15.1 二次根式 同步练习-2026-2027学年冀教版数学八年级上册

—第页—15.1二次根式同步练习（基础巩固·能力提升·素养拓展）2026-2027学年冀教版数学八年级上册📖一、基础巩固1.下列各式中，一定是二次根式的是（）A.√(x)B.√(x−1)C.√(2)D.√(−3)2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A.√(9)B.√(1/3)C.√(8)D.√(3)3.下列计算正确的是（）A.(√(5))²=5B.√((−3)²)=−3C.(√(−3))²=−3D.√(16)=±44.当x______时，二次根式√(2x−6)有意义。5.计算：√((−7)²)=______，(√(6))²=______。6.对于二次根式√(a−4)：当a______时它有意义；当a=9时，它的值是______。🚀二、能力提升7.若式子√(x+1)/(x−2)有意义，则x的取值范围是（）A.x≥−1B.x≥−1且x≠2C.x>−1D.x≠28.若√((3−a)²)=a−3，则a满足（）A.a>3B.a<3C.a≤3D.a≥39.若二次根式√(m+2)与√(3−m)都有意义，则m的取值范围是______。10.已知0<a<2，化简√(a²)+√((a−2)²)。11.已知a、b都是实数，且√(a+1)+|b−2|=0，求(a+b)²的值。🌟三、素养拓展12.已知x、y都是实数，且y=√(x−5)+√(5−x)+3。

