第1章 数制和码制

数制和码制

10进制：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10,…7进制：0，1，2，3，4，5，6,10,11,12,13…2进制：0，1，10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010…16进制：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，,E，F,10

(123.456)10数字通常用括号括起来，右下标写上进制10进制常省略括号下标上下文清楚进制也可省略在小数点左侧，基的幂次从0开始，每向左一位幂次增加1；在小数点右侧，每向右一位，基的幂次减1

用某一数制来表示一个数时，每个位置上的数字所代表的权值不同，每个位置的权值是基的幂次

二进制（1）

二进制数可以用多项式表示为十进制数：二进制（2）二进制数最左边的bit称为最高有效位MSB（MostSignificantBit），最右边的bit称为最低有效位LSB（LeastSignificantBit）两个bit可以产生出4种组合3个bit可以产生8种组合

八进制

八进制数可以用多项式表示为十进制数：十六进制

十六进制数可以用多项式表示为十进制数：数制总结十进制二进制三进制四进制八进制十六进制000000111111210222231110333410011104451011211556110201266711121137781000222010891001100211191010101012212A1110111022313B1211001103014C1311011113115D1411101123216E1511111203317F1610000121100201017100011221012111181001020010222121910011201103231320101002021102414

二进制、八进制和十六进制是最常用的数制数制之间的转换非十进制数转换为十进制数：多项式的方法把十进制数转换为非十进制数：整数部分和小数部分分开处理

十进制转换为二进制（1）“基除”方法的有效性

这个表达式也可以写为：可以把二进制数的各个bit看作是每次除2之后的余数十进制转换为二进制（2）有些十进制数小数基乘2后永远无法使得小数部分为0，看对精度要求达到小数点后多少位，基乘达到所要求的位数即可以停止十进制转换为八进制和十六进制不同进制数之间的转换各进制数与十进制数转换，通过位权计算()r

()10()n所有的转换都要以十进制为媒介吗？八进制：0，1，2，3，4，5，6，73位二进制：000,001,010,011,100,101,110,111

二进制→八进制(11100101.11101011)2=(?)8

从小数点开始，整数部分向左

(小数部分向右)三位一组，最后不足三位的加0补足三位，再按顺序写出各组对应的八进制数。(11100101.11101011)2=(345.726)8

八进制→二进制每位八进制数用三位二进制数代替，再按原顺序排列

二进制→十六进制(11100101.11101011)2=(?)16

从小数点开始，整数部分向左(小数部分向右)四位一组，最后不足四位的加0补足四位，再按顺序写出各组对应的十六进制数(10011111011.111011)2=(4FB.EC)16十六进制→二进制每位十六进制数用四位二进制数代替，再按原顺序排列数制间转换总结非十进制数转换为十进制数：多项式的方法十进制数转换为非十进制数：整数部分和小数部分需要分开处理整数部分：基除小数部分：基乘

基本二进制算术运算二进制加减法与十进制相似，逢2进1，借1当21001+01011110

1001-01010100

如何表示有符号的数，负数怎么表示？怎么运算？

有符号的二进制数用（n+1）bit来表示n-bit的数，最左边的bit是符号位，0表示正，1表示负

符号位-数值最高位是符号位，后面是数值算术运算时符号位和数值需要分别进行处理和十进制算术一样先对数值进行处理，然后加上正确的符号。需要运算判断电路和最终结果和符号的修正电路，电路比较复杂有符号的二进制数有符号的补码r进制系统都有两种补码：基数

r

的补码r-1

的补码（r的反码）例：

n位十进制数NN的补码定义为：N的反码定义为：4567的补码：4567的反码：补码=反码+1二进制补码例：n位二进制数N001101的补码：补码=反码+1N的补码定义为：N的反码定义为：001101的反码：反码：把二进制数中的1变为0，0变为1有符号的二进制补码（1）有符号补码的最高位也是符号位，0表示正数，1表示负数有符号的二进制补码表示的数对应的十进制数正数的表示和符号-数值表示形式相同+3

：00011求反得到：11100加1得到补码11101在计算机中，有符号数都是以有符号补码的形式保存符号-数值表示方法的符号仅表示数的正负，有符号的补码的符号有权重

有符号的补码的加减法进行加减运算时符号位看作数值的一部分参加运算例：-6+13加减法使用同一电路例：-6-（-13）每一位的加减运算和无符号数加减时的运算规则相同做加法运算时不需要进行运算符判断和数值比较，仅需要相加，符号位处产生的进位被丢弃

有符号的二进制补码（2）有符号的二进制补码可以表示的数的范围：

符号-数值可以表示的范围：

十进制有符号的二进制补码符号-数值+701110111+601100110+501010101+401000100+300110011+200100010+100010001+000000000-0-1000-111111001-211101010-311011011-411001100-510111101-610101110-710011111-81000--有符号数总结有符号补码的最高位也是符号位，0表示正数，1表示负数符号-数值表示方法的符号仅表示数的正负，而有符号的补码的符号有权重。对应的十进制数

溢出一定字长的二进制数仅能表示一定范围的数5bit有符号补码表示的范围是-16~+158bit有符号补码表示的范围是-128~1275bit无符号数表示的范围是0~318bit无符号数表示的范围是0~255溢出（overflow）：两个一定字长的二进制数进行算术运算时，产生的结果可能超出这一字长所能表示的范围溢出检测无符号数加法运算时，如果最高位产生了进位输出，即有溢出有符号数：检测最高位和次高位的进位输出来判定如果这两个进位输出相同，则不发生溢出如果这两个进位输出不同，则发生溢出BCD码权为

8、4、2、1十进制数有权码8421BCD码5421BCD码2421BCD码12421BCD码2000000000000000001000100010001000120010001000100010300110011001100114010001000100010050101100001