泸溪一中2027届高三第四次强化考试数学试卷

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）泸溪一中2027届高三第四次强化考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．在复数范围内，方程的解集为（

）A． B． C． D．2.已知数列满足，，则数列的前2026项和为（）A.2025 B.2026 C.2027 D.20283．某工厂抽检了个零件，并统计了这个零件的直径（单位：）数据，得到如下的表格：直径/495051525354频数89813121由表可知这51个零件的直径的第40百分位数为（

）A． B． C． D．4．下列双曲线的焦点必在y轴上的是（

）A． B．C． D．5．若随机变量，且，，则（

）A．2 B．4 C．3 D．96．若抛物线C：的焦点为F，且为C上一点，则当取得最小值时，（

）A． B．40 C． D．7．当函数的零点个数最多时，的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知函数的部分图象如图所示，A，C均为其图象上的点，且线段的中点B在x轴上，则（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在正四棱台中，E，F分别为，的中点，则（

）A． B．C．平面 D．平面10．在等差数列中，公差为，且，，是公比为的等比数列，，则（

）A． B．C． D．数列的前1000项和大于11．对于定义在D上的函数，若存在，使得对恒成立，则称为理想函数．下列函数为理想函数的是（

）A． B．C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设是奇函数，且，则______．13．如图，现有边长为的正方形纸片，E，F分别为，的中点，，，将沿折起，沿折起，使得点A与点C重合于点P，则六棱锥的高为_________．14．已知实数x，y满足，则的最大值为_________，此时_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若恒成立，求a的取值范围．16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．(1)求c．(2)设平分，且与交于点D，若，求的长．17．如图，在直三棱柱中，D，E分别为棱，上一点，，，延长交于点F，且，，．(1)求的值；(2)求与平面所成角的正弦值；(3)求四棱锥与直三棱柱公共部分的体积．18．如图，椭圆：的长轴长为8，椭圆：的长轴长为4，的长轴为的短轴，且这两个椭圆的离心率相等．(1)求，的方程．(2)设，分别为的上、下顶点，P为上异于，的任意一点，过点P作轴，垂足为Q，线段与交于点H，证明：H为的垂心．(3)设为上一点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点；过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点；……．依此类推，得到，，，，，，…．已知，均位于第一象限，设，若，证明：．19．某商场周末开展抽奖活动，凡是一次性购物满300元的消费者均可参与抽奖．抽奖箱内有5张奖券（面值为1元、2元、3元、4元、5元的奖券各一张），抽奖者每次有放回地随机抽取一张奖券．设每名抽奖者共抽取5次，记X为抽奖者抽取到的次数最多的奖券的抽取次数（例如抽到3次2元奖券和2次5元奖券，则）．(1)求．(2)若抽奖者所抽5次奖券面值之和为其获得的奖金，在甲、乙两名抽奖者对应的X相等且的前提下，求甲获得的奖金多于乙获得的奖金的概率．(3)假设一次性购物满1000元的消费者可获得一定次数的抽奖机会，直到他连续抽取到3张5元奖券，即获得200元的购物券，此时抽奖结束．设获得200元的购物券时该消费者已抽取奖券的次数为Y，求Y的期望．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）泸溪一中2027届高三第四次强化考试数学试卷参考答案1．B【详解】所以在复数范围内，即为即，故方程的解集为2【答案】A【详解】，可以发现数列是周期为3的周期数列，可以发现数列是周期为3的周期数列，因为所以数列的前2026项和为.3．B【详解】本次统计的样本总量，要计算第百分位数，计算位置指标.向上取整得，即第个数据为第百分位数.对频数进行累计：直径为的零件共个，对应第个数据；直径为的零件共个，对应第9~17个数据；直径为的零件共个，对应第个数据，∴第个数据属于直径为的区间，即第百分位数为，对应选项B.4．D【分析】根据焦点在y轴上的双曲线标准方程的特点逐一判断即可.【详解】A：当时，该双曲线的焦点在y轴上，当时，该双曲线的焦点在x轴上，所以本选项不符合题意；B：当该选项方程表示双曲线时，则有，或，由，由，综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有，此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意；C：因为该选项方程表示双曲线，所以，因为，所以该选项方程表示双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意；D：当该选项方程表示双曲线时，则有，或，由，由，综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有，此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在y轴上，符合题意.5．B【分析】利用正态分布的对称性求解.【详解】因为，，所以，因为，所以，即，所以.6．C【分析】由抛物线定义结合基本不等式求得的值，进而求得答案.【详解】，当且仅当，即时取等号；所以.7．A【分析】将零点问题转化为交点问题，再结合导数研究函数，最后得到取值范围即可.【详解】令，则，则的零点个数为根的个数，即为与的交点个数，若的零点个数最多，则与的交点最多，令，令，则或，令，则，令，则，得到在上单调递减，在上单调递增，可得的极小值为，当时，，当时，，所以，故A正确.8．D【分析】逆用和角的余弦公式化简函数，结合已知及图象特征列式求出，再利用图象上点的特征列式求出.【详解】依题意，函数，由函数图象上的点关于轴上的点对称，得函数最小正周期，则，解得，即，又，于是，由，得，又点在函数的一个单调递增区间对应的图象上，因此，所以.9．ACD【分析】将正四棱台补成正四棱锥，根据空间线面的位置关系逐一判断.【详解】如图，将正四棱台补成正四棱锥，点是正四棱锥的顶点，是正方形的中心，连接，对于A，因为分别是的中点，所以，又，所以，故A正确；对于B，因为与所成角为，又，所以与所成角为，因为，所以与所成角为，故B错误；对于C，因为，平面，平面，所以平面，故C正确；对于D，因为平面，平面，所以，又，，所以，又是平面内两条相交直线，所以平面，即平面，故D正确.10．BC【分析】根据等差数列及等比数列的性质求出，，求出，即可判断ABC；求出的通项公式，进而得到，结合裂项相消法求出数列的前1000项和，利用放缩法与比较，即可判断D.【详解】由题意知，，，.因为，，是公比为的等比数列，所以，，，即，，解得，，故B正确.，故A错误.，，，故C正确.因为为等差数列，所以.所以，则数列的前项和.，故D错误.11．BCD【分析】A选项：不等式化为，因，需恒成立，但时不满足，故不是理想函数；B选项：令，求导得，递减，时，故恒成立；C选项：辅助角公式得最大值，需，即，取时满足要求，故存在；D选项：取，不等式化为，令，在上，且，故恒成立.【详解】选项A：计算得，因为，则，当时，，故，必然存在使得左边大于，不满足恒成立，故A错误；选项B：不等式为，令，由于且，则，，从而，故在上单调递减.当时，，而由于，则，∴对任意，恒成立，故B正确；选项C：不等式为，令，利用三角恒等式：，其最大值.需存在使，即，平方得，即，即.取，则，满足条件.此时，即对任意，，不等式成立，故C正确.D选项：不等式为，即，等价于，即.取，则，不等式化为.令，则.当时，，单调递增.又，因此对任意，，即恒成立.满足条件，故D正确.12．【详解】因为是奇函数，且，所以，即.13．##【详解】作平面，垂足为，取线段的中点，连接，因为平面，所以，因为，所以与全等，则，同理可得，，则三点共线，由题意得，，，，，，，由得，得，故六棱锥的高为.14．【详解】曲线是以点为圆心，1为半径的圆关于轴、原点及轴对称而得的圆、圆、圆与圆组合而成，如图：是曲线上的点与定点的距离平方并减去74的差的一半，由图知圆心离点最远，连接并延长交圆于点，因此曲线上的点与点距离的最大值为，的最大值为；直线方程为，即，由，由，得，则点的横坐标为，所以的最大值为，此时.15．(1)(2)【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，结合切点坐标用点斜式得切线方程；（2）将恒成立问题转化为的最小值大于，通过导数分析单调性求最小值，进而得到a的取值范围【详解】（1），∴切点坐标为.，则切线斜率.所以切线方程：，即.（2）恒成立等价于对任意恒成立，故且，∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；故在处取极小值也是最小值，.因此，解得，即a的取值范围为.16．(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理求解边长即可；（2）先通过向量关系式变形，利用向量中点公式判定点为线段中点，得到长度；再结合三角形角平分线定理求出的长度，最后根据线段位置关系，通过作差运算求得的长度.【详解】（1）因为，，，，所以.（2）（ⅰ）如图，作出符合题意的图形，，平分，，，，即，.（ⅱ）如图，作出符合题意的图形，，，是边上的中点，,而平分，由角平分线定理得到，且，由（ⅰ）知，故.17．(1)(2)(3)【分析】（1）根据相似三角形的性质求的值.（2）先根据题中条件建立空间直角坐标系，再求出平面的法向量，进而求得与平面所成角的正弦值.（3）根据相似三角形的性质先判断出来几何体为三棱台，并求出其体积，再利用直三棱柱的体积与三棱台的体积之差求它们公共部分的体积.【详解】（1）在直三棱柱中，，则，所以．