（1）求x与y的值；

（2）求(x+y)²的算术平方根。13.已知a、b、c是三角形的三边长，化简√((a+b−c)²)+√((b−a−c)²)。14.观察下列各式：

√(1×2×3×4+1)=5，√(2×3×4×5+1)=11，√(3×4×5×6+1)=19，……

（1）用含n（n为正整数）的等式表示你发现的规律；

（2）利用你发现的规律，计算√(4×5×6×7+1)的值。✅自评区完成作业后请对照本表逐项自评，全部打√视为本课达标。自评项目达标标准自评概念与法则能准确说出本课核心概念、法则及其适用条件□基本计算基础题全部正确，书写规范、符号无误□方法运用能独立完成提升题并写出完整过程□错因订正对照解析订正错题，标注出错原因□📝答案解析一、基础巩固1.【答案】C【解析】①考点定位二次根式的定义：形如√(a)的式子，其中被开方数a≥0。判断时先看是否为二次根号的形式，再看被开方数能否保证非负。②解题思路逐项判断：A中√(x)需要x≥0才成立；B中√(x−1)需要x≥1才成立；D中√(−3)的被开方数是−3<0，在实数范围内没有意义；只有C中√(2)的被开方数2>0恒成立，与字母无关。故选C。③避坑指南最常见的错误是把“带根号”与“二次根式”画等号。被开方数为负数时在实数范围内根本开不出来，这样的式子不是二次根式，写√(−3)本身就是错的。另外要看清根指数，二次根号的根指数是2，三次根号不属于本章研究的对象。2.【答案】D【解析】①考点定位最简二次根式的两个条件：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，两条必须同时满足。②解题思路A中√(9)=3，被开方数9是能开得尽方的数；B中√(1/3)的被开方数含分母；C中√(8)=4×2，含能开得尽方的因数4，可化为2√(2)；只有D中√(3)的被开方数3是不含分母且开不尽方的数。故选D。③避坑指南判断时要紧抓两条：有没有分母、有没有开得尽方的因数。9、25、16、4这类完全平方数藏在被开方数里最容易被忽略，如√(12)中的4、√(18)中的9都必须提出来。另外分数形式的被开方数要化成整数的被开方数，不能保留1/3这样的分母。3.【答案】A【解析】①考点定位两个基本性质：(√(a))²=a（a≥0）；√(a²)=|a|。“先开方后平方”与“先平方后开方”的结果表达不同。②解题思路A中(√(5))²=5，直接由(√(a))²=a得到，正确；B中√((−3)²)=√(9)=3，符号弄错；C中√(−3)在实数范围内无意义，(√(−3))²根本不存在；D中√(16)表示16的算术平方根，等于4，不能带正负号。故选A。③避坑指南三条易错点要记牢：一是B的符号，√(a²)的结果取绝对值，必为非负数；二是C的前提，被开方数必须非负，负数开平方在本章无意义；三是D的概念，√()只表示算术平方根，结果唯一且非负，写±4是把平方根与算术平方根混淆了。4.【答案】x≥3【解析】①考点定位二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零，本题的被开方数是含字母的整式2x−6。②解题思路由被开方数非负得2x−6≥0，移项得2x≥6，两边同除以2得x≥3。所以当x≥3时，二次根式√(2x−6)有意义。③避坑指南解这类题只列一个不等式即可，关键是不等号的方向与系数。同除以正数2时方向不变，若系数是负数就要变号。另外不能漏掉等号，x=3时被开方数为零，二次根式的值为零但式子仍有意义。5.【答案】√((−7)²)=7，(√(6))²=6【解析】①考点定位两个基本性质：(√(a))²=a（a≥0）；√(a²)=|a|。前者是先开方后平方，后者是先平方后开方。②解题思路求√((−7)²)：先算被开方数(−7)²=49，再开方得√(49)=7；也可直接用√(a²)=|a|，得|−7|=7。求(√(6))²：由(√(a))²=a直接得6，不必先算出√(6)的近似值。③避坑指南两个性质长得很像，方向却完全相反，混用是本题最大的失分点。(√(a))²的结果就是a本身，符号照抄；√(a²)的结果是|a|，要保证非负。本题中−7经过√(a²)=|a|这一步后变成7，如果直接写成−7就错了。6.【答案】a≥4；当a=9时，√(a−4)=√(5)【解析】①考点定位二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零，本题只需盯住被开方数a−4。②解题思路由a−4≥0解得a≥4，即当a≥4时√(a−4)有意义。把a=9代入被开方数，得9−4=5>0，式子有意义，所以它的值是√(5)，而√(5)已是最简二次根式。③避坑指南第一空不要写成a>4，被开方数等于零时式子仍有意义，边界值必须包含。第二空要注意√(5)与(√(5))²=5的区别：前者是开方运算的结果，后者是开方后再平方，两者数值完全不同，不能相互替换。二、能力提升7.【答案】B【解析】①考点定位被开方数非负与分母不为零是两个独立的限制条件，同时出现时必须都满足。②解题思路分子中的二次根式√(x+1)要求x+1≥0，解得x≥−1；分母x−2不能为零，解得x≠2。两个条件要同时成立，所以x≥−1且x≠2。故选B。③避坑指南最典型的错误是只看到一个限制。只考虑根式会漏掉x≠2，只考虑分母会漏掉x≥−1，两种情况都要写全。还要注意合并时不能写成x>−1，因为x=−1时被开方数为零但根式仍有意义，这个值必须保留。8.【答案】D【解析】①考点定位依据√(a²)=|a|，把左边化为绝对值，再根据绝对值的意义把方程转化为不等式。②解题思路由√((3−a)²)=|3−a|，原式变为|3−a|=a−3。由于a−3是绝对值的结果，它必须非负，所以3−a≤0，解得a≥3。检验：当a=3时两边都为0，成立。故选D。③避坑指南不要用两边平方的办法去掉根号，那样会丢掉符号信息。核心判据是：|3−a|等于3−a本身，说明括号里的3−a非正，于是列出3−a≤0。若题目给出的是√((a−3)²)=a−3，则条件反过来，应得a≥3，注意被减数与减数的位置。9.【答案】−2≤m≤3【解析】①考点定位两个二次根式都有意义，就是两个被开方数都要大于或等于零，把两个条件写在一起求公共部分。②解题思路由√(m+2)有意义得m+2≥0，即m≥−2；由√(3−m)有意义得3−m≥0，即m≤3。两个条件同时成立，取公共部分得−2≤m≤3。③避坑指南关键是把两个不等式的公共部分正确求出，答案是一个区间而不是两个分开的不等式。特别小心第二个不等式：由3−m≥0移项要变号，得m≤3，若写成m≥3就全错了。取公共部分时画一条数轴对照最稳妥，两端能不能取到要看有没有等号。10.【答案】原式=2【解析】①考点定位核心依据是√(a²)=|a|，化简后必须先去绝对值，而判断绝对值里式子的正负要靠题给的范围。②解题思路由√(a²)=|a|，√((a−2)²)=|a−2|，所以原式=|a|+|a−2|。因为0<a<2，所以a>0，得|a|=a；又a−2<0，得|a−2|=2−a。于是原式=a+(2−a)=2。③避坑指南本题最容易在去绝对值时丢符号。a−2在0<a<2的条件下是负数，绝对值要写成它的相反数2−a，写成a−2就错了。另外化简的最后结果是一个确定的数2，不含字母a，这是题目给定范围的意义所在。11.【答案】(a+b)²=1【解析】①考点定位二次根式的值非负、绝对值的值也非负，两个非负数之和为零，只能二者同时为零。②解题思路因为√(a+1)≥0且|b−2|≥0，它们的和为0，所以必须√(a+1)=0且|b−2|=0。由√(a+1)=0得a+1=0，即a=−1；由|b−2|=0得b−2=0，即b=2。所以a+b=−1+2=1，从而(a+b)²=1²=1。③避坑指南本题用到“几个非负数之和为零，则每个非负数都为零”这一结论，前提是每一项都非负，二次根式与绝对值都满足，缺一不可。易错处有两点：一是解√(a+1)=0时忘记两边平方，直接写成a+1=0是对的，但要注意此时被开方数为零是有意义的；二是算完a、b后忘记再求(a+b)²，把a、b当成最终答案。三、素养拓展12.【答案】（1）x=5，y=3；（2）算术平方根是8【解析】①考点定位两个二次根式同时出现，被开方数非负的条件要同时满足，由此可以把字母x的值“夹”出来。②解题思路（1）要使y=√(x−5)+√(5−x)+3有意义，必须x−5≥0且5−x≥0。前者得x≥5，后者得x≤5，同时成立只能x=5。把x=5代入，两个根式都等于0，所以y=0+0+3=3。

（2）由（1）得x+y=5+3=8，于是(x+y)²=64。由于8²=64且8>0，所以64的算术平方根是8。③避坑指南第（1）问的关键是看出x≥5与x≤5的公共部分只有x=5这一个值，这类“一根号被开方数互为相反数”的结构是常见模型。第（2）问要分清平方与开方的顺序，先算x+y再平方，不能把64误当成最终答案，题目问的是算术平方根，答案只有非负的8，不能写成±8。13.【答案】原式=2a【解析】①考点定位依据√(a²)=|a|，再借助三角形三边关系判断绝对值内各式的正负，这是代数与几何的结合。②解题思路由√(a²)=|a|得，原式=|a+b−c|+|b−a−c|。因为a、b、c是三角形三边，由两边之和大于第三边得a+b>c，所以a+b−c>0，故|a+b−c|=a+b−c；又b−a−c=b−(a+c)，而a+c>b，所以b−a−c<0，故|b−a−c|=a+c−b。于是原式=(a+b−c)+(a+c−b)=2a。③避坑指南正确化简的前提是把绝对值内每个式子的符号判断清楚，依据就是三角形两边之和大于第三边。易错点是第二个式子的变形，b−a−c要看成b减去(a+c)，由a+c>b判断它为负数，再取