江苏省镇江市2026年中考数学试卷（含解析）

镇江市2026年中考数学试卷（满分：120分考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.的相反数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据相反数的定义，求已知数的相反数，在其前添加负号后计算即可．【详解】解：的相反数为．2.等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】解：∵，∴．3.2026年第一季度，我市实现农林牧渔业总产值3750000000元．该数据用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：.4.下列运算结果正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据运算法则计算出正确结果，根据计算结果判断正误．【详解】解：选项A：根据单项式乘以多项式的法则进行计算可得：，故选项A错误.；选项B：根据完全平方公式计算可得：，故B选项错误；选项C：根据合并同类项的法则计算可得：，故C选项错误.；选项D：根据同底数幂的乘法法则计算可得：，故D选项正确．5.已知圆锥的底面圆半径为5，母线长为12，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．【详解】解：圆锥的侧面积．6.如图，，是等腰直角三角形，，顶点G，E分别在，上，交于点H．已知，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等腰直角三角形性质求出，结合平角定义求出，再利用平行线性质求解．【详解】解：是等腰直角三角形，，，，点在同一直线上，，，∴．7.如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质将俯角转化为直角三角形的内角，利用正弦函数的定义列式求解即可．【详解】解：由题意可知，水平线与地面平行，等于俯角，即，在中，，，，，．8.已知点，在一次函数的图像上．若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】解：将代入，得，将代入，得，∵，∴，∴，即，∴．9.下面是北京与世界上其他城市的时差，其中带“”的数表示同一时刻比北京时间早的小时数，带“”的数表示同一时刻比北京时间晚的小时数．纽约伦敦东京中国乒乓球运动员在年伦敦世界乒乓球团体锦标赛中奋力拼搏．男团决赛是在北京时间月日举行的，此刻的伦敦时间为（）A.月日 B.月日C.月日 D.月日【答案】B【解析】【分析】根据伦敦与北京的时差为，可知伦敦时间比北京时间晚，所以北京时间为月日时，伦敦时间为月日．【详解】解：伦敦与北京的时差为，伦敦时间比北京时间晚，北京时间为月日，，伦敦时间为月日．10.如图1，在矩形纸片中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，，，．沿，各剪去一个角，剩余部分为六边形纸片，用4张和它大小、形状完全相同的六边形纸片可不重叠、无缝隙地拼成一幅美丽图案，其示意图如图2所示．图1中的六边形的面积的最小值为（）A.42.5 B.36 C.33 D.27.5【答案】C【解析】【分析】设，用含的代数式表示六边形面积，利用二次函数性质求最小值.

