泸溪一中2027届高三第三次起点考试数学试卷

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页泸溪一中2027届高三第三次起点考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合，，则A∪B=（

）A． B． C． D．2.已知复数，则（）A. B. C. D.3．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（

）A． B．1 C． D．4．已知向量，满足，，则在上的投影向量的模为（

）A．1 B． C．2 D．5．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得，，其中F1为椭圆的左焦点，PQ经过坐标原点O，则该椭圆的短轴长为（

）A．2cm B．4cm C． D．6．已知一组样本数据，…，的平均数为6，方差为24，若删除某个数据后，平均数没有变化，方差变为30，则（

）A．4 B．5 C．6 D．77．已知中，角所对的边分别为，若，，，则（

）A．3 B．5 C． D．528.已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（）A.1013 B.1014 C.2026 D.2028二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．已知点，B4,0，M为圆O：x2+yA．点B在圆O外B．的最大值为6C．D．的最大值为910.在中，，，，则（）A.B.C. D.外接圆半径是11．如图，圆锥的轴截面为正三角形，底面圆的半径为，CD，EF为圆的两条直径，且CD⊥EF，母线PC，PD与该圆锥的内切球O分别切于A，B两点，则（

）A．圆锥的体积为3π B．球O与圆锥的公共点的轨迹的周长为C．异面直线BF与PA所成角为 D．平面AEF截球O的截面面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式的第3项为______．13．已知等比数列的前n项和为，若，则______．14．已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点，P为C的渐近线上一点，且P在第一象限，Q为C的左支上一点，若四边形OFPQ为菱形，则C的离心率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．15.已知复数，且对任意正整数，（为虚数单位），记（表示复数的实部）．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．16．如图，一张边长为2的正方形纸片ABCD，E为AB的中点，现沿DE将折起至，使得．(1)证明：平面；(2)求直线A′B与平面17.已知函数.（1）若4是fx的极小值点，求f（2）若fx在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围18．某商场举行回馈顾客的抽奖游戏．箱子里有10张奖券，其中4张“金券”，6张“银券”．每张“金券”面值均为100元；每张“银券”面值不同，分别为−10元，元，…，元．顾客从箱中不放回地依次抽取奖券，直至抽到3张“金券”时停止，不可中途退出游戏．游戏停止时，顾客抽到的所有奖券的面值之和作为顾客的奖金．现有一顾客参加了此次抽奖游戏．(1)求游戏停止时该顾客共抽取5次的概率；(2)求该顾客的奖金不低于元的概率；(3)已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量X，Y，有，求该顾客的奖金的期望．19．给定自然数，定义集合．对于中的任意一个元素，定义集合，将的元素个数称为a的“逆对数”．例如，若中的一个元素，则，a的“逆对数”为2．(1)当时，若，，直接写出，；(2)记为中“逆对数”为k的元素个数．（i）求与的递推关系式；（ii）求．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页泸溪一中2027届高三第三次起点考试数学试卷参考答案1．D【详解】由，解得，所以，由⇒，解得，所以，故．2【答案】D【详解】因为，所以，所以，所以.3．A【详解】由是定义在R上的奇函数，得，故，当时，，所以，4．B【详解】因为，所以，所以在上的投影向量为，所以投影向量的模为．5．D【详解】根据椭圆的对称性可知，故，得a=2，又，所以，得，由得，即，所以椭圆的短轴长为．6．B【详解】由已知得，因为删除某个数据后，平均数没有变化，故删除掉的数据为6，因为去掉数据6后方差变为30，故，解得n=5．7．D【分析】根据，结合二倍角公式及正弦定理求出，再由余弦定理求出或，讨论舍去即可求出答案.【详解】由，得，所以.由余弦定理，得，解得或.若，则，得，又由且，得B=π4，所以，与矛盾；若，由余弦定理得，又，且，所以，符合题意．综上所述，.8【答案】C【分析】先根据等差数列的性质求出数列的通项公式，再分析数列的规律，进而求出其前2026项的和.