八年级上册压轴题考试试卷

八年级上册压轴题考试试卷

一、压轴题

1.已知：MN〃PQ,点A,B分别在MN,PQ上，点C为MN,PQ之间的一点，连接

CA,CB.

(1)如图1,求证:ZC=ZMAC+ZPBC；

(2)如图2,AD,BD,AE,BE分别为/MAC,ZPBC,/CAN,NCBQ的角平分线，求

证：ZD+ZE=180°：

(3)在(2)的条件下，如图3,过点D作DA的垂线交PQ于点G,点F在PQ上，

ZFDA=2ZFDB.FD的延长线交EA的延长线于点H,若3NC=4NE,猜想NH与NGDB的

倍数关系并证明.

2.如图，RtZkAC8中，ZACB=90o,AC=BC,七点为射线C8上一动点，连结

AE，作心J_4£且

(1)如图1,过尸点作五Q_AC交AC于。点，求证：FD=BC；

(2)如图2,连结8/交AC于G点，若AG=3,CG=L求证：E点为8c中点.

(3)当E点在射线上，连结与直线AC交于G点，若BC=4,BE=3,则

以AG=______.(直接写出结果)

CG

3.在心二ABC中，ZACT=90°,ZA=30°,8。是AAAC的角平分线，于

点、E.

图3

（1）如图1，连接EC,求证：AE8C是等边三角形;

（2）如图2,点M是线段CD上的一点（不与点C。重合），以8M为一边，在8M下

方作/BMG=600,MG交。£延长线于点G.求证：AD=DG+MD：

（3）如图3,点N是线段A。上的点，以BN为一边,在8v的下方作N8VG=60。，

NG交延长线于点G.直接写出ND,0G与AO数量之间的关系.

4.问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1,AABC是等边三角形，点D

是BC的中点，且满足NADE=60。，DE交等边三角形外角平分线于点E.试探究AD与DE

的数量关系.

操作发现；（1）小明同学过点D作D「〃AC交AB子展通过构造全等三角形经过推理论

证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD与DE的数量关系，并进行证明.

图1

类比探究：（2）如图2,当点D是线段BC上任意一点（除B、C外），其他条件不变，试猜

想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论.

图2

拓展应用：（3）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC,在图3中补全图形，直

接判断4ADE的形状（不要求证明）.

5.(1)填空

Cl

①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM，FM为折痕，折叠后的。点落在

BM或B、M的延长线上，那么ZEMF的度数是_______；

②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B点、与M点重合,EM，FM为折

痕，折叠后的C点落在AM或AM的延长线上，那么NE"的度数是_______.

（2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM，为折痕，折登

后的C点落在4M或旦M的延长线上左侧，且“MF=80。,求NGMS的度数：

②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B点与M点重合，EM，FM为折

痕，折趣后的C点落在A"或A”的延长线右侧，且NEA*=60。，求NGM%的度

数.

（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折卷，EB，/有为折痕，设

ZABC=a0,4EBF=（3。,8G=/°，求夕，7之间的数量关系.

6.已知区C和“AOE都是等腰三角形，入5=AC,AD=AE，/DAE=/BAC.

（初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点。，石分别在边A3,AC上，则

DBEC.（填＞、＜或=）

（2）发现证明：如图②，将图①中的二人£坦绕点A旋转，当点。在外部，点E

在AABC内部时，求证：DB=EC.

图②

（深入研究）（3）如图③，二ABC和上ADE都是等边三角形，点C,E，。在同一条

直线上，则NCD8的度数为:线段C七，8。之间的数量关系为

（4）如图④，A4BC和&ADE都是等腰直角三角形，ZI3AC=ZDAE=90°,点C、

D、E在同一直线上，AM为.日中。石边上的高，则NCO8的度数为

线段AM，BD,C。之间的数量关系为.

出

BC

图④

（拓展提升）（5）如图⑤，二ABC和工A£＞石都是等腰直角三角形，

N84C=ND4E=90。，将.,./!£应绕点A逆时针旋转，连结BE、CD.当AB=5,

AO=2时，在旋转过程中，与“ADC的面积和的最大值为.

7.学习了三角形全等的判定方法（即“545”、“ASA”、“A4S”、“SSS”）和直角三角

形全等的判定方法（即“H的）后，我们继续对“两个三角形满足两边的其中一边的对角

对应相等”的情形进行研究.

