闭区间上连续函数的性质课件

閉區間上連續函數的性質一、有界性與最大值最小值定理最大值與最小值

對於在區間I上有定義的函數f(x)

如果有x0

I

使得對於任一x

I都有f(x)

f(x0)(f(x)

f(x0))

則稱f(x0)是函數f(x)在區間I上的最大值(最小值)

最大值與最小值舉例:

函數f(x)=1+sinx在區間[0

2p]上有最大值2和最小值0

下頁

函數y=sgn

x

在區間(-

+

)內有最大值1和最小值-1

但在開區間(0

+

)內

它的最大值和最小值都是1

下頁最大值與最小值舉例:一、有界性與最大值最小值定理最大值與最小值

對於在區間I上有定義的函數f(x)

如果有x0

I

使得對於任一x

I都有f(x)

f(x0)(f(x)

f(x0))

則稱f(x0)是函數f(x)在區間I上的最大值(最小值)

並非任何函數都有最大值和最小值

例如，函數f(x)=x在開區間(a

b)內既無最大值又無最小值

應注意的問題:下頁一、有界性與最大值最小值定理最大值與最小值

對於在區間I上有定義的函數f(x)

如果有x0

I

使得對於任一x

I都有f(x)

f(x0)(f(x)

f(x0))

則稱f(x0)是函數f(x)在區間I上的最大值(最小值)

說明:定理1(最大值和最小值定理)

在閉區間上連續的函數在該區間上一定能取得它的最大值和最小值

下頁又至少有一點x2

[a

b]

使f(x2)是f(x)在[a

b]上的最小值

至少有一點x1

[a

b]

使f(x1)是f(x)在[a

b]上的最大值

定理說明

如果函數f(x)在閉區間[a

b]上連續

那麼應注意的問題:

如果函數僅在開區間內連續

或函數在閉區間上有間斷點

那麼函數在該區間上就不一定有最大值或最小值

例如

函數f(x)=x在開區間(a

b)內既無最大值又無最小值

下頁定理1(最大值和最小值定理)

在閉區間上連續的函數在該區間上一定能取得它的最大值和最小值

下頁

又如

如下函數在閉區間[0

2]內既無最大值又無最小值

應注意的問題:

如果函數僅在開區間內連續

或函數在閉區間上有間斷點

那麼函數在該區間上就不一定有最大值或最小值

定理1(最大值和最小值定理)

在閉區間上連續的函數在該區間上一定能取得它的最大值和最小值

定理2(有界性定理)

在閉區間上連續的函數一定在該區間上有界

證明設函數f(x)在閉區間[a

b]上連續

根據定理1

存在f(x)在區間[a

b]上的最大值M和最小值m

使任一x

[a

b]滿足m

f(x)

M

上式表明

f(x)在[a

b]上有上界M和下界m

因此函數f(x)在[a

b]上有界

首頁定理1(最大值和最小值定理)

在閉區間上連續的函數在該區間上一定能取得它的最大值和最小值

二、零點定理與介值定理注:

如果x0使f(x0)=0

則x0稱為函數f(x)的零點

下頁定理3(零點定理)

設函數f(x)在閉區間[a

b]上連續

且f(a)與f(b)異號

那麼在開區間(a

b)內至少一點x

使f(x)=0

例1

證明方程x3-4x2+1=0在區間(0

1)內至少有一個根

證明

設f(x)=x3-4x2+1

則f(x)在閉區間[0

1]上連續

並且f(0)=1>0

f(1)=-2<0

根據零點定理

在(0

1)內至少有一點x

使得f(x)=0

即x3-4x2+1=0

這說明方程x3-4x2+1=0在區間(0

1)內至少有一個根是x

下頁二、零點定理與介值定理定理3(零點定理)

設函數f(x)在閉區間[a

b]上連續

且f(a)與f(b)異號

那麼在開區間(a

b)內至少一點x

使f(x)=0

定理4(介值定理)

設函數f(x)在閉區間[a

b]上連續

且f(a)

f(b)

那麼

對於f(a)與f(b)之間的任意一個數C

在開區間(a

b)內至少有一點x

使得f(x)=C

>>>下頁二、零點定理與介值定理定理3(零點定理)

設函數f(x)在閉區間[a

b]上連續

且f(a)與f(b)異號

那麼在開區間(a

b)內至少一點x

使f(x)=0

二、零點定理與介值定理定理3(零點定理)

設函數f(x)在閉區間[a

b]上連續

且f(a)與f(b)異號

那麼在開區間(a

b)內至少一點x

使f(x)=0

推論在閉區間上連續的函數必取得介於最大值M與最小值m之間的任何值

>>>定理4(介值