海南海口市2027届高三上学期摸底考试数学试题（含解析）

海口市2027届高三年级摸底考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】集合，集合，所以.2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由对数与指数的性质求解即可.【详解】因为，所以，所以.3.已知双曲线的实轴长为4，焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】由题意得双曲线的实轴长为4，焦距为8，可得，，，则渐近线方程为，故B正确.4.已知平面向量，均为单位向量，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量的数量积运算及单位向量的定义，结合公式求解即可.【详解】因为，所以，即，可得，.5.的展开式中，含的项的系数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式赋值计算即得.【详解】因二项式的展开式的通项为，取，即得含的项的系数为(-1)4C546.函数向右平移个单位长度得到函数，则函数的零点可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】将函数向右平移个单位长度，可得，令，解得，对于A，当时，可得，故A正确，对于B，C，D，而，，，故B，C，D错误.7.在中，，，为的中点，将沿翻折，使二面角为，则翻折后的四面体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用“切西瓜”模型，分别找到外接圆圆心以及的外接圆圆心，然后分别作平面的垂线交点即为外接球球心，然后利用平面几何关系求得，进而外接球表面积为.【详解】由题意可知，又，平面，所以平面，为二面角的平面角，所以，又因为，所以为等边三角形，如图，取的中点，则，则平面，外接圆圆心为，连接，易证平面，外接圆圆心为，四面体的外接球球心为，则平面，连接，则平面，则四边形为矩形.在等边中，，则，，则，在中，，所以四面体的外接球的半径，所以外接球表面积为.8.将按照某种顺序排成一列得到数列，在数列中，对任意，若，则称数对构成数列的一个逆序对，所有逆序对的总个数称为数列的逆序数，例如：数列的逆序数为．当时，逆序数为的数列的个数为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】根据逆序数的定义，分别列举逆序数为2的所有可能情况即可【详解】满足条件逆序数为2的数列为：1，3，4，2；1，4，2，3；2，1，4，3；2，3，1，4；3，1，2，4，所以逆序数为2的数列有5个.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列结论正确的是（）A.函数的定义域为 B.函数是增函数C.函数是偶函数 D.函数的最小值为【答案】BC【解析】【分析】对于A，求出实函数定义域即可判断；对于B，由幂函数的性质判断即可；对于C，先确定定义域，再利用定义法判断奇偶性即可；对于D，易知时，即可判断．【详解】对于A，函数，则，解得，故函数的定义域为，A错误；对于B，函数的定义域为，单调递增，故函数是增函数，B正确；对于C，函数定义域为，且，故函数是偶函数，C正确；对于D，当时，，当时，，故函数没有最小值，D错误．10.为培养学生科技创新意识，某校组织科技创新知识测试，高一年级一共1000名学生参加测试，从中随机抽取100名学生的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，将80分及以上的成绩评定为科创优秀，下列说法正确的是（）A.图中的值为0.026B.估计该校高一学生成绩的下四分位数为65C.估计该校高一学生成绩的众数为75D.估计该校高一年级被评定为科创优秀的学生的平均分约为89【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用频率分布直方图的性质求参数即可；对于B，根据百分位数的求解方式求解；对于C，由众数的概念求解；对于D，根据平均值的公式求解．【详解】，解得，故A正确；的频率分别为，则高一学生成绩的下四分位数落在，设为，，解得，故B错误；估计该校高一学生成绩的众数为，故C正确；估计该校高一年级被评定为科创优秀的学生的平均分约为，故D正确．11.已知抛物线：上两个动点，的纵坐标满足，作动圆经过点，，下列说法正确的是（）A.抛物线的焦点坐标为B.圆的面积不存在最大值C.若直线过点，圆以为直径，则圆心到抛物线的准线的距离大于该圆半径D.若圆与抛物线有四个不同公共点，，，，则点，的纵坐标之和为定值【答案】ABD【解析】【分析】根据抛物线方程可判断A；根据题意得到为定值可判断B；根据圆心到准线的距离可判断C；联立圆方程和抛物线方程可判断D,【详解】对于A，已知抛物线：，由抛物线方程可知焦点坐标为，故A正确；对于B，因为，所以是定斜率的动弦，长度可以无限增大，因此过的圆的直径可以无限大，面积不存在最大值，故B正确；对于C，如图所示，因为圆心到准线的距离等于，所以圆心到准线的距离等于半径，故C错误；对于D，如图所示，设圆的方程为，与联立得：，因为圆与抛物线有四个不同公共点，所以，因为两方程中的系数相等，所以，由可得，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数，则__________．【答案】1【解析】【详解】复数，所以．13.已知，，则__________．【答案】【解析】【详解】，因为，所以.14.已知函数，，对均有，则__________．