（初步思考）

我们不妨将问题用符号语言表示为：在ADEF中，AC=DF,BC=EF,NB=NE,然后，对

N8进行分类，可分为“N8是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.

（深入探究）

第一种情况：当/8是直角时，△48C空

（1）如图①，^.^ABC^^DEF^,AC=DF,BC=EF,N8=NE=90°,根据,可以

知道RtAABERt&DEF.

第二种情况：当N8是钝角时，AAB8ADEF.

(2)如图②，在AABC和△。行中，AC=DF,BC=EF,N8=NE,且N8、NE都是钝

角.求证：&AB0ADEF.

第三种情况：当/8是锐角时，8c和不一定全等.

(3)在△ABC和ADEF中，AC=DF,BC=EF,NB=NE,且N8、NE都是锐角.请你用直

尺在图③中作出ADEF,使△£>£「和△48C不全等，并作简要说明.

(1)如图1,NA8C、NAC8的平分线相交于点D.

①当a=70。时，N8DC度数=度(直接写出结果)：

②N8DC的度数为(用含a的代数式表示)；

(2)如图2,若N48C的平分线与NACE角平分线交于点F,求N8FC的度数(用含a的

代数式表示).

(3)在(2)的条件下，将△FBC以直线8c为对称轴翻折得到△G8C,NG8c的角平分线

与/GC8的角平分线交于点刖(如图3),求N8MC的度数(用含a的代数式表示).

9.在8c中，/B4C=45°,CD1AB,垂足为点。，M为线段D8上一动点(不包括端

点)，点N在直线AC左上方且NNCM=135",CN=CM,如图①.

(1)求证：NACN=NAMC；

SAC

(2)记△ANC得面积为5,记△A8C得面积为5.求证：U=~7W：

S2AB

(3)延长线段28到点P,使8P=BM,如图②.探究线段4C与线段D8满足什么数量关系

时对于满足条件的任意点M,AN=CP始终成立？(写出探究过程)

1。.⑴问题发现：如图1,△ACB和△75%均为等边二角形.点4、。、F在同一直线上，

连接BE.

①请直接写出NAE8的度数为:

②试猜想线段A。与线段8£有怎样的数量关系，并证明；

⑵拓展探究：图2,ZkACB和△DCE均为等腰三角形，ZACB=ZDCE=90u，点A、D、E

在同一直线上，CM为△£)(：£中边上的高，连接8邑请判断NAE8的度数线段CM、

AE.8£之间的数量关系，并说明埋由.

11.（1）探索发现：如图1,已知Rt^ABC中，ZACD=90°,AC=DC,直线I过点C,

过点A作AD_LL过点B作BEJJ,垂足分别为D、E.求证：AD=CE,CD=BE.

（2）迁移应用：如图2,将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板

的一个锐角的顶点与坐标原点0重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为

（1,3）,求点N的坐标.

（3）拓展应用：如图3,在平面直角坐标系内，已知直线y=-3x+3与y轴交于点P,与

x轴交于点Q,将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R.求

点R的坐标.

12.（1）发现：如图1,AA8C的内角NA8c的平分线和外角NAC力的平分线相交于点

0,

①当NA=50°时，则N8OC二

②当幺==时，求NBOC的度数（用含。的代数式表示）；

（2）应用：如图2,直线儿的与直线PQ垂直相交于点。，点A在射线O"上运动（点

A不与点。重合），点B在射线08上运动（点8不与点0重合），延长84至G,已知

/BAO、NO4G的角平分线与N8OQ的角平分线所在的直线相交于七、F,在八4所

中，如果一个角是另一个角的3倍，请直接写出NA8O的度数.

AZ

13.如图，在.•.A5C中，。为A8的中点，AB=AC=\OcmtBC=8cm.动点尸从

点B出发，沿8c方向以3c*/s的速度向点。运动；同时动点。从点C出发，沿C4方

向以3c〃z/s的速度向点A运动，运动时间是玄.

（1）在运动过程中，当点C位于线段PQ的垂直平分线上时，求出/的值；

（2）在运动过程中，当V8/V）也VCQ尸时，求出,的值：

（3）是否存在某一时刻/,使出庠K加?若存在，求出f的值：若不存在，请说明

理由.

