取，则，，∴平面的一个法向量为． （11分）设平面的法向量为，则，取，则，，∴平面的一个法向量为． （13分）， （14分）∴平面与平面夹角的余弦值为． （15分）18．解析（1）由，得，化简得，即，整理得，所以． （2分）因为，即，由余弦函数的图象可得．即原不等式的解集为． （4分）（2）由题知，， （5分）设，则， （6分）∴当时，，当或时，，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， （8分），，∴当时，，即，在上单调递减． （9分）（3）由题意知，，则．当时，，，此时． （11分）设，，在上单调递增， （13分）又在上单调递增，在上单调递增，又，，由零点存在定理可知，存在唯一的使得， （15分）∴当时，，当时，． （16分）综上，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，在上有且只有一个极小值点． （17分）19．解析（1）设双曲线E的半焦距为c．由题意得，，， （1分）又，，, （3分）的方程为． （4分）（2）易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，，，且，由，得，，， （