2026年江苏省高中数学函数性质与图像综合练习题库

2026年江苏省高中数学函数性质与图像综合练习题库一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，则f(x)在区间[-2,4]上的最小值是（）A.-8B.-2C.0D.2解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，f(-2)=-8，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=6，故最小值为-8，选A。2.函数y=|x-1|+|x+2|的图像关于（）对称A.x=-1.5B.x=1.5C.x=0D.x=-1解析：y=|x-1|+|x+2|分段为：x<-2时，y=-2x-1；-2≤x≤1时，y=3；x>1时，y=2x+1，图像关于x=-1.5对称，选A。3.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像向右平移π/3个单位后与原图像重合，则ω的可能取值为（）A.2B.3C.6D.9解析：平移π/3后f(x)=sin[ω(x-π/3)+φ]，需满足ωπ/3=2kπ，k∈Z，则ω=6k，选C。4.函数y=ln(x²-2x+3)的定义域为（）A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,3)∪(3,+∞)D.R解析：x²-2x+3>0恒成立，定义域为R，选D。5.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）A.1B.2C.eD.e²解析：f′(x)=e^x-a，f′(1)=e-a=0，a=e，选C。6.已知函数f(x)=√(x²+px+q)的定义域为[1,3]，则p、q的取值范围是（）A.p<-6，q≥2B.p>-6，q≤2C.p∈(-∞,-6)∪(6,+∞)，q∈[2,+∞)D.p∈(-∞,-6)∪(6,+∞)，q∈(-∞,2]解析：x²+px+q≥0在[1,3]恒成立，需满足Δ≤0或{1+p+q≥09+3p+q≥0p<-6或p>6}，选D。7.函数y=cos²x-sin²x的最小正周期是（）A.π/2B.πC.2πD.4π解析：y=cos2x，周期T=2π/2=π，选B。8.若函数f(x)=x²+bx+c在x=1时取得最大值-2，则f(0)的值为（）A.-1B.0C.1D.2解析：f(x)开口向上，对称轴x=-b/2=1，b=-2，f(0)=c=0，f(x)=x²-2x，f(0)=0，选B。9.函数y=3^x+1与y=1/3^x+1的图像（）A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于y=x对称解析：y=1/3^x+1=-3^(-x)+1，f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称，选C。10.函数f(x)=log₃(2x-1)在区间[1,2]上的值域是（）A.[0,1]B.[1,log₃3]C.[log₃1,log₃5]D.[log₃2,log₃4]解析：2x-1∈[1,3]，log₃(2x-1)∈[0,1]，选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=2cos(x+π/4)的最小正周期为_________。参考答案：2π解析：周期T=2π/1=2π。2.若函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,a]上单调递减，则a的取值范围是_________。参考答案：[-1,1]解析：f′(x)=3x²-3，令f′(x)≤0得-1≤x≤1。3.函数y=√(4-x²)的定义域为_________。参考答案：[-2,2]解析：4-x²≥0，-2≤x≤2。4.函数f(x)=tan(2x-π/3)的图像经过点_________。参考答案：(π/6,√3)解析：令2x-π/3=kπ+π/2，x=π/6+kπ/2，取k=0得(π/6,√3)。5.函数y=2^x-1的反函数是_________。参考答案：log₂(x+1)解析：y=2^x-1⇒2^x=y+1⇒x=log₂(y+1)。6.函数f(x)=sin(x+π/2)的图像可由y=sinx的图像_________得到。参考答案：向左平移π/2个单位解析：f(x)=sin(x+π/2)=cosx，图像左移π/2得cosx。7.若函数f(x)=x²+bx+c在x=2时取得最小值-3，则f(-1)的值为_________。参考答案：6解析：f(x)对称轴x=-b/2=2，b=-4，f(2)=-4+c=-3⇒c=1，f(-1)=1-4+1=6。8.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值是_________。参考答案：3解析：分段函数y=3(-2≤x≤1)。9.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则a的值为_________。参考答案：1解析：f′(0)=1-a=0⇒a=1。10.函数y=ln(x²-2x+3)的单调递增区间是_________。参考答案：(-∞,1)解析：x²-2x+3=(x-1)²+2，在x<1时单调递增。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=cos(x+π/3)的图像关于x=π/2对称。参考答案：正确解析：f(π/2)=cos(π/2+π/3)=-√3/2，f(π/2±x)=cos(π/2±x+π/3)，f(π/2+x)+f(π/2-x)=-√3/2+(-√3/2)=-√3，为对称轴方程。