14.阅读材料并完成习题；

在数学中，我们会用"截长补短'’的方法来构造全等三角形解决问题.请看这个例题：如图

1,在四边形ABCD中，ZBAC=ZBCD=90°,AB=AD,若AC=2cm,求四边形ABCD的面

积.

解：延长线段CB到E,使得8E=CD,连接AE,我们可以证明△BAEg^DAC,根据全等三

角形的性质得AE=AC=2,ZEAB=ZCAD,则

ZEAC=ZEAB+ZBAC=ZDAC+ZBAC=ZBAD=90°,得S四边彩

ABCD=SAA8C+S.2j\D€=S.-.ABC+S.2j\BE=SriAEC»这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形

EAC面积.

（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为_cm2.

（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题.

H

如图2,已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm,ZG=ZN=90°,求五边形FGHMN的面积.

15.探究发现：如图①，在中，内角NACB的平分线与外角NA6O的平分线相交

于点E.

(1)若44=80。，则NE=：

若NA=5()。，则NE=_：

(2)由此猜想：NA与NE的关系为(不必说明理由).

拓展延伸：如图②，四边形A8CD的内角NOC3与外角NA6E的平分线相交于点b,

BFHCD.

(3)若NA=125。，ZD=95°,求/F的度数，由此猜想ZF与NA,NO之间的关

系，并说明理由.

16.已知MN//GH,在RgABC中,ZACB=90°,=30°t点A在MN匕边

BC在GH上,在RADEF中,N。尸石=90。,边。后在直线粗？上，ZEDF=45°：

(1)如图1,求N84N的度数：

(2)如图2,将即△。所沿射线雨的方向平移，当点尸在M上时，求NA在;度数:

(3)将RfZXO瓦'在直线A6上平移，当以AD、E为顶点的三角形是直角三角形时,

直接写出N*4N度数.

D

例如：若a+b=3,ab=l,求/+〃的值.

解：因为。+方=3,，出=1

所以（4+8）2=9,2々。=2

所以/+2“％=9,2a/?=2

得/+从=7.

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

（1）若1+），=8,/+），2=4（）,求孙的值：

（2）①若（4-x）x=5,则（"xJ+Y=；

②若（4一月（5-6=8则（4-幻2+（5-耳2=：

（3）如图，点C是线段A8上的一点，以AC、8c为边向两边作正方形，设A8=6,

两正方形的面积和51+邑=18,求图中阴影部分面积.

18.已知4B〃CD,点E是平面内一点，NCOE的角平分线与N48E的角平分线交于点F.

（1）若点E的位置如图1所示.

①若/A8E=60°,ZCDE=80°,则/F=°；

②探究NF与/8ED的数量关系并证明你的结论；

（2）若点E的位置如图2所示，NF与N3ED满足的数量关系式是—.

（3）若点£的位置如图3所示，NCDE为锐角,且NE2；NF+45。，设/F=a,则a的

取值范围为—.

19.如图，在A48C中，ZACB=90°,AC=BC,AB=8cm,过点。做射线。。，且

CD//AB,点尸从点C出发，沿射线CO方向均匀运动，速度为3c〃z/s：同时，点。从

点A出发，沿A8向点8匀速运动，速度为la〃/s，当点。停止运动时，点。也停止运

动.连接夕Q,CQ,设运动时间为《$)(0<rv8).解答下列问题：

(1)用含有f的代数式表示。尸和的长度；

(2)当，=2时，请说明PQ//8C；

(3)设MCQ的面积为S(c/),求S与，之间的关系式.

20.在等边8c的顶点4C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度

由人向8和由。向4爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟

后，它们分别爬行到D、E处,请问：

(1)如图1,在爬行过程中，CO和BE始终相等吗，请证明？

(2)如果将原题中的“由人向8和由C向A爬行”，改为“沿着八8和CA的延长线爬

行"，EB与CD交丁点、Q,其他条件不变，蛆牛爬行过程中2CQE的大小保持不变，请利

用图2说明：ZCQf=60u：

(3)如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着8c的延长线爬行，连接。£交AC于

F”，其他条件不变，如图3,则爬行过程中，证明：DF=EF

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1.（1）见解析：（2）见解析：（3）猜想：ZH=3ZGDB,证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）作辅助线：过C作EF〃MN,根据平行的传递性可知这三条直线两两平行，由平行线

的性质得到内错角相等NMAC=NACF,ZBCF=ZPBC,再进行角的加和即可得出结论：

（2）根据角平分线线定理得知利用平角为180。

22

得到NDAE=90。，同理得ND8E=90。，再根据四边形内角和180。，得出结论；

（3）由（1）（2）中的结论进行等量代换得到3NADB=2NE,并且两角的和为180。，由

此得到两个角的度数分别为72。和108。,利用角的和与差得到NHDA=36。,ZH=54°,由此

得到倍数关系.

