2027高中数学必修1培训讲义3.1 函数的概念（含解析）

知识点1函数的概念(1)一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x,按照某集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数(function),记作y=f(x),x∈A.④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.知识点2区间的概念(3)区间的数轴表示.区间表示：知识点2函数的定义域与值域等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],知识点5函数的表示法数.A.f(x)=x+1B.f(x)=x²C.f(x)=|x|D.f(x)=√x的函数关系的有()A.①②③④B.①②③C.②③D.②【变式1-2】集合A={x|0≤x≤4},B={yl0≤y≤2},下列不能表示从A到B的函数的是()B选项，,当0≤x≤4时，D选项，y=√x,当0≤x≤4【例2】函的定义域是()A.[1,4]B.(-∞,1)U[1,4]C.(1,4)D.(1,【变式2-1】函的定义域是()【例3】(1)已知y=f(x)的定义域为[0,1],求函数y=f(x²+1)的定义域为;(2)已知y=f(2x-1)的定义域为[0,1],求y=f(x)的定义域为;【解析】(1)∵y=f(x²+1)中的x²+1的范围与y=f(x)中的x的取值范围相同.(2)由题意知y=f(2x-1)中的x∈[0,1],∴-1≤2x-1≤1.(3)∵函数y=f(x)的定义域为[0,2],由2x∈[0,2],得0≤x≤1,∴y=f(2x)的定义域为[0,1].所以，在f(4x+1)中4x+1∈[3,5],所以【变式3-1】已知函数f(3x-1)的定义域为[-1,3],则函的定义域为()A.(-6,3)U(3,6]B.[-3,1]C.(-1,3)D.(-2,3)U(3,6](2)因,所,所,故函数(-ø,2)(2,+∞x).(6)令t=-x²+2x+3=-(x-1)²+4,【详解】(1)【例7】已知函数f(x)=√mx²+mx+1A.(0,4)B.(0,4)C.[4,+∞]D.[0当m≠0时，解得0<m≤4,【变式5-1】已知函数f(x)=√3x²+(m-6)x+3的值域为[0,+○],则实数m的取值范围为()A.(-∞,0)B.[-∞,0]u[12,+∞)C.[0,12]【变式5-2】(1)已知函数f(x)=√(m+1)x²-mx+m-1的定义域为R,求实数m的取值范围；【例8】若函数f(x)=x³-2,则f(-1)=()A.-1B.1则f(2)=2×2-1=3,故D正确.【例9】已知函数f(2x+3)=x²-x+a,且f(5)=3,A.B.C.-4所以f(1)=5,【例11】已知函数(3)利用(2)的结论求表达式：【分析】(1)根据解析式代入求解；(2)利用解析式直接相加求解；(3)根据(2)的结论，运用到式子中化简即可求值.【详解】(1)已知函数(2)由【解题思路】计算,x>0;,x>0;,得到答案.,x>0.x123423141243x12342341x12342413A.f(f(1))=4B.g(g(1)C.f(g(1))=3f(g(1))=f(2)=3,g(g(【例13】(1)已知f(x)=x²,求f(2x+1)的解析式；(2)已知f(Jx+2)=x+4√x,求函数f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)=f(x)+2x,(4)已知f(x)+2f(-x)=x²-x,求函数f(x)的解析式；(5)已知f(x)是R上的函数，f(0)=1,并且对任意的实数x,y都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),【答案】(1)f(2x+1)=4x²+4x+1;(2)f(x)=x²(5)f(x)=x²+x+1.【解析】(1)②f(x)=x²,团f(2x+1)=(2x+1)²=4x²+4x+1.2f(x)=x²-4(x≥2).(5)令y=x,则f(x-y)=f(0)=f(x)-x(2x-x+1)=1,②f(x)=x²+x+1.A.C.x²【详解】,所以f(x)=x²(x≠1).A.f(2026)>2026B.f(20C.f(2027)<2026(2)已知函数f(x)为二次函数，且f(x-1)+f(x)=2x²+4,(3)已知(4)已知等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)对一切实数x、y都成立，且f(0)=1;(6)已知,求f(x)的解析式【答案】(1)f(x)=3x+1或f(x)=-3x-2;(2)f(x)=x²+x+2(3)f(x)=x³-3x(x≥2或x≤-2);【解析】(1)设f(x)=kx+b(k≠0),则f(f(x)=k(kx+b)+b=k²x+kb+b=9x+4,(2)设f(x)=ax²+bx+c(a≠0)二f(x-1)=a(x-1)²+b(x-1)+c(4)因为f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)或x≤-2),最大值为4y4xx(2)f(7)=-7+6=-1,f(-1)=-1+2=1,f(1)=1²=1,即f(f(f(7))=1.【变式12-4】函的部分图像如图(粗实曲线),则a=()A.(-∞,-1)B.(3,+∞)C.(-1,3)