【详解】解：设，，，四边形是矩形，，，；，同理；∴六边形的面积；点在边上，，即，解得；，且二次项系数，当时，取得最小值33.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.分解因式：_________．【答案】【解析】【分析】直接用平方差公式分解即可．【详解】解：．12.一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为__________．【答案】【解析】【分析】先计算袋子中球的总数量，确定红球的数量，再根据概率的定义计算结果．【详解】解：袋子中球的总个数为，其中红球的个数为，因此摸到红球的概率为．13.如图，为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上．已知，则的度数为__________．【答案】【解析】【分析】连接，根据圆周角定理即可得出结果.【详解】解：连接，∵为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上，∴，∴.14.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，解不等式即可得到的取值范围．【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，，化简得，解得．15.将一组数据从左到右按序排列，第1个数是，第2个数是，从第2个数开始，每个数都是与它相邻的两个数的平均数．这组数据中前10个数的和为__________．【答案】【解析】【分析】根据题目条件，可依次求出前10个数，再计算求和即可．【详解】解：设这组数据从左到右依次为，由题意得，，∵从第个数开始，每个数都是与它相邻的两个数的平均数，∴对任意，有，整理得，依次计算得：，，，，，，，，则前10个数的和：．16.如图，正六边形的边长为1，连接并延长至点P，．M是正六边形边上的一个动点，N为该平面内一点，且满足．现有下列结论：①当点M，A重合时；②；③的最小值为1．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】②③【解析】【分析】连接交于G，连接，根据正六边形的性质得出，，正六边形关于直线对称，根据轴对称的性质得出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，，则当点M，A重合时，，结合，求出，即可判断结论①；连接交于H，同理可求，，证明四边形是平行四边形，得出，则，故当M和B重合时，取最小值为；当M和E重合时，取最大值为，结合，求出的最小值为，的最大值为，即可判断结论②；由②知点N在以P为圆心，大圆半径为4，小圆半径为2的圆环内运动，故当N在的延长线上，且取最小值时，取最小值，即可判断结论③．【详解】解：连接交于G，连接，∵正六边形的边长为1，∴，，正六边形关于直线对称，∴，，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴当点M，A重合时，，又，∴，故结论①错误；连接交于H，同理可求，，又，∴，∵，，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∵M是正六边形边上的一个动点，∴当M和B重合时，取最小值为；当M和E重合时，取最大值为，又，∴的最小值为，的最大值为，∴，故结论②正确；∴点N在以P为圆心，大圆半径为4，小圆半径为2的圆环内运动，∴当N在的延长线上，且取最小值时，取最小值，∴的最小值为，故结论③正确，综上，正确结论的序号是②③．三、解答题（本大题共10小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：．【答案】【解析】【详解】解：．18.解方程：．【答案】【解析】【详解】解：去分母得，解得，检验：将代入∴原方程的解为．19.如图，为的角平分线，点E在的延长线上，，连接．（1）求证：．（2）已知，，则的长为__________．【答案】（1）证明：∵为的角平分线，∴，在和中，，∴；（2）1【解析】【分析】（1）利用三角形的角平分线的定义以及即可证明结论；（2）由全等三角形的性质可得，再利用线段的和差即可解答．【小问1详解】略【小问2详解】解：∵，∴，∴．20.小明设计了一个“随机旋律生成器”，包含音名、音符两个转盘．如图，音名转盘被平均分成2个扇形区域，分别标有他喜欢的音名A，B；音符转盘被平均分成3个扇形区域，分别标有他喜欢的三个音符：（四分音符），（八分音符），（十六分音符）．（1）小明任意转动音名转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在标有音名A区域的概率为__________．（2）小明任意转动音名转盘、音符转盘各1次，当转盘停止转动时，用列表或画树状图的方法，求音名转盘指针落在标有音名B区域且音符转盘指针落在标有音符区域的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）等可能事件概率，所求区域份数÷总份数．（2）用列表列出全部等可能情况，数出符合条件的情况，然后根据概率公式计算即可．【小问1详解】解：因为音名转盘平均分成2份，A占1份，所以指针落在A区域的概率：．【小问2详解】解：用列表法：音符音名AB所有等可能结果共6种，满足B且的结果只有1种．答：音名转盘指针落在B区域且音符转盘指针落在区域的概率为．21.某校为了解九年级500名学生对网络安全知识的掌握情况，组织了一次检测（满分120分，成绩均为整数，72分及以上为“合格”），采用简单随机抽样的方法从中抽取了部分学生的检测成绩进行分析，绘制成如图所示的频数分布直方图．（1）被抽样的学生有多少名？其中100分及以上的人数占被抽样人数的百分比是多少？（2）估计这500名学生本次检测成绩的中位数落在哪个分数段内．（3）对这500名学生本次检测的总体情况做出评价．（写出一条即可）【答案】（1）50名；（2）落在分数段内（3）该校九年级绝大多数学生掌握了网络安全知识．（答案不唯一）【解析】【分析】（1）将各组频数相加求出样本容量；根据横轴分组，分以上即为100分及以上，计算该部分人数占比．（2）50个数据的中位数是第25、26位，依次累加频数，判断这两个数据所在区间．（3）结合样本的合格率、高分段占比，对整体成绩做简单合理描述．【小问1详解】解：抽样总人数：（名），100分及以上人数：（名）所占百分比：，答：被抽样的学生有50名，100分及以上的人数占被抽样人数的；【小问2详解】解：样本共50个数据，中位数为从小到大排序后第25、26个数据的平均数，累计频数：，，前5组共有19个数据，第20～33个数据落在分数段，因此第25、26个数据落在分数段，答：估计这500名学生本次检测成绩的中位数落在分数段内．【小问3详解】解：评价示例（任选一条）①样本中72分及以上合格人数：，合格率很高，说明该校九年级绝大多数学生掌握了网络安全知识．②100分及以上的学生占抽样人数的，高分学生占比较多．③只有少数学生成绩低于72分，需要对这部分学生进行针对性辅导．22.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数与反比例函数的图像交于，B两点，x轴上的点C的坐标为．（1）求点A，B的坐标以及反比例函数的表达式．（2）点D在x轴上，当四边形为平行四边形时，点D的坐标为__________．【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为