2.函数y=1/x在区间(0,1)上单调递增。参考答案：错误解析：y=-1/x²在(0,1)上单调递增。3.函数f(x)=sin(x+π/6)的图像可由y=sinx的图像向左平移π/6得到。参考答案：错误解析：f(x)=sin(x+π/6)，图像左移π/6得sin(x+π/6)。4.函数f(x)=x³-3x+1在x=1处取得极值。参考答案：正确解析：f′(1)=3-3=0，f′′(1)=6>0，为极小值。5.函数y=ln(x²-2x+3)在x=2处取得最小值。参考答案：正确解析：x²-2x+3=(x-1)²+2，在x=1处最小，ln(x²-2x+3)在x=1处最小。6.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a=e。参考答案：正确解析：f′(1)=e-a=0⇒a=e。7.函数y=|x-1|+|x+2|的图像关于x=-1.5对称。参考答案：正确解析：分段函数y=3(-2≤x≤1)，图像关于x=-1.5对称。8.函数f(x)=tan(2x-π/3)的图像经过点(π/6,√3)。参考答案：正确解析：f(π/6)=tan(π/6-π/3)=-√3。9.函数y=2^x-1的反函数是y=log₂(x+1)。参考答案：正确解析：反函数定义域为y>-1，值域为x>0。10.函数f(x)=sin(x+π/2)的图像可由y=sinx的图像向左平移π/2得到。参考答案：正确解析：f(x)=cosx，图像左移π/2得cosx。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2的单调区间。参考答案：增区间(-∞,0)∪(2,+∞)，减区间(0,2)解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，f′(x)>0⇒x<0或x>2，f′(x)<0⇒0<x<2。2.求函数y=ln(x²-2x+3)的定义域。参考答案：(-∞,1)∪(1,+∞)解析：x²-2x+3=(x-1)²+2>0恒成立，定义域为R。3.求函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值时a的值。参考答案：a=e解析：f′(x)=e^x-a，f′(1)=e-a=0⇒a=e。4.求函数y=|x-1|+|x+2|的最小值及取值范围。参考答案：最小值3，值域[3,+∞)解析：分段函数y=3(-2≤x≤1)，值域为[3,+∞)。5.求函数f(x)=tan(2x-π/3)的周期。参考答案：π/2解析：周期T=π/|2|=π/2。6.求函数y=2^x-1的反函数。参考答案：y=log₂(x+1)解析：y=2^x-1⇒2^x=y+1⇒x=log₂(y+1)。7.求函数f(x)=sin(x+π/6)的图像经过点(π/3,√3/2)的证明。参考答案：f(π/3)=sin(π/3+π/6)=sinπ/2=1，但题目给(π/3,√3/2)，需修正为(π/3,1)。8.求函数y=ln(x²-2x+3)的单调递增区间。参考答案：(-∞,1)解析：x²-2x+3=(x-1)²+2，在x<1时单调递增。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求f(x)在区间[-2,4]上的最大值与最小值。参考答案：最大值6，最小值-8解析：f(-2)=-8，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=6，最大值为6，最小值为-8。2.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像向右平移π/3个单位后与原图像重合，求ω的可能取值。参考答案：ω=6k，k∈Z解析：ωπ/3=2kπ⇒ω=6k，k∈Z。3.已知函数f(x)=x²+bx+c在x=1时取得最大值-2，求f(0)的值。参考答案：f(0)=0解析：f(x)开口向上，对称轴x=-b/2=1⇒b=-2，f(2)=-3+c=-2⇒c=1，f(0)=1。4.已知函数f(x)=log₃(2x-1)在区间[1,2]上的值域，求其范围。参考答案：[0,1]解析：2x-1∈[1,3]，log₃(2x-1)∈[0,1]。5.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，求a的值及f(x)的单调区间。参考答案：a=e，增区间(-∞,1)∪(e,+∞)，减区间(1,e)解析：f′(x)=e^x-a，f′(1)=e-a=0⇒a=e，f′(x)>0⇒x<1或x>e，f′(x)<0⇒1<x<e。6.已知函数f(x)=√(x²+px+q)的定义域为[1,3]，求p、q的取值范围。参考答案：p∈(-∞,-6)∪(6,+∞)，q∈[2,+∞)解析：x²+px+q≥0在[1,3]恒成立，需满足Δ≤0或{1+p+q≥09+3p+q≥0p<-6或p>6}。7.已知函数f(x)=cos²x-sin²x，求其最小正周期及图像变换。参考答案：周期T=π，图像可由y=cosx的图像向左平移π/2得到解析：f(x)=cos2x，周期T=π，f(x)=cos2(x+π/2)=cos(2x+π)=cos2x。8.已知函数f(x)=tan(2x-π/3)，求其图像经过点(π/4,√3)的证明。参考答案：f(π/4)=tan(π/2-π/3)=tanπ/6=√3/3，题目给(π/4,√3)，需修正为(π/4,√3/3)。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x²-4x+5，求成本的最小值及取值范围。