人教版八年级数学上册《第十五章轴对称》单元测试卷（带答案解析）

第页人教版八年级数学上册《第十五章轴对称》单元测试卷（带答案解析）（满分：120分考试时间：120分钟）姓名：__________班级：__________学号：__________得分：__________本卷考查人教版八年级上册第十五章《轴对称》，内容包括轴对称图形、线段的垂直平分线、画轴对称图形、坐标表示轴对称、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质等。试题紧扣2024版新教材，结合教学实际改编，适用于单元检测。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列图形中，是轴对称图形的是（）A.平行四边形B.直角三角形C.等边三角形D.梯形2.如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，若PA=5，则PB的长为（）A.2.5B.5C.10D.不能确定3.等腰三角形的顶角为80°，则它的底角为（）A.20°B.40°C.50°D.80°4.等边三角形的边长为6，则它的周长为（）A.12B.18C.24D.365.点P(-2,3)关于x轴对称的点的坐标是（）A.(-2,-3)B.(2,3)C.(2,-3)D.(-2,3)6.如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，若∠A=50°，∠C=30°，则∠B'的度数为（）A.30°B.50°C.100°D.130°7.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）A.2.5B.5C.10D.不能确定8.（中档题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，则AB的长为（）A.4B.6C.8D.109.（中档题）如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于OA、OB的对称点，MN分别交OA、OB于点E、F。若△PEF的周长为10，则MN的长为（）A.5B.10C.15D.2010.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE。则∠EBC的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.75°二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.正方形有______条对称轴。12.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为______。13.等腰三角形的一个角为70°，则它的顶角为______。14.如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC。若AD=2，DB=4，则△ADE的周长为______。15.等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为______。16.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的顶角为______。三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（6分）如图，已知△ABC和直线l。画出△ABC关于直线l对称的△A'B'C'。（保留作图痕迹，不写作法）18.（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上。求证：∠EBC=∠ECB。19.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，BE与CD交于点O。(1)求证：△ABE≌△ACD；（4分）(2)求证：OB=OC。（4分）20.（8分）（中档题）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE交于点F。(1)求证：△ABD≌△BCE；（4分）(2)求∠AFE的度数。（4分）21.（10分）（中档题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1)，B(3,2)，C(2,4)。(1)画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁，并写出A₁、B₁、C₁的坐标；（5分）(2)画出△ABC关于x轴对称的△A₂B₂C₂，并写出A₂、B₂、C₂的坐标。（5分）22.（10分）（中档题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC边上的高，点E在AB上，连接DE。(1)求∠B和∠BAD的度数；（4分）(2)若DE⊥AB，垂足为E，求证：BE=3AE。（6分）23.（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D是BC的中点，点E在AD的延长线上，连接BE、CE。(1)求证：BE=CE；（4分）(2)若△BCE是等边三角形，求∠ABE的度数；（4分）(3)在(2)的条件下，求∠AEC的度数。（4分）24.（12分）如图，在等边三角形ABC中，点D在边BC上，连接AD，将△ABD沿AD折叠，点B落在点E处，连接CE。(1)求证：△ABD≌△AED；（4分）(2)若BD=DC，求∠AEC的度数；（4分）(3)若∠CAE=20°，求∠BAD的度数。（4分）参考答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列图形中，是轴对称图形的是（）A.平行四边形B.直角三角形C.等边三角形D.梯形【答案】C【解析】轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。等边三角形有三条对称轴，是轴对称图形；平行四边形、一般直角三角形、一般梯形都不是轴对称图形。故选C。2.如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，若PA=5，则PB的长为（）A.2.5B.5C.10D.