，反比例函数的表达式为（2）【解析】【分析】（1）将点

的横坐标代入正比例函数求出，从而得到点的坐标．利用对称性求出点的坐标，再将点坐标代入反比例函数求出

．（2）利用平行四边形的对角线互相平分的性质，结合点的坐标，推导出点的坐标即可．【小问1详解】解：点在正比例函数的图象上，，点的坐标为，正比例函数与反比例函数的图象交于

两点，点与点关于原点对称，点的坐标为

，将点

代入反比例函数

，可得，解得，反比例函数的表达式为．【小问2详解】解：∵点，点，点，点在轴上，设点的坐标为

．线段的中点坐标为，即，线段的中点坐标为，即，当四边形为平行四边形时，可得，，解得，点D的坐标为．23.1942年，新四军在我市创办了敌后第一家银行——惠农银行．其发行的“惠农币”作为苏南根据地早期的货币，为以茅山地区为中心的苏南抗日根据地的巩固和发展作出了一定贡献．用1元、5元、10元三种面额的“惠农币”16张，共计58元购买一批物资，其中5元面额的纸币张数是10元面额纸币张数的3倍，求10元面额的纸币张数．【答案】10元面额的纸币张数为2张【解析】【分析】设10元面额的张数为x，则5元面额的张数为，1元面额的张数为，再根据等量关系“共58元”列一元一次方程求解即可．【详解】解：设10元面额的张数为x，则5元面额的张数为，1元面额的张数为，由题意可得：，，，，．答：10元面额的纸币张数为2张．24.如图，在四边形中，，，，以为直径作，分别交，于点E，F，，相交于点M．（1）与相似吗？为什么？（2）已知，，N为的中点，连接．①求，的长；②仅用一把无刻度的直尺在线段上作一点P，使得为等腰三角形．（要求：不写作法，保留作图痕迹）【答案】（1）相似理由：∵，，∴，∵是的直径，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，又，即，∴，又，∴；（2）①，；②如图，即为所求，【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，证明四边形是矩形，根据矩形的性质和平行线的性质得出，结合即可证明；（2）①根据矩形的性质、线段和差关系求出，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理求出即可；②连接交于G，连接交于P，连接即可．【小问1详解】略【小问2详解】解：①∵四边形是矩形，，∴，∵，∴，∵，，∴，即，解得，经检验，符合题意，∵N为的中点，∴，∴，∴；②作图见答案理由：∵四边形是矩形，∴G是中点，，又O是中点，∴，∴，∴，∴，又，∴，即是等腰三角形．25.如图，我们将经过点且垂直于y轴的直线记作“直线”．如果它与二次函数（a，h，k为常数，且）的图像（顶点记为C）有两个公共点，记为A，B（点A在点B的左侧），，我们称直线为该二次函数图像的截线．已知二次函数．（1）顶点C的坐标为__________．（2）直线（即x轴）是该二次函数图像的截线．若，求点B的坐标以及a的值．（3）直线是二次函数图像的截线．①已知，求t的值；②已知，用含a的代数式表示t；（直接写出结果）③若直线恰好又是二次函数图像的截线，当时，请直接写出t的取值范围．