【答案】【解析】【分析】先根据导数分析出两个函数的单调性，结合题目得出与在上的零点一定唯一存在且重合，设为，列出方程组求解即可．【详解】对于，因为有意义，所以，，，所以在上为增函数，且时，；时，，在上为减函数，且时，；时，，由题可知，满足对均有，则与在上的零点一定唯一存在且重合，设为，可得：消去，可得，故，即，所以．四、解答题：本题共6小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列是等差数列，，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据通项公式列方程求解；（2）采用分组求和方法即可.【小问1详解】设等差数列的公差为d．由题意得，解得，所以．数列的通项公式为．【小问2详解】由题意可得：所以数列的前n项和为.16.在中，，，分别为内角，，的对边，已知．（1）求；（2）若，，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理边角互化即可求解；（2）根据题意，利用正弦定理和三角形的面积公式即可求解.【小问1详解】已知，由正弦定理知：，即，因为，，所以，即，因为，所以，可得，即.【小问2详解】由（1）可知，，所以由正弦定理可得，，所以，，由于，所以，所以.17.如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，，，，，点为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明：法一：取的中点N，连接MN，因为M，N分别为，的中点，所以MN为的中位线，所以，且，又因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．法二：以点A为坐标原点，以AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系．则，，所以，易知平面的一个法向量为，所以，所以，又平面，所以平面．（2）【解析】【分析】（1）法一：利用线面平行的判定定理证明即可；法二，利用空间向量，证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为0，即可证明线面平行；（2）法一：利用空间向量直接求解线面所成角的余弦的绝对值，即可求出线面所成角的正弦值；法二：利用等积法，即根据建立等量关系，先求出点到面的距离为d，进而求出线面所成角的正弦值.【小问1详解】略【小问2详解】法一：以点A为坐标原点，以AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则，，，，，所以，，，设面的一个法向量为，则，可取，设直线与面所成角为，则，所以直线与面所成角的正弦值为．法二：设点到面的距离为d，由（1）得，因为，，，，所以，所以，所以，，因为，所以，即，所以，设直线与面所成角为，则，所以直线与面所成角的正弦值为．18.甲和乙两个箱子各装有大小相同的若干小球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有个红球和2个白球，若从乙箱中随机摸出1个小球，摸到红球的概率为．（1）若从乙箱中随机摸出2个小球，求恰有1个红球和1个白球的概率；（2）现从两个箱子中随机选一个箱子（每个箱子被选到的可能性相等），再从选中的箱子中不放回地随机摸出2个小球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用表示这2个小球的得分之和，求的分布列及数学期望．【答案】（1）（2）的分布列为：X234P．【解析】【分析】（1）先利用概率求得乙箱中球数，再利用组合数计算取球的种数，即可求概率.（2）利用条件得到各种取球的概率，再利用全概率公式计算出得分的对应的概率，即可求的分布列及数学期望．【小问1详解】从乙箱中任取一球，取出的是红球的概率为，得，所以.从乙箱中任取2个球，设取到1个红球和1个白球为事件，则.所以取到1个红球和1个白球的概率为．【小问2详解】设事件表示“取到甲箱”，表示“取到乙箱”，事件表示“取出的两球都是红球”，事件表示“取出的是1个红球和1个白球”，事件表示“取出的两球都是白球”.故，，，，，，，.由题知的可能取值为2，3，4，则；；.所以的分布列为：X234P．19.已知椭圆：，则称椭圆：（且）是椭圆的等比缩放椭圆．若椭圆的短轴长为，离心率为，椭圆是椭圆的等比缩放椭圆，点是椭圆上异于左、右顶点，的任意一点．（1）求椭圆的方程；（2）当时，设直线与椭圆交于点，，线段中点为，直线与椭圆交于点，，线段中点为，证明：为定值．【答案】（1）（2）由（1）得椭圆的方程为，令得，即，.设点，则，所以.设，，则，所以.直线：，联立消得.设，，则，所以，.所以.同理，，将代入得.所以，所以得证．【解析】【分析】（1）利用椭圆的短轴长和离心率可求得椭圆的方程，再利用等比缩放椭圆的定义即可求椭圆的方程.（2）由点在椭圆上可得直线与的斜率关系，再设直线方程，联立椭圆的方程可计算点的坐标，即可得，同理可得，从而可计算的值.【小问1详解】由题知解得，所以C的方程为.所以椭圆的方程为，即．【小问2详解】略20.已知函数，．（1）求曲线在处的切线方程；（2）证明：在区间上存在唯一的极大值点，在区间上存在唯一的零点；（3）对于（2）中的和，试比较与的大小，并说明理由．（参考数据：）．【答案】（1）（2）证明：由得，设，，则，取，，因为时递增，当时递减且，考虑在上递减，其零点为，则由复合函数的单调性可知：在上递减，在上递增.又∵，，，∴必存在使得，此时.考虑，则与同号.列表：xt+0-0+递增极大值递减极小值递增因为，，，，，所以必存在唯一的使得，且当时，，当时，，列表x+0-递增极大值递减所以在上存在唯一的极大值点，因为，，，