【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，得化简得，解得，，又，故数列的通项公式为，设数列的前项和为，则，，从到共项，两两一组，可分为组，.故选：.9．ABD【详解】，所以B在圆O外，故A正确；由图知，当且仅当点为圆与轴的左交点时取等，故B正确；设，则，故，，则，故C错误；所以由B项可得，，当且仅当时取等，故D正确．10【答案】AC【详解】在中，，则，则，故A正确；因为，，，由余弦定理，得，故B错误；，故C正确；设外接圆半径为，由正弦定理，得，则外接圆半径为，故D错误；11．ACD【分析】根据题意，求得，且，结合体积公式，可判定A正确；得到公共点的轨迹是以AB为直径的圆，可判定B错误；连，证得平面，得到，可判定C正确；求得球O半径为r=1，结合等体积法，可判定D正确．【详解】由已知得,所以，且，所以圆锥的体积为，所以A正确；由公共点的轨迹是以AB为直径的圆，因为△PCD为正三角形，所以为中点，，所以轨迹的周长为，所以B错误；连，可得，且，由，且，平面，所以平面，因为平面，所以，所以为等腰直角三角形，所以，所以C正确；设球O半径为，则，可得r=1，由，且，可得O到平面AEF的距离为，所以截面圆的半径为，所以平面AEF截球O的截面面积为，所以D正确．12．【详解】的展开式的第3项．13．－144【详解】由，得.当时，；当时，.因为{an}为等比数列，故时的通项也满足时的表达式，即，解得.此时，公比，故.14．5【详解】记双曲线的左焦点为F1，连，QF，由四边形OFPQ为菱形，则，F到渐近线的距离为，结合菱形性质可得，又注意到，则四边形为平行四边形，，，又，则，由双曲线定义可得：，，从而C的离心率为15【答案】（1）（2）或.【1】对任意正整数，（为虚数单位），则，所以，复数数列是以为首项，公差为的等差数列，故，故.【2】由题意可知数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所.故当时，；当时；当时，；当时，.综上所述，.16．（1）见解析(2)．【详解】(1)由已知得，又，，所以，所以，又，，平面，所以平面；（2）方法一：以C为原点，CB，CD为x轴，y轴，垂直于平面BCDE的直线为z轴，建立空间直角坐标系．由已知得B2,0,0，D0,2,0，，设，由，得，解得，所以，所以，，，设平面的一个法向量为n=a,b,c，由，不妨取，得，，所以，设直线A′B与平面所成角为，则,所以直线A′B与平面所成角的正弦值为．方法二：因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以B到平面的距离，取CD中点F，连EF，A′F，BF，过作于O，连OB，则EF⊥CD，，又，平面，所以平面，所以，因为平面，所以，所以，所以，，因为，，，平面BCDE，所以平面BCDE，所以，所以，设直线A′B与平面所成角为，则，所以直线A′B与平面所成角的正弦值为．17【答案】（1）（2）【1】函数fx的定义域为，.因为4是fx的极小值点，所以，即，解得a=5.当a=5时，，，令，则，解得x=4或x=14.当时，，fx单调递增，当时，，fx单调递减，当时，，fx单调递增，所以fx在x=14处取得极大值，，【2】因为fx在定义域内单调递增，所以f′x≥0在上恒成立，即在上恒成立.在上恒成立，也即在上恒成立.又，当且仅当，即x=1时等号成立.所以，即实数a的取值范围为18．(1)17(2)(3)174元．【详解】（1）游戏停止时共抽取5次，即前四次抽到2金2银，且第五次抽到金券，故所求的概率为；（2）奖金不低于270元，则可能为300元，290元，280元，270元．①若奖金为300元，即连续抽到3次金券，其概率为；②若奖金为290元，即前三次抽到两张金券和一张－10元银券，且第四次抽到金券，其概率为；③若奖金为280元，即前三次抽到两张金券和一张－20元银券，且第四次抽到金券，同②知；④若奖金为270元，一种情况是前三次抽到两张金券和一张－30元银券，且第四次抽到金券，同②知其概率为；另一种情况是前四次抽到两张金券、一张－10元银券和一张－20元银券，且第五次抽到金券，其概率为，所以；综上所述，奖金不低于270元的概率为.（3）方法一：记银券分别为Y1，Y2，…，记，银券与4张金券被抽到的先后次序是等可能的，表示在与4张金券一起排列时，排在了前三个位置上，所以，，所以，，因为奖金，所以，即奖金的期望为174元．方法二：记为停止时抽到银券的张数，则的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，且.由已知得，，，，，，，计算得．又因为，所以，因为每张银券被抽到是等可能的，所以，，所以，即奖金的期望为174元．19．(1)，；(2)（i）；（ii）【详解】（1）对于，仅在，所以，对于，在，，所以；（2）（i）方案一：设是中“逆对数”为1的一个排列，且这两个数为，若去掉中最大的数t后仍有一个逆对数的排列，则t位于，之间或最后；若去掉t后逆对数为0，则t可能位于除最后的所有位置．所以；方案二：对按n+1所在位置分类：若n+1在末位，则当的逆对数为1时，的逆对数为1；