边值问题的唯一性定理课件

邊值問題的唯一性定理

一、邊值問題

邊值問題是指存在邊界面的電磁問題。

根據給定邊界條件對邊值問題分類：

第一類邊值問題：已知電位函數在全部邊界面上的分佈值。

第二類邊值問題：已知函數在全部邊界面上的法嚮導數。

第三類邊值問題（混合邊值問題）：已知一部分邊界面上的函數值，和另一部分邊界面上函數的法嚮導數。二、唯一性定理

唯一性定理內容：在場域V的各邊界面S上給定電位或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V內的解唯一。說明：若對同一面積，同時給定和的值，則不存在唯一解。唯一性定理的意義：

指出了靜態場邊值問題具有唯一解的條件

為靜態場邊值問題求解方法提供了理論依據，為結果正確性提供了判據

唯一性定理是間接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的理論依據4.2直角坐標系中的分離變數法

建立求解方程：導體槽內為無源區，故電位滿足拉普拉斯方程，即問題：如圖所示無限長金屬導體槽，其頂面電位為u，其餘三面接地，求導體槽內電位分佈。用分離變數法求解過程：很明顯，為x,y的函數。則可令代入方程得僅為x座標函數僅為y座標函數要使對任意x,y兩式相等，則須兩式均為常數。令分離常數

通過引入分離常數k，將二維拉普拉斯方程分解為兩個齊次常微分方程。分別解兩個常微方程就可以得出原問題的解。解常微分方程（k取值不同解形式不同）：

當k=0時：

當k≠0時：由於三角函數具有週期性，因此解中的分離變數k可以取一系列特定的值kn(n=1,2,3……），即：

由於拉普拉斯方程是線性方程，因此方程的特解的線性組合仍然是方程的解。將所有的特解線性組合起來，得到電位函數的通解。解中所有未知係數和分離變數kn由邊界條件確定。由條件（1）由條件（2）由條件（3）由條件（4）將u在（0，a)區間展開為傅立葉級數所以，接地導體槽內部電位分佈為4.3鏡像法

幾個實例：qq′非均勻感應電荷等效電荷非均勻感應電荷產生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代

求解位於接地導體板附近的點電荷產生的電位

接地導體球附近有一個點電荷，如圖。q非均勻感應電荷q′等效電荷非均勻感應電荷產生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代

鏡像法的目的：把原問題中包含典型邊界的場的計算問題化為無限大均勻媒質空間中的問題求解,達到簡化求解的目的.

鏡像法基本思路：在求解域外的適當位置，放置虛擬電荷等效替代分界面上導體的感應面電荷或媒質的極化面電荷的作用，取消分界面的存在。

鏡像法原理

鏡像法理論依據：唯一性定理。

由唯一性定理：滿足同一方程和同樣邊界條件的電位分佈的解是相同的，所以引入像電荷（等效電荷）後，應該有

電位函數仍然滿足原方程（拉氏方程或泊松方程）

電位分佈仍滿足原邊界條件

鏡像電荷位置選擇原則：

鏡像電荷的引入不能改變原問題的邊界條件

鏡像電荷必須位於求解區域以外一、平面接地導體邊界

點電荷對無限大接地平面導體邊界的鏡像

原問題：無限大接地導體平面（z=0）,點電荷q位置：z=h

求空間中電位分佈。

等效問題：

要求：與原問題邊界條件相同

原電荷：q:z=h

鏡像電荷(等效電荷):-q->z=-h(求解域外)

取消導體邊界面，z>0空間媒質充滿整個空間。由等效問題，可以求出在z>0空間內的電位分佈為：

即：無限大導體平面上，點電荷的鏡像電荷電量與其在導體面上的感應電荷電量相等。無限大接地導體分界面上感應電荷

線電荷對無限大接地平面導體邊界的鏡像

對於線電荷對於接地導體面的鏡像，類似地可得到等效問題在z>0空間的電位分佈為：

點電荷對相交接地平面導體邊界的鏡像

如圖，兩半無限大接地導體平面垂直相交。

要滿足在導體平面上電位為零，則必須引入3個鏡像電荷。如圖所示。

對於非垂直相交的兩導體平面構成的邊界，若夾角為，則所有鏡像電荷數目為2n-1個。例8.6一個點電荷q與無限大導體平面距離為d，如果把它移至無窮遠處，（外力）需要做多少功？。q′qx

=∞

0

d-d解：移動電荷q時，外力需要克服電場力做功，而電荷q受的電場力來源於導體板上的感應電荷。可以先求電荷q移至無窮遠時電場力所做的功。由鏡像法，感應電荷的電場可以用像電荷q′＝－q替代。當電荷q移至x時，像電荷q′應位於－x，則有二、點電荷對球面導體邊界的鏡像

點電荷對接地球面導體邊界的鏡像鏡像電荷位於球心與電荷q連線上。

令鏡像電荷電量為，與球心距離為。要保持邊界條件不變，則：在空間中任意點處電位為：由邊界條件可知：

鏡像電荷結論：點電荷q對接地導體球面的鏡像電荷為

當電荷位於接地導體球殼內時，將在導體內表面激勵起感應電荷，但由於球殼接地，在球外空間不能建立起場分佈（被遮罩）。可以求得鏡像電荷：對點電荷位於接地導體球殼內問題的討論aqd

Obq′d’

rR′RP

|q′|>|q|，可見球外的電荷量大於球內電荷量

像電荷的位置和電量與外半徑b無關（為什麼？）

點電荷對不接地球面導體邊界的鏡像當球殼不接地時，導體球面電位不為0，球面上存在正、負感應電荷（感應電荷總量為0）。處理方法：電位疊加原理處理過程：

先假設導體球面接地，則球面上存在電量為的感應電荷，鏡像電荷可採用前面的方法確定。

斷開接地。將電量為的電荷加到導體球面上，這些電荷必然均勻分佈在球面上，以使導體球為等勢體。

均勻分佈在導體球面上的電荷可以用位於球心的等量點電荷等效。aqrPd1

q′d2

-q′R′R分析可知：點電荷q對非接地導體球面的鏡像電荷有兩個：鏡像電荷1：電量：位置：鏡像電荷2：電量：位置：位於球心。球外空間某點電位為：aqrPd

q′d’

-q′r′R三、線電荷對接地導體圓柱邊界的鏡像

如圖：線電荷位於導體圓柱外，距離軸心d。設鏡像線電荷為，與軸心距離為。

根據鏡像法鏡像選擇原則，鏡像電荷必須位於導體區域內，其與源線電荷共同在導體分界面上產生的電位為0。arPd1

a

l

rPd1

O-

lQd2

R′Rl

l′四、點電荷對電介質分界面的鏡像問題：點電荷位於兩種電介質分界面上方h，求空間電位分佈。分析：在介質分界面上將存在極化面電荷，空間電位由極化面電荷和電荷q共同產生。解決問題方法：鏡像法，即用鏡像電荷等效極化電荷作用。qhO

1

2

zqhO

1

zhq′PR1

R1′hO

2

zPR2

區域1的電位由q和位於區域2中的鏡像電荷q′共同產生

區域2的電位由q和位於區域1中的鏡像電荷

共同產生在z=0面上應用電位邊界條件

真空中一點電荷Q位於導體球附近。導體球半徑為a，點電荷距離球心距離為d（d>a）。求：（1）導體球接地時空間電位分佈及電荷Q所受的電場力；（2）導體球未接地時空間電位分佈及電荷Q所受的電場力；解:(1)當導體球接地時，由鏡像法，原問題可等效為空間只存在Q