高级统计试题及答案

高级统计试题及答案试题一：

已知某城市居民家庭的月收入服从正态分布，平均收入为5000元，标准差为1200元。随机抽取1000个家庭进行调查。

1.求该城市居民家庭月收入在4000元至6000元之间的概率。

2.求随机抽取的1000个家庭中，月收入超过7000元的家庭数量。

答案及解析：

1.解析：由题意知，居民家庭月收入服从正态分布，记为X～N(5000,1200^2)。要求收入在4000元至6000元之间的概率，即求P(4000≤X≤6000)。

根据正态分布的性质，将X标准化为Z，即Z=(X5000)/1200。则Z服从标准正态分布N(0,1)。

将4000元和6000元标准化为Z1和Z2：

Z1=(40005000)/1200=0.8333

Z2=(60005000)/1200=0.8333

查标准正态分布表，得到P(Z1≤Z≤Z2)=P(0.8333≤Z≤0.8333)=0.50.2967=0.4033。

答案：该城市居民家庭月收入在4000元至6000元之间的概率为0.4033。

2.解析：要求随机抽取的1000个家庭中，月收入超过7000元的家庭数量。

首先，求月收入超过7000元的概率，即P(X>7000)。

将7000元标准化为Z3：

Z3=(70005000)/1200=1.6667

查标准正态分布表，得到P(Z3≤Z)=P(1.6667≤Z)=10.9505=0.0495。

所以，随机抽取的1000个家庭中，月收入超过7000元的家庭数量为10000.0495≈49.5。

答案：随机抽取的1000个家庭中，月收入超过7000元的家庭数量约为50个。

试题二：

某公司进行产品质量检测，已知产品的使用寿命服从指数分布，平均寿命为500小时。随机抽取10个产品进行检测。

1.求随机抽取的10个产品中，恰好有3个产品的使用寿命小于200小时的概率。

2.求随机抽取的10个产品中，至少有1个产品的使用寿命超过1000小时的概率。

答案及解析：

1.解析：由题意知，产品的使用寿命服从指数分布，记为X～Exp(λ)。其中λ=1/500。

求随机抽取的10个产品中，恰好有3个产品的使用寿命小于200小时的概率，即求P(X<200)。

根据指数分布的性质，X的累积分布函数为F(X)=1e^(λX)。

将200小时代入，得到P(X<200)=1e^(1/500200)≈0.1353。

随机抽取的10个产品中，恰好有3个产品的使用寿命小于200小时的概率，可以用二项分布表示，记为B(10,0.1353)。

所以，P(X=3)=C(10,3)(0.1353)^3(10.1353)^(103)≈0.0595。

答案：随机抽取的10个产品中，恰好有3个产品的使用寿命小于200小时的概率约为0.0595。

2.解析：求随机抽取的10个产品中，至少有1个产品的使用寿命超过1000小时的概率。

首先，求产品的使用寿命不超过1000小时的概率，即P(X≤1000)。

将1000小时代入，得到P(X≤1000)=1e^(1/5001000)≈0.6321。

那么，至少有1个产品的使用寿命超过1000小时的概率为1P(X≤1000)^