【详解】

（1）如图:过C作EF/7MN,

A

A/.N

£’F

PBQ

VMN/7PQ,

，MN〃EF〃PQ,

.*.ZMAC=ZACF,ZBCF=ZPBC,

AZACF+ZBCF=ZMAC+ZPBC,BPZACB=ZMAC+ZPBC.

（2）VAD.AE分别为NMAC,NCAN的角平分线，

・•・NMAD=-4MAC/NAE=-4NAC,

22

・•・ZMAD+NNAE=-ZMAC+-ZNAC=-xl80°=90°,于是/DAE=90°

222

同理可得：NPBD+NQBE=90。,由（1）可得：

•:ND+NE=ZAMD+APBD+4NAE+/QBE=180°.

（3）猜想：ZH=3ZGDB.

理由如下：由（1）可知：ZC=ZMAC+ZPBC=2（ZMAD+ZPBD）=2ZADB,

V3ZC=4ZE,

/.6ZADB=4ZE,

.,.3ZADB=2ZE,

VZADB+ZE=180°,

AZADB=72°,ZE=108°,

VDG1DA,.\ZGDB=18°,

VZFDA=2ZFDB,

.,.ZADF=144°,

AZHDA=36%

VDA1AE,

/.ZH=54",

/.ZH=3ZGDB.

【点睛】

考查平行线中角度的关系，学生要熟悉掌握平行线的性质以及用平分线定理，结合角的和

与差进行计算，本题的关键是平行线的性质.

2.(1)见解析：(2)见解析：(3)?或孩

【解析】

【分析】

(1)证明AAFD经△EAC,根据全等三角形的性质得到DF=AC,等量代换证明结论：

(2)作FD_LAC于D,证明△FDG^^BCG,得至ijDG=CG,求出CE,CB的长，得到答

案；

(3)过卜作卜D_LAG的延长线交于点D,根据全等二角形的性质得到CG=GD,

AD=CE=7,代入计算即可.

【详解】

解：(1)证明：VFDXAC,

:.ZFDA=90%

.*.ZDFA+ZDAF=90o,

同理，ZCAE+ZDAF=90%

AZDFA=ZCAE,

在4AFD和AEAC中，

/AFD=NEAC

-ZADF=NECA,

AF=AE

.,.△AFD^AEAC(AAS),

.\DF=AC,

VAC=BC,

・・・FD=BC：

(2)作FD1AC于D,

由(1)得，FD=AC=BC,AD=CE,

在AFDG^lABCG中，

ZFDG=ZBCG=90，

ZFGD=/BGC,

FD=BC

.,.△FDG^ABCG(AAS),

/.DG=CG=I,

.*.AD=2,

.\CE=2,

VBC=AC=AG+CG=4,

••・E点为BC中点：

图2B

(3)当点E在CB的延长线上时，过F作FD_LAG的延长线交于点D,

BC=AC=4,CE=CB+BE=7,

由(1)(2)知：AADF^AECA,ACDF^AGCB,

r.CG=GD,AD=CE=7,

.,.CG=DG=1.5,

.AG4+1.5II

••----=--------=—，

CG1.53

同理，当点E在线段BC上时，会AG=4彳-152=5],

CO1.53

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的

关键.

3.（1）证明见解析：（2）证明见解析；（3）结论：AD=DG-ND,证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)先根据直角三角形的性质得出NABC=60。，再根据角平分线的性质可得

CD=ED,然后根据三角形口勺判定定理与性质可得BC=BE,最后根据等边三角形的判

定即可得证：

(2)如图(见解析)，延长ED使得。尸=/必。，连接MF,先根据直角三角形的性质、

等边三角形的判定得出AMO尸是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出

NF=NMDB,MF=MD/FMG=NDMB,然后根据三角形全等的判定与性质、等量

代换即可得证：

(3)如图(见解析)，参照题(2),先证AHDN是等边三角形,再根据等边三角形的

性质、角的和差.得出NH=NNDG,NH=ND,NHNB=NDNG,然后根据三角形全等

的判定与性质、等量代换即可得证.

