应用基础数值 13

应用数值分析第五讲线性方程组的迭代解法（一）2范数与矩阵的条件数（2）

34教学小结提纲几种常用的迭公式（1）1问题引入教学目标与重难点教学目标能运用Jacobi,Gauss-Seidel方法解决问题。比较Jacobi,Gauss-Seidel方法解题的特点，并评判各种解法的优缺点。

1.会按定义计算范数与条件数；2.能描述迭代法的一般形式；

3.能运用Jacobi,Gauss-Seidel方法解决问题。教学重点教学难点一问题引入一、问题引入线性方程组的系数矩阵A非奇异，从而有一组唯一的解。构造等价的方程组建立迭代公式。

二范数与矩阵的条件数（2）三、范数与矩阵的条件数定义8

若方阵序列

满足则称矩阵序列收敛于矩阵记为定理5定义9

设n阶方阵A的特征值为则称

为矩阵A的谱半径。（３）谱半径求谱半径的matlab命令：vrho(A)ormax(abs(eig(A)))三、范数与矩阵的条件数定理6

方阵谱半径和方阵范数有如下关系设λi是A的任一特征值,xi为相应的特征向量证

Axi=λixi所以ρ(A)=max|λi

|≤‖A‖定理7两边取范数有|λi|‖xi‖≤‖A‖‖xi‖由xi

≠0有‖xi‖>0，有|λi

|≤‖A‖i=1,2,…,n。三、范数与矩阵的条件数例4求‖A‖1,‖A‖2,‖A‖∞,ρ(A)。

显然容易求得：‖A‖1=4,‖A‖∞=4解设求范数的matlab命令：norm(A,p);p=1,2,inf.三、范数与矩阵的条件数二、范数与矩阵的条件数2.矩阵的条件数与舍入误差分析（１）右端常向量的扰动对解向量的影响设Ax=b中仅右端向量b有误差δb

，系数矩阵A准确，对应的解x产生误差δx

，由于Ax=b，所以Aδx=δb，A非奇异，有线性方程组Ax=b

的解是由系数矩阵A及右端常向量b所确定的。从实际问题中得到的方程组中，系数矩阵A的元素和向量b的分量，不可避免地会带有误差。必然会对最终解向量x产生影响。即定理8

若A是实对称矩阵，则有二、范数与矩阵的条件数‖b‖=‖Ax‖≤‖A‖‖x‖得两式相除，有同理，由Aδx=δb‖δb‖≤‖A‖‖δx‖‖x‖=‖A-1b‖≤‖A-1‖‖b‖有由x=A-1b

δx=A-1δb‖δx‖≤‖A-1‖‖δb‖二、范数与矩阵的条件数（２）系数矩阵的扰动对解向量的影响定义10

若n阶方阵A非奇异，则称‖A‖×‖A-1‖为A的条件数，记为Cond(A)，设Ax=b中仅系数矩阵A有误差δA,右端向量b是准确的，对应的解x产生的误差仍记为δx

，即Cond(A)=‖A‖×‖A-1‖范数选择的不相同，条件数也不相同。即如二、范数与矩阵的条件数有（３）系数矩阵和右端常向量的扰动对解向量的影响有设Ax=b中不仅系数矩阵A有误差δA,右端向量b也有误差δb，对应的解x产生的误差仍记为δx

，即二、范数与矩阵的条件数即Cond(A)总是大于等于1的数。由于Cond(A)=||A||||A-1||≥||AA-1||=||I||=1定义11如果矩阵A或常数项b的微小变化，引起方程组Ax=b解的巨大变化，则称此方程组为“病态”方程组，矩阵A称为“病态”矩阵(相对于方程组而言)，否则称方程组为“良态”方程组，A称为“良态”矩阵。注意：矩阵的“病态”性质是矩阵本身的特性，我们希望找到刻画矩阵“病态”性质的量。二、范数与矩阵的条件数对病态方程组，无论采用什么方法求解，都将会产生很大的计算误差。在这种情况下，最好方法是考虑修改数学模型，或者改变算法与计算公式，避开病态方程组。