【答案】（1）（2）点B的坐标为；（3）①；②；③【解析】【分析】（1）根据顶点式的性质即可得解；（2）由抛物线对称性可知，对称轴垂直平分弦，即且．先由得，结合算出，得；再将代入解析式即可求出．（3）①将代入抛物线解析式，解得点横坐标，进而得；顶点到直线的竖直距离．由得，列方程求解后舍去顶点值，最终得；②同理求解得出，，代入正切定义化简得，将代入，两边平方后整理等式，即可解出；③先对同理推导得，由得，分、两类解不等式，同时结合“直线与两抛物线均有两个交点”的定义域限制，最终得到的取值范围．【小问1详解】解：由题意得，顶点的坐标为；【小问2详解】解：∵直线是截线，∴，对称轴与交于点，如图：由二次函数的性质可得，，∵点的坐标为，∴，在中，，∴，∴，∴，将代入中，得解得；【小问3详解】解：①作出二次函数的对称轴交直线于点D，如图：∵，∴抛物线开口向下，∵顶点为最高点，且直线与抛物线有两个交点，∴，将代入中，得或解得或，∴点B的横坐标为，∴，由图可得，，∵，∴，∴解得（舍去），；②作出二次函数的对称轴交直线于点D，如图：或将代入中，得或解得或，∴点B的横坐标为，∴，由图可得，，∴，∵直线与抛物线有两个公共点，∴且，∴，∴，∵，∴解得；③作出图象，其对称轴交直线于点，或∴，将代入中，得解得或，∴点的横坐标为，∴，由图可得，，∴，由②可得，，∵和都是锐角，且，∴，∴，当时，解得，∵两个抛物线都有两个交点，∴对于，，∴解得，对于，，∴解得，∴；当时，解得，∵两个抛物线都有两个交点，∴对于，，∴解得，对于，，∴解得，此时，与且无交集，此情况无解．综上所述，t的取值范围为．本题是二次函数新定义题型，通用解题模型为：利用抛物线轴对称性构造直角三角形，将角度条件转化为，实现几何条件代数化．常见错误有忽略直线与抛物线相交的定义域限制、含参不等式未分类讨论的正负．避坑关键：先确定的取值边界，参数问题优先按开口方向分类讨论．26.综合与实践：起跑线中的数学有些长跑比赛是以图1中这样的曲线为起跑线的．体育老师提供了模拟跑道的示意图（图2）和局部图（图3），供数学兴趣小组探究．在图3中，弯道跑道的内、外侧线都是以点O为圆心的半圆，与直线跑道垂直．最内道的跑步路线（图3中的虚线，称为“标准路线”）与跑道的最内侧线处处等宽．起跑点是与标准路线的交点，．从比赛公平角度看，不管从起跑线上的哪个点起跑，跑到终点的总路程都应该相等．【认识原理】C是起跑线上异于点的任意一点，过点C作虚线半圆的切线，T为切点．（1）M是上异于点T的一点．线段与的长度之和__________切线的长．（填“>”“<”或“=”）（2）从点出发的选手沿标准路线跑完全程，从点C出发的选手沿切线方向跑到点T后，再沿标准路线跑完全程．小组成员发现：切线的长与的长相等．他们的发现是否正确？为什么？（3）过起跑线上一点（点在点C的外侧）作虚线半圆的切线，切点为．判断切线，的长度之差与的长是否相等？请说明理由．【理解原理】（4）是起跑线上的一点，经测量，点与圆心O的距离为10．设从点出发的选手沿切线方向跑到点后，再沿标准路线跑完全程，求的度数．（结果保留）【设计方案】（5）请在第5跑道外侧线上确定起跑点的位置．（无需具体求解与画图，只需要写出确定起跑点的步骤）【答案】（1）（2）他们的发现正确．理由如下