【详解】

(1)vZACB=90°,ZA=30°

/.ZABC=90°-ZA=60°

Q8。是NABC的角平分线，DELAB

:.CD=ED

[CD=ED

在凶8和MED中，(ncnn

Bu=BD

\BCD^\BED(HL)

:.BC=BE

.•.△E8C是等边三角形；

(2)如图，延长ED使得OF=M£),连接MF

vZ4CT=90°,Z4=30°,8。是448c的角平分线，DELAH

：.ZADE=/BDE=60°,AD=BD

ZMDF=Z1ADE=60°,NMDB=180°-Z1ADE-Z1BDE=60°

.•.△的厂是等边三角形

MF=DM,NF=/DMF=60°

・・•NBMG=60。

/DMF+ZDMG=/BMG+/DMG,即NFMG=NDMB

NF=NMO8=60。

在AFMG和△D/WB中，,M"=M。

/FMG=NDMB

AFMG=ADMB(ASA)

:.GF=BD,即+=

:.AD=DF+DG=MD+DG

即AD=DG+MD；

G

(3)结论：AD=DG-ND,证明过程如下：

如图，延长BD使得OH=ND,连接NH

由(2)可知，ZADE=60°,ZHDN=180°-ZADE-ZBDE=60°,AD=BD

是等边三角形

NH=ND,NH=/HND=60°

・・NBNG=60。

4HND+4BND=/BNG+4BND,却/HNB=NDNG

ZH=NNDG=60。

在AHNB和ADNG中,NH=ND

ZHNB=4DNG

/.kHNB\ADNG(ASA)

:.HB=DG,即DH+BD=DG

:.ND+AD=DG

即AD=DG-ND.

【点睛】

本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质

等知识点，较难的是题（2）和（3）,通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键.

4.（1）AD=DE,见解析：（2）AD=DE,见解析：（3）见解析，AADE是等边三角形，

【解析】

【分析】

（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明AAO/二AEOC即可得解；

（2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明AAFD0ADCE即可得解：

（3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.

【详解】

（1）如下图,数量关系：AD=DE.

证明：:△ABC是等边三角形

：,AB=BC,ZB=ABAC=ABCA=60°

VDF/7AC

/.ZBFD=ZBAC,ZBDF=ZBCA

・•・NB=4BFD=/BDFRJ。

・•・ABZ加是等边三角形，ZAFD=\20°

：.DF=BD

•・•点。是8c的中点

JBD=CD

：.DF=CD

VCE是等边AABC的外角平分线

ZDCE=\200=ZAFD

•••△ABC是等边三角形，点。是8c的中点

：.AD1BC

:.ZADC=^O°

•・•NBDF=ZADE=6()。

：.ZADF=NEDC=30。

在凶。/7与AEOC中

NAFD=ZECD

DF=CD

4ADF=/EDC

^ADF^EDC(ASA)

.\AD=DE；

(2)结论：AD=DE.

证明：如下图，过点。作DF〃AC,交A8于F

•••AABC是等边三角形

：.AB=BC,N4N8A3N8c4=60。

DF//AC

：.ZBFD=ZBAC,ZBDF=ZBCA

・•・4B=4BFD=4BDF=^

・•・MD户是等边三角形，ZAFD=\20°

:,BF=BD

：.AF=DC

•••C£是等边A4BC的外角平分线

・•・ZDCE=\200=ZAFD

,/ZADC是/SABD的外角

・•・ZADC=AB+Z.FAD=^Q-\-^FAD

,:ZADC=ZADE+ZCDE=&r~\~ZCDE

：・/FAD=NCDE

在A4FD与MCE中

NAFD=/DCE

AF=CD

NFAD=NEDC

^AFD^^DCE(ASA)

/.AD=DE；

(3)如下图，AADE是等边三角形.

证明：,:BC=CD

:.AC=CD

•••CE平分NACO

••・C£垂直平分八。

：.AE=DE

ZAE)E=60°

・•・A4OE是等边三角形.

【点睛】

本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂

直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是蟀决本题的关键.

5.90\45°：20'，30°;a+y=2/3ta-y=2/3.

【解析】

【分析】

(1)①如图①知/EMC】=-NBMC,N&MF=-ZC.MC得

22

=+NGMC)可求出解.