如：在数据拟合问题中的正则方程,就出现了病态方程组。常常采用正交多项式做数据拟合以避开病态的正则方程组，可以证明：正交矩阵的2范数的条件数为1。条件数反映了方程组的“病态”性质。Cond(A)接近于1时,称方程组是良态的方程组。当Cond(A)>>1时,称方程组为病态的方程组。二、范数与矩阵的条件数例1求

cond2(H2),cond1(H2)和cond∞(H2)例2当n较大时，就是高度的病态矩阵。对N阶Hilbert矩阵二、范数与矩阵的条件数解：二、范数与矩阵的条件数例3讨论：三几种常用的的迭代公式（1）三、几种常用的迭代公式设线性方程组

Ax=b系数矩阵A非奇异，从而有一组唯一的解。建立迭代公式构造等价的方程组任取一个初值x(0)

，由迭代公式产生x近似解的一个向量序列{x(k)}，若则有即x*是Ax=b的解。三、几种常用的迭代公式迭代公式x(k+1)=Bx(k)+f

的构造形式不同，就可得到不同的迭代法。定义1若对任意的初值x（0），迭代公式x(k+1)=Bx(k)+f产生的向量序列{x（k）}均收敛，则称迭代公式是收敛的，否则称迭代公式是发散的。称B为迭代矩阵。迭代法特别适合求解零元素较多的稀疏矩阵。用直接解法求解时，一次消元就可能使系数阵丧失其稀疏性，不能充分利用其稀疏的特点。例4用迭代法求解方程组从三个方程中分别解出三、几种常用的迭代公式取初值x(0)=(0,0,0)T，得到迭代序列{x(k)}如下表k0123456789x102.50002.87503.13643.02403.00032.99382.99903.00023.0001x203.00002.36362.04551.94781.98402.00002.00262.00061.9999x303.00001.00000.971600.920401.00101.00391.00310.999850.99988方程组的准确解为x=(3,2,1)T，从上表的计算结果可看出，向量序列{x（k）}收敛于方程组的准确解。构造迭代格式为三、几种常用的迭代公式一般说来，对方程组1.Jacobi方法（简单迭代法）并设从第i个方程解出xi，得等价的方程组构造迭代公式为这种迭代格式称为Jacobi迭代法，也称为简单迭代法。三、几种常用的迭代公式其矩阵形式为：记得Jacobi迭代法的矩阵形式为三、几种常用的迭代公式其中例5

用Jacobi迭代法程序Jacobi.m,求解线性方程组三、几种常用的迭代公式2.Gauss-Seidel迭代法

在例4的Jacobi迭代法中，可以看出，在计算时，要利用，但此时的已经计算出来了。可以利用代替。一般地，计算(2≤i≤n)时，可使用代替(1≤p＜i)，由此形成一种新的迭代法，称为Gauss-Seidel迭代法。clc,clearall,formatlongA=[10,-1,2,0;-1,11,-1,3;2,-1,10,-1;0,3,-1,8];b=[6;25;-11;15];x0=[0;0;0;0];eps=1e-3;N=300;x=Jacobi(A,b,x0,eps,N)解：编写如下m文件调用函数Jacobi.m,并运行。

结果：x=1.0001185986914151.999767947010035-0.9998281428744760.999785978460050三、几种常用的迭代公式Seidel迭代法的迭代公式如下在一定的条件下，Seidel迭代法比Jacobi迭代法收敛的速度快。Seidel迭代法的矩阵迭代形式为三、几种常用的迭代公式例6

用Seidel迭代法计算例4，并与例4的结果作比较。迭代公式为解k0123456x102.50002.97733.00982.99982.99993.0000x202.09092.02891.99681.99972.00012.0000x301.22731.00410.99591.00021.00011.0000可见Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收敛要快一些。三、几种常用的迭代公式clc,clearall,formatlongA=[8,-3,2;4,11,-1;6,3,12];b=[20;33;36];x0=[0;0;0];eps=1e-3;N=300;x=Gauss_Seidel(A,b,x0,eps,N)编写如下m文件调用函数Gauss_Seidel.m,并运行。结果：迭代次数=5x=2.9998423866411102.0000721335943281.000060773280863四内容小结四、内容小结1）用选主元消元法消元过程式中出现小主元。2）系数行列式的绝对值相对的很小。3）系数矩阵元素间在数量级上相差很大且无一定规律。4）出现了相对很大的解。1.