浙教版八年级数学上册《1.6线段垂直平分线的性质》同步练习题（带答案）

第页浙教版八年级数学上册《1.6线段垂直平分线的性质》同步练习题（带答案）一、选择题1．如图，在△ABC中AB=8,BC=7,AC=4，直线m是△ABC中AB边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，则△APC周长的最小值为（）A．10 B．11 C．13 D．152．（2025八上·鄞州期中）如图，△ABC中AC=8，BC=5AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则A．13 B．14 C．18 D．213．如图，已知△ABC(AC<BC),用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是()A． B．C． D．4．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线l的同一侧，连结BC，交直线l于点D，点P是直线l上的一个点(不与点D重合)，连结AP，CP.记BC=m，AP+PC=n，则m与n的大小关系判断正确的是()A．m>n B．m=n C．m<n D．无法比较5．（2025八上·宁波开学考）如图，在△ABC中∠APC=114°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N．若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则A．48° B．52° C．62° D．66°6．（2023八上·龙胜各族期末）如图，点E、F是∠BAC的边AB上的两点，线段EF的垂直平分线交AC于D，AD的垂直平分线恰好经过E点，连接DE、DF，若∠CDF=α，则A．α B．43α C．180°−27．（2023八上·杭州期中）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④S∆ABC－S∆ADC＝2A．② B．①②③ C．①②④ D．①②③④8．（2021八上·长沙月考）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正确的有（）A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④二、填空题9．（2025八上·义乌月考）已知△ABC是三边都不相等的三角形，点P是这个三角形三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，且∠BPC=125°，则∠A=，∠BOC=．10．（2025八上·新昌月考）如图，在四边形ABCD中AB∥CD，E为BC的中点，且AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AD=12，CD=5，则AB的长为11．（2023八上·义乌月考）如图，在△ABC中AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点12．（2023八上·安庆月考）如图，在Rt△ABC中∠ABC=90°，以AC为边，作△ACD，满足AD=AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE=12∠CAD连接①AC⊥DE；②∠ADE=∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE=CE+2BE．三、解答题13．（2023八上·东莞期中）已知甲村和乙村靠近公路a、b，为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：（1）到两村的距离相等；（2）到两条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？14．（2024八上·扶余期末）如图，在△ABC中AB=AC，BF⊥AE于点E，交AF于点F，∠EAF=12∠BAC（1）如图1，当∠EAF在∠BAC内部时，求证：EF=BE+CF；（2）如图2，当∠EAF的边AE，AF分别在∠BAC外部和内部时，求证：CF=BF+2BE.15．（2023八上·南昌期中）课本再现如图，直线l垂直平分线段ABP1，P2，P3…是l上的点，分别量一量点P1，P2（1）定理证明为了证明该性质，珍珍画出了图形，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程.已知：如图1，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC点P在直线l上，求证：PA=PB.（2）知识应用如图2，在△ABC中BC=8，DE，FG分别是边AB，AC的垂直平分线，与△ABC的交点分别为D，E，F，G，连接AD，AF，求△ADF的周长.参考答案1．【答案】B【知识点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵直线m垂直平分AB∴B、A关于直线m对称令直线m交BC于D，连接AD，如图所示：∴当P和D重合时AP+CP=BC的值最小，最小值等于BC的长∵C△APC=AP+PC+AC，且∴△APC周长的最小值是BC+AC=7+4=11故答案为：B．

【分析】作定点关于动点轨迹的对称点，由于点A关于直线m的对称点为点B，故当点P在BC上时，AP+CP值的最小，求出BC长度即可得到结论．2．【答案】A【知识点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB

∴AE＝BE

∴BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=5+8=13故答案为：A.

【分析】线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，则△BCE的周长可转化为边BC与AC的和.3．【答案】B【知识点】尺规作图-垂直平分线【解析】【解答】解：根据题意PA+PC=BC由图可知PB+PC=BC∴PA=PB故符合要求的作图是作线段AB的垂直平分线由作图痕迹可知，只有B选项符合题意．故答案为：B.【分析】根据PA+PC=BC，结合图形分析可得PB+PC=BC，只需作线段AB的垂直平分线，分析选项即可得出结论．4．【答案】C【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：如图，连结BP.因为直线l是线段AB的垂直平分线所以AP=BP所以AP+CP=BP+CP.

因为BP+CP>BC，BC=m，AP+PC=n所以n>m，即m<n故答案为：C.

【分析】利用线段垂直平分线性质可得AP=BP，进而可得AP+PC=BP+PC，再根据三角形三边关系及P点位置即可确定结论.5．【答案】A【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上∴AM=PM，PN=CN.

∴∠MAP=∠MPA，∠CPN=∠PCN∵∠BMN=∠MAP+∠MPA，∠BNM=∠CPN+∠PCN∴∠BMN=2∠MPA∠BNM=2∠CPN

又∵∠APC=114°

∴∠BMN+∠BNM=2(∠MPA+∠CPN)=2(180°-∠APC)=132°

∴∠ABC=180°-(∠BMN+∠BNM)=48°故答案为：A.