②由图②知NEB%=-NA8C；,ZC,BF=-NgBC得/EBF=-(ZABQ+ZC.BC)可

22

求出解.

(2)①由图③折卷知/。加尸=/厂加。1,/8"七=/日04，可推出

("MC-NEMF)-"MF=NGM%,即可求出解.

②由图④中折叠知4CMF="MF,/ABE=,可推出

2(90-603)+Z^MC,=90,即可求出解.

(3)如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，a-p=p-y.〃-〃=〃+/,即可求得

a+y=20、a-y=ip.

【详解】

解：(1)①如图①中，

*,•匕EMC、=g"MJNC；M”=gZC.MC,

NEMF=/EMC1+ZC.MF=-(ZBMC,+ZC.MC)=-x180°=90°,

22

故答案为90".

②如图②中，•/NEBA=~/48G,ZC,BF=-ZC,BC,

22

:"EBF=NEBQ+NC用产=；(NAg+NC/C)=1x90°=45°,

故答案为45°.

(2)①如图③中由折叠可知,

4CMF=乙FMC、,4BME=4EMB、,

•・・"MF+NEMB「NEMF=ZQMB,,

NCMF+NBME-4EMF=ZC,MB1,

/.(Z.BMC-ZEMF)-NEMF=ZC./WB,,

.-.180°-80°=ZC,A/5,=20\

②如图④中根据折叠可知，

NCMF=4MF/ABE=/4BE,

•.2/CMF+2/ABE+Z^A/C,=90°,

2(NCM尸+ZABE)+=90,

/.2(90'—ZEMF)+"MQ=90,，

2(90'-60)+"阳=90。，

NAMq=30°；

(3)如图⑤T中，由折叠可知，a-P=p-yt

:.a+y=ip:

如图⑤-2中，由折叠可知，=

:.a-y=2/3.

【点睛】

本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及•些角度的计算问

题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综

合运用典型题目.

6.(1)=；(2)证明见解析：(3)60%BD=CE；(4)90°,AM+BD=CM：(5)7

【解析】

【分析】

DBEC

(1)由DE〃BC,得至IJ——=——，结合AB=AC,得到DB=EC；

ABAC

(2)由旋转得到的结论判断出△DABgZXEAC,得到DB=CE；

(3)根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DABg^EAC,根据全等三角

形的性质求出结论；

(4)根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；

(5)根据旋转的过程中4ADE的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，AADC的AC始

终保持不变，即可.

【详解】

［初步感知］(1)VDE/7BC,

DBEC

：.——=——，

ABAC

VAB=AC,

.*.DB=EC,

故答案为：=,

(2)成立.

理由：由旋转性质可知NDAB=/EAC,

在ZXDAB和AEAC中

AD=AE

<^DAB=ZEAC,

AB=AC

.,.△DAB^AEAC(SAS),

r.DB=CE；

［深入探究］(3)如图③，设AB,CD交于O,

图③

VAABC^IIAADE都是等边三角形，

.\AD=AE,AB=AC,ZDAE=ZBAC=60%

.,.ZDAB=ZEAC,

在ADAB和4EAC中

AD=AE

,NDAB=/EAC,

AB=AC

.,.△DAB^AEAC(SAS),

r.DB=CE,ZABD=ZACE,

VZBOD=ZAOC,

ZBDC=ZBAC=60°：

(4)♦△DAE是等腰直角三角形,

・••ZAED=45%

.\ZAEC=135°,

在4DAB和4EAC中

AD=AE

</DAB=/EAC,

AB=AC

.,.△DAB^AEAC(SAS),

.,.ZADB=ZAEC=135°,BD=CE,

VZADE=4S%

；・ZBDC=ZADB-ZADE=90°,

•「△ADE都是等腰直角三角形，AM为4ADE中DE边上的高,

.*.AM=EM=MD,

.\AM+BD=CM；

故答案为：90°,AM+BD=CM；

【拓展提升】

（5）如图,

由旋转可知，在旋转的过程中AADE的面枳始终保持不变，

△ADE与4ADC面积的和达到最大，

AAADC面积最大，

•••在旋转的过程中，AC始终保持不变，

.•.要aADC面积最大，

.,•点D到AC的距离最大，

ADA1AC,

AAADE与4ADC面积的和达到的最大为2+-xACxAD=5+2=7,

2

故答案为7.