因为，，，所以，所以．（2）取的中点，连接．因为，所以．

在直三棱柱中，，因为，所以平面．

作，交于点，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，．

设平面的一个法向量为，则，

令，得．

故与平面所成角的正弦值为（3）设交于点，交于点，连接．因为，所以，同理可得，

所以几何体为三棱台，其下底面面积，上底面面积，故其体积．

四棱锥与直三棱柱的公共部分为几何体，

其体积为直三棱柱的体积与三棱台的体积之差，即，故四棱锥与直三棱柱公共部分的体积为.18．(1)的方程为；的方程为(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由长轴长得，长轴为短轴得，离心率相等求，写出方程；（2）设，代入得；联立与得，计算斜率乘积为即得证；（3）由几何关系导出，求和得；利用放缩，相加得证.【详解】（1）由题意可知，，解得，，则的方程为．因为这两个椭圆的离心率相等，所以，即，则，所以的方程为．（2）设，由，得，将代入，得．易知，在轴同侧，所以，则，则，则．又，所以为的垂心．（3）将代入，得，则，将代入，得，即，即．又，所以数列为等比数列，故，即，所以，设，则，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增，所以，即．令，得，则，故．19．(1)(2)(3)【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式，分别求解和，结合古典概型、排列组合计数方法统计符合条件的基本事件数，单次抽取共5种等可能结果，5次抽取总基本事件数为，通过符合条件的事件数除以总事件数求得对应概率.（2）求出满足的序列的种数，求出甲、乙都取这类序列的基本事件数，求出满足的序列的种数，求出甲、乙都取这类序列的基本事件数，从而得到样本空间的基本事件总数，求出甲、乙都在种序列中选择，甲奖金多于乙的情况数，求出当时的总事件数，求出甲、乙奖金相等的情况种数，从而得到所求的概率.（3）采用状态期望法，定义不同连续中奖次数对应的剩余期望次数，结合单次抽取的概率（抽中5元券概率、未抽中概率），搭建线性期望方程组，通过逐步代入消元求解方程组，最终得到初始状态下的总抽取期望.【详解】（1）包含两种情况：和，计算：5次都抽到同一张奖券，共有种奖券选择，每次抽中该奖券的概率为，所以，计算：先选1种奖券出现4次，再选1种其他奖券出现1次，共有种情况，所以，因此：.（2）题目中条件为“甲、乙