参考答案：最小值1，值域[1,+∞)解析：C(x)开口向上，对称轴x=2，C(2)=1，值域为[1,+∞)。2.某城市人口增长模型为P(t)=1000(1+0.02)^t，求人口增长速度最快的时刻。参考答案：t=35解析：P′(t)=1000(1+0.02)^tln(1.02)，P′(t)在t=35时最大。3.某商品的需求函数为Q(p)=100-2p，求收益函数及最大收益。参考答案：R(p)=100p-2p²，最大收益为2500解析：R(p)=pQ(p)=100p-2p²，R′(p)=100-4p=0⇒p=25，R(25)=2500。4.某投资项目的收益函数为R(t)=50e^0.1t，求收益增长最快的时刻。参考答案：t=10解析：R′(t)=50e^0.1tln(1.1)，R′(t)在t=10时最大。5.某公司生产某种产品的成本函数为C(x)=x²-6x+10，求成本最小值及取值范围。参考答案：最小值2，值域[2,+∞)解析：C(x)开口向上，对称轴x=3，C(3)=2，值域为[2,+∞)。6.某产品的需求函数为Q(p)=200-5p，求收益函数及最大收益。参考答案：R(p)=200p-5p²，最大收益为2000解析：R(p)=pQ(p)=200p-5p²，R′(p)=200-10p=0⇒p=20，R(20)=2000。7.某工厂生产某种产品的成本函数为C(x)=x²-8x+16，求成本最小值及取值范围。参考答案：最小值0，值域[0,+∞)解析：C(x)开口向上，对称轴x=4，C(4)=0，值域为[0,+∞)。8.某产品的需求函数为Q(p)=150-3p，求收益函数及最大收益。参考答案：R(p)=150p-3p²，最大收益为11250解析：R(p)=pQ(p)=150p-3p²，R′(p)=150-6p=0⇒p=25，R(25)=11250。9.某公司生产某种产品的成本函数为C(x)=x²-10x+25，求成本最小值及取值范围。参考答案：最小值0，值域[0,+∞)解析：C(x)开口向上，对称轴x=5，C(5)=0，值域为[0,+∞)。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述函数单调性的判定方法及其应用。参考答案：（1）判定方法：①求导数f′(x)，若f′(x)>0，则f(x)单调递增；若f′(x)<0，则f(x)单调递减。②利用导数符号变化判断极值点，结合单调区间分析。（2）应用：①求函数单调区间；②证明不等式；③分析经济模型中的最优解。2.论述函数周期性的判定方法及其应用。参考答案：（1）判定方法：①f(x+T)=f(x)对所有x成立；②利用三角函数性质判定；③利用周期函数定义。（2）应用：①简化函数分析；②解决振动问题；③分析经济周期模型。3.论述函数极值与最值的区别与联系。参考答案：（1）区别：极值是局部性质，最值是全局性质；（2）联系：最值一定是极值或边界值。4.论述函数图像变换的规律。参考答案：（1）平移：y=f(x)→y=f(x+a)（左移-a）；（2）伸缩：y=f(x)→y=f(kx)（横向压缩k倍）；（3）对称：y=f(x)→y=-f(x)（关于x轴对称）。5.论述函数性质的综合应用。参考答案：（1）分析经济模型：如成本函数、收益函数；（2）解决物理问题：如振动模型、增长模型；（3）优化工程问题：如最短路径、最大利润。6.论述函数定义域的求解方法。参考答案：（1）分式：分母不为0；（2）根式：被开方数非负；（3）对数：真数大于0；（4）三角函数：结合周期性分析。7.论述函数值域的求解方法。参考答案：（1）配方法：如y=x²+2x+3⇒y=(x+1)²+2；（2）分离参数：如y=1/x⇒y>0；（3）导数法：求极值点。8.论述函数性质在解决实际问题中的应用。参考答案：（1）经济领域：分析成本、收益、需求关系；（2）物理领域：描述振动、运动规律；（3）工程领域：优化设计参数。9.论述函数性质的综合应用案例。参考答案：（1）案例：某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x²-6x+10，求成本最小值及取值范围。解析：C(x)开口向上，对称轴x=3，C(3)=2，值域为[2,+∞)。10.论述函数性质的综合应用案例。参考答案：（1）案例：某产品的需求函数为Q(p)=200-5p，求收益函数及最大收益。解析：R(p)=200p-5p²，R′(p)=200-10p=0⇒p=20，R(20)=2000。11.论述函数性质的综合应用案例。参考答案：（1）案例：某工厂生产某种产品的成本函数为C(x)=x²-8x+16，求成本最小值及取值范围。解析：C(x)开口向上，对称轴x=4，C(4)=0，值域为[0,+∞)。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.C4.D5.C6.D7.B8.B9.C10.A解析：略（同试卷内容）二、填空题1.2π12.[-1,1]13.[-2,2]14.(π/6,√3)15.log₂(x+1)2.向左平移π/2个单位17.618.319.120.(-∞,1)解析：略（同试卷内容）三、判断题1.√22.×23.×24.√25.√26.√27.√28.√29.√30.√解析：略（同试卷内容）四、简答题1.增区间(-∞,0)∪(2,+∞)，减区间(0,2)解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，f′(x)>0⇒x<0或x>2，f′(x)<0⇒0<x<2。2.(-∞,1)∪(1,+∞)解析：x²-2x+3=(x-1)²+2>0恒成立，定义域为R。3.a=e解析：f′(x)=e^x-a，f′(1)=e-a=0⇒a=e。4.最小值