【点睛】

此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变

化分析，解本题的关键是三角形全等的判定.

7.（1）HL；（2）见解析：（3）如图②，见解析：就是所求作的三角形，和

△A8c不全等.

【解析】

【分析】

（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；

（2）过点C作CG_LAB交AB的延长线于G,过点F作FH_LDE交DE的延长线于H,根据

等角的补角相等求出NCBG=/FEH,再利用“角角边”证明ACBG和△FEH全等，根据全

等三角形对应边相等可得CG=FH,再利用“HL”证明RtZXACG和Rt^DFH全等，根据全等

三角形对应角相等可得/A=ND,然后利用“角角边”证明AABC和4DEF全等；

（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D,E与B重合，F与C重合，

得到aDEF与4ABC不全等：

（4）根据三种情况结论，NB不小于/A即可.

【详解】

（1）在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用的是

HL.

（2）证明：如图①，分别过点C、F作对边48、DE上的高CG、FH，其中G、〃为垂足.

•••/A8C、NDEF都是钝角

，G、H分别在48、DE的延长线上.

'：CGLAG,FHLDH,

：.ZCGA=ZFHD=90°.

'：ZCBG=180°~ZABC,ZF£H=Z1800-ZD£F,NABC=ZDEF,

：.ZCBG=ZFEH.

在A8CG和中，

ZCGB=ZFHE,NCBG=NFEH,BC=EF,

:・A8CG丝AEFH.

：.CG=FH.

又，：AC=DF..\RtMCGg△DFH.

，N4=ND.

在8c和^OEF中，

VZABC=ZDEF,NA=ND,AC=DF,

：./\ABC^/\DEF.

(3)如图②，ADEF就是所求作的三角形，ADEF和AA8c不全等.

(W

【点睛】

本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握

三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细.

8.(1)(1)①125。；②90，(2)ZBFC=-a；(3)ZBMC=90+-a

【解析】

【分析】

(1)①由三角形内角和定理易得NABC+NACB=110。，然后根据角平分线的定义，结合三

角形内角和定理可求NBDC；

②由三角形内角和定埋易得/ABC+NACB=18(T-/A,采用①的推导方法即可求解；

(2)由三角形外角性质得N8W=NR7£—N^8C,然后结合角平分线的定义求解;

(3)由折强的对称性得NBGC=NBFC,结合(1)②的结论可得答案.

【详解】

解：(1)①;=A8C,ZDCB=-^ACB,

22

Z8DC=1800-ZDBC-ZDCB

=180°--(Z4BC+ZACB)

2

=180°--(180°-70°)

2

=125°

@VZDBC=-ZABC,ZDCB=-ZACB,

22

Z8DC=180°-Z.DBC-ADCB

=180°--(NA8C+N4C8)

2

1

=180°--(180--NA)

2

1

=900+-NA

2

1

=90°+—a.

2

故答案分别为125。，90。+!a.

2

(2)•「8F和CF分别平分NABC和NACE

ZFBC=-ZABC,ZFCE=izACE,

22

・•.ABFC=ZFCE-ZFBC=[(ZACE-ZABC)=1NA

22

即NBFC」a.

2

(3)由轴对称性质知：ZBGC=ZBFC=-a,

2

由(1)②可得NBMC=9()°+g/BGC,

ZBMC=90°+-(7.

4

【点睛】

本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角利定理，以及三角形

的外角性侦是解题的关键.

9.(1)证明见解析：(2)证明见解析：(3)当4c=28。时，对于满足条件的任意点

N,4N=CP始终成立，证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)由三角形的内角和定理可求NACN=NAMC=135°-NACM：

(2)过点N作NE_LAC于E,由“AAS”可证△NECgZ^CDM,可得NE=CD,由三角形面积

公式可求解；

(3)过点N作NE_LAC于E,由“SAS”可证ANEAg△CDP,可得AN=CP.

【详解】

(1)ZBAC=45°,

ZAMC=180°-450-ZACM=135°-ZACM.

•••ZNCM=135°,

/.ZACN=1350-ZACM,/.ZACN=ZAMC；

(2)过点N作NEJ_AC于E,

,/ZCEN=ZCDM=90°,ZACN=ZAMC,CM=CN,

△NEC合ACDM(AAS),

/.NE=CD,CE=DM：

11

•/sI=-AC*NE,S2=-AB*CD,

22

S、AC

(3)当AC=2BD时，对于满足条件的任意点N,AN=CP始终成立,

理由如下：过点N作NE_LAC于E,

由(2)可得NE=CD,CE=DM.