不能确定【答案】B【解析】线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。因为点P在AB的垂直平分线上，所以PA=PB=5。故选B。3.等腰三角形的顶角为80°，则它的底角为（）A.20°B.40°C.50°D.80°【答案】C【解析】等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。设底角为x，则2x+80°=180°，解得x=50°。故选C。4.等边三角形的边长为6，则它的周长为（）A.12B.18C.24D.36【答案】B【解析】等边三角形的三条边都相等，所以周长=6×3=18。故选B。5.点P(-2,3)关于x轴对称的点的坐标是（）A.(-2,-3)B.(2,3)C.(2,-3)D.(-2,3)【答案】A【解析】关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数。所以点P(-2,3)关于x轴对称的点的坐标是(-2,-3)。故选A。6.如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，若∠A=50°，∠C=30°，则∠B'的度数为（）A.30°B.50°C.100°D.130°【答案】C【解析】关于某条直线对称的两个图形全等，所以△ABC≌△A'B'C'，对应角相等。∠B=180°-∠A-∠C=180°-50°-30°=100°，所以∠B'=∠B=100°。故选C。7.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）A.2.5B.5C.10D.不能确定【答案】B【解析】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。因为∠B=∠C，所以AC=AB=5。故选B。8.（中档题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，则AB的长为（）A.4B.6C.8D.10【答案】C【解析】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。因为∠A=30°，∠C=90°，所以BC是∠A所对的直角边，BC=1/2AB，即AB=2BC=8。故选C。9.（中档题）如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于OA、OB的对称点，MN分别交OA、OB于点E、F。若△PEF的周长为10，则MN的长为（）A.5B.10C.15D.20【答案】B【解析】因为点M是点P关于OA的对称点，所以OA垂直平分PM，所以EP=EM。同理，点N是点P关于OB的对称点，所以FP=FN。因此MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长=10。故选B。10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE。则∠EBC的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.75°【答案】B【解析】因为AB=AC，∠A=30°，所以∠ABC=∠C=(180°-30°)/2=75°。因为DE是AB的垂直平分线，所以AE=BE，所以∠ABE=∠A=30°。所以∠EBC=∠ABC-∠ABE=75°-30°=45°。故选B。二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.正方形有______条对称轴。【答案】4【解析】正方形有4条对称轴：两条对角线所在的直线，以及两组对边中点连线所在的直线。12.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为______。【答案】19【解析】因为DE是AC的垂直平分线，所以AD=DC，AC=2AE=6。△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13。所以△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19。13.等腰三角形的一个角为70°，则它的顶角为______。【答案】70°或40°【解析】分两种情况：(1)若70°角是顶角，则顶角为70°；(2)若70°角是底角，则顶角=180°-2×70°=40°。所以顶角为70°或40°。14.如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC。若AD=2，DB=4，则△ADE的周长为______。【答案】6【解析】因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠B=∠C=60°。因为DE∥BC，所以∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°，所以△ADE是等边三角形。AD=2，所以△ADE的周长=2×3=6。15.等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为______。【答案】17【解析】分两种情况：(1)若3为腰长，则三边为3,3,7，但3+3<7，不能构成三角形；(2)若7为腰长，则三边为7,7,3，能构成三角形，周长=7+7+3=17。所以周长为17。16.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的顶角为______。【答案】50°或130°【解析】分两种情况：(1)当等腰三角形为锐角三角形时，一腰上的高在三角形内部，顶角=90°-40°=50°；(2)当等腰三角形为钝角三角形时，一腰上的高在三角形外部，顶角=90°+40°=130°。所以顶角为50°或130°。三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（6分）如图，已知△ABC和直线l。画出△ABC关于直线l对称的△A'B'C'。（保留作图痕迹，不写作法）【答案】作图题，答案见解析【解析】作图步骤：(1)分别过点A、B、C作直线l的垂线，垂足分别为D、E、F；(2)分别延长AD、BE、CF到A'、B'、C'，使A'D=AD，B'E=BE，C'F=CF；(3)连接A'B'、B'C'、C'A'，则△A'B'C'即为所求。18.（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上。求证：∠EBC=∠ECB。【答案】证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一），即AD是BC的垂直平分线。∵点E在AD上，∴BE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。∴∠EBC=∠ECB（等边对等角）。【解析】利用等腰三角形三线合一的性质，证明AD是BC的垂直平分线，再利用线段垂直平分线的性质证明BE=CE，最后由等边对等角证明∠EBC=∠ECB。19.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，BE与CD交于点O。(1)求证：△ABE≌△ACD；（4分）(2)求证：OB=OC。（4分）【答案】(1)证明：在△ABE和△ACD中，AB=AC（已知），∠A=∠A（公共角），AE=AD（已知），∴△ABE≌△ACD（SAS）。(2)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）。∵△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD。∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD，即∠OBC=∠OCB。∴OB=OC（等角对等边）。【解析】(1)利用SAS证明△ABE≌△ACD；(2)利用等腰三角形的性质和全等三角形的性质，证明∠OBC=∠OCB，再利用等角对等边证明OB=OC。20.（8分）（中档题）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE交于点F。(1)求证：△ABD≌△BCE；（4分）(2)求∠AFE的度数。（4分）【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°。在△ABD和△BCE中，AB=BC（已证），∠ABD=∠C（已证），BD=CE（已知），∴△ABD≌△BCE（SAS）。(2)解：∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE。∵∠AFE是△ABF的外角，∴∠AFE=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°。【解析】(1)利用等边三角形的性质和SAS证明△ABD≌△BCE；(2)利用全等三角形的性质和三角形外角的性质，求出∠AFE=60°。21.（10分）（中档题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1)，B(3,2)，C(2,4)。(1)画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁，并写出A₁、B₁、C₁的坐标；（5分）(2)画出△ABC关于x轴对称的△A₂B₂C₂，并写出A₂、B₂、C₂的坐标。（5分）【答案】(1)A₁(-1,1)，B₁(-3,2)，C₁(-2,4)。(2)A₂(1,-1)，B₂(3,-2)，C₂(2,-4)。【解析】(1)关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，所以A₁(-1,1)，B₁(-3,2)，C₁(-2,4)；(2)关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，所以A₂(1,-1)，B₂(3,-2)，C₂(2,-4)。22.（10分）（中档题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC边上的高，点E在AB上，连接DE。(1)求∠B和∠BAD的度数；（4分）(2)若DE⊥AB，垂足为E，求证：BE=3AE。（6分）【答案】(1)解：∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）。∵∠BAC=120°，∴∠B=∠C=(180°-120°)/2=30°。∵AD是BC边上的高，∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），∴∠BAD=120°/2=60°。(2)证明：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°。在Rt△ADE中，∠DAE=60°，∴∠ADE=30°，∴AE=1/2AD（30°角所对的直角边等于斜边的一半）。在Rt△ABD中，∠B=30°，∴AD=1/2AB，即AB=2AD。∴BE=AB-AE=2AD-1/2AD=3/2AD=3×(1/2AD)=3AE。【解析】(1)利用等腰三角形的性质和三角形内角和求出∠B=30°，再利用三线合一求出∠BAD=60°；(2)利用含30°角的直角三角形的性质，证明AE=1/2AD，AD=1/2AB，从而推出BE=3AE。23.（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D是BC的中点，点E在AD的延长线上，连接BE、CE。(1)求证：BE=CE；（4分）(2)若△BCE是等边三角形，求∠ABE的度数；（4分）(3)在(2)的条件下，求∠AEC的度数。（4分）【答案】(1)证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一），即AD是BC的垂直平分线。∵点E在AD的延长线上，∴BE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。(2)解：∵△BCE是等边三角形，∴∠EBC=60°。∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=(180°-120°)/2=30°。∴∠ABE=∠EBC-∠ABC=60°-30°=30°。(3)解：∵△BCE是等边三角形，∴∠EBC=∠ECB=60°。∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=(180°-120°)/2=30°。∴∠ACE=∠ECB-∠ACB=60°-30°=30°。∵点E在AD的延长线上，AD平分∠BAC（等腰