•/AC=2BD,BP=BM,CE=DM,

AC-CE=BD+BD-DM,

AE=BD+BP=DP.

,/NE=CD,ZNEA=ZCDP=90°,AE=DP,

...△NEA^△CDP(SAS),

AN=PC.

【点睛】

本题三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形面积公

式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

10.(1)①60。：②AD=BE.证明见解析；(2)ZAEB=90°；AE=2CM+BE；理由见解析.

【解析】

【分析】

(1)①由条件4ACB和aDCE均为等边三角形，易证△ACDgABCE,从而得到：AD=BE,

ZADC=ZBEC.由点A,D,E在同一直线上可求出NADC,从而可以求出NAEB的度

数.②由△ACD^^BCE,可得AD=BE；

(2)首先根据4ACB和4DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC,CD=CE,

ZACB=ZDCE=90°,据此判断出NACD=NBCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出

△ACD0△BCE,即可判断出BE=AD,ZBEC=ZADC,进而判断出NAEB的度数为90。：根据

DCE=90°,CD=CE,CM±DE,得CM=DM=EM,所以DE=DM+EM=2CM,据此判断出

AE=BE+2CM.

【详解】

(1)®VZACB=ZDCE,ZDCB=ZDCB,

.,.ZACD=ZBCE,

在AACD和ABCE中，

AC=BC

«NACD=NBCE,

CD=CE

/.△ACD^ABCE,

.*.AD=BE,ZCEB=ZADC=1800-ZCDE=120°,

ZAEB=ZCEB-ZCED=60°；

②AD=BE.

证明：VAACD^ABCE,

.\AD=BE.

(2)ZAEB=90°；AE=2CM+BE：理由如下:

,/AACB和ZkDCE均为等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,

.*.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCB=ZDCE-ZDCB,B|JZACD=ZBCE,

.,.△ACD^ABCE,

AAD=BE,ZBEC=ZADC=135°.

/.ZAEB=ZBEC-ZCED=135•一45°=90°.

在等腰直角aDCE中，CM为斜边DE上的高，

ACM=DM=ME,/.DE=2CM.

r.AE=DE+AD=2CM+BE.

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知

识，解题时需注意运用已有的知识和经验解决相似问题.

11.(1)见解析(2)(4,2)(3)(6,0)

【解析】

【分析】

(1)先判断出NACB=/ADC,再判断出NCAD=/BCE,进而判断出4ACD丝ZSCBE,即可得

出结论；

(2)先判断出MF=NG,OF=MG,进而得出MF=1,OF=3,即可求出FG=MF+MG=l+3=4,

即可得出结论：

(3)先求出OP=3,由y=0得x=l,进而得出Q(1,0),OQ=1,再判断出PQ=SQ,即可

判断出OH=4,SH=0Q=l,进而求出直线PR的解析式，即可得出结论.

【详解】

证明：•.•NACB=90°,AD±I

AZACB=ZADC

ZACE=ZADC+ZCAD,ZACE=ZACB+ZBCE

.\ZCAD=ZBCE,

VZADC=ZCEB=90°,AC=BC

AAACD^ACBE,

.\AD=CE,CD=BE,

(2)解：如图2,过点M作MFJ_y轴，垂足为F,过点N作NG_LMF,交FM的延长线于

G,

由已知得OM=ON,且NOMN=90”

・••由(1)得MF=NG,OF=MG,

VM(1,3)

r.MF=l,OF=3

AMG=3,NG=1

AFG=MF+MG=l+3=4,

，OF-NG=3-1=2,

・••点N的坐标为(4,2),

(3)如图3,过点Q作QSJ_PQ,交PR于S,过点S作SH1.X轴于H,

对于直线y=-3x+3,由x=0得y=3

AP(0,3),

AOP=3

由y=0得x=l,

AQ(1,0),OQ=1,

,.,ZQPR=45°

r.ZPSQ=450=ZQPS

，PQ=SQ

・••由⑴得SH=OQ,QH=0P

AOH=OQ+QH=OQ+OP=3+1=4,SH=OQ=1

r.s(4.i).

(b=3k=--

设直线PR为y=kx+b,则《4八人「解得