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到∠MAP=∠MPA，∠CPN=∠PCN，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得∠BMN=∠MAP+∠MPA，∠BNM=∠CPN+∠PCN，可得∠BMN=2∠MPA，∠BNM=2∠CPN，求出∠BMN+∠BNM=132°，根据三角形内角和定理即可求出答案.6．【答案】D【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵线段EF的垂直平分线交AC于D，AD的垂直平分线恰好经过E点∴DE=DF,AE=DE∴∠DFE=∠DEF,∠EAD=∠EDA∵∠DEF=∠EAD+∠EDA,∠CDF=∠EAD+∠DFA∴∠EAD=∴∠CDF=∴∠DFA=∴∠EDF=180°−2∠DFA=180°−故选D．【分析】根据垂直平分线性质可得DE=DF,AE=DE，咋根据等边对等角可得∠DFE=∠DEF,∠EAD=∠EDA，根据三角形外角性质可得∠DEF=∠EAD+∠EDA,∠CDF=∠EAD+∠DFA，则∠EAD=17．【答案】C【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念【解析】【解答】解：在EA上取点F，使EF=BE，连接CF，如图：

①∵CE⊥AB，EF=EB∴CF=CB∴∠CFB=∠B∵∠AFC+∠CFB=180°，∠ADC+∠B=180°∴∠D=∠AFC∵AC平分∠BAD∴∠DAC=∠FAC在△ACD和△ACF中∠D=∠AFC∠DAC=∠FACAC=AC

∴CD=CF∴CD=CB，故选项①正确；

②∵△ACD≌△ACF∴AD=AF又∵EF=BE∴AB=AF+EF+BE=AF+2EF.

∴AD+AB=AF+AF+2EF=2AF+2EF=2AE，故选项②正确；

③没有条件可以证明∠ACD=∠BCE，故选项③错误；

④∵1∴S△ECF=S△ECB∴S△ACD=S△ACF∴S△ABC−S△ADC=S△ABC故答案为：C.【分析】在EA上取点EF=BE，连接CF，根据垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质可证CD=CB，可得①正确；根据线段间的和差关系可证得AD+AB=2AE，可得②正确，无法得到∠ACD=∠BCE，于是③错误；根据全等三角形面积相等，可证得S∆ABC－S∆ADC＝2S∆BEC8．【答案】C【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念【解析】【解答】解：设∠GCD＝x，∠DAC＝y，根据三角形外角的性质可得：x=y+∠ADC2x=2y+∠ABC∴∠ADC=12∠ABC=45°延长GD与AC相交于点P∵DE⊥CF∴∠CDG＝∠CDP＝90°∵CF平分∠GCP∴∠GCD＝∠PCD在△GCD和△PCD中∠GCD=∠PCDCD=CD∴△GCD≌△PCD（ASA）∴CG＝CP∵∠ADC＝45°∴∠ADP＝∠ADF在△AFD和△APD中∠FAD=∠PADAD=AD∴△AFD≌△APD（ASA）∴AF＝AP∴AF﹣CG＝CA，故②正确；同理△ACD≌△AED（ASA）∴CD＝DE，故③正确；在DF上截取DM＝CD，则DE是CM的垂直平分线∴CE＝EM∵∠ECG＝∠GCD﹣45°，∠MEF＝∠DEF﹣45°∴∠ECG＝∠FEM∵EF＝CP，CP＝CG∴EF＝CG在△EMF和△CEG中EM=CE∠FEM=∠ECG∴△EMF≌△CEG（SAS）∴FM＝GE∴CF＝2CD+EG，故④正确；故答案为：C.【分析】设∠GCD＝x，∠DAC＝y，根据三角形外角的性质可得∠ADC=45°，据此判断①；延长GD与AC相交于点P，根据角平分线的概念可得∠GCD＝∠PCD，证明△GCD≌△PCD，得到CG＝CP，进而证明△AFD≌△APD，得到AF＝AP，据此判断②；同理△ACD≌△AED，据此判断③；在DF上截取DM=CD，则DE是CM的垂直平分线，CE＝EM，易得∠ECG＝∠FEM，证明△EMF≌△CEG，得到FM＝GE，据此判断④.9．【答案】70°；140°【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念【解析】【解答】解：连接AO，如图所示∵点P是△ABC三个内角平分线的交点∴∠PBC=1在△BPC中∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°∵∠BPC=125°∴∠PBC+∠PCB=180°−125°=55°．∴∠ABC+∠ACB=2(∠PBC+∠PCB)=2×55°=110°．在△ABC中∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠A=180°−(∠ABC+∠ACB)=180°−110°=70°∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点∴OA=OB=OC∴∠OAB=∠OBA∴∠AOB=180°−2∠OAB∴∠BOC=360°−=360°−=2∠OAB+2∠OAC=2∠A=140°故答案为：70°，140°．10．【答案】7【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系【解析】【解答】解：∵AB∥CD∴∠F=∠CDE，∠FBE=∠C∵点E为BC的中点∴BE=CE在△FBE和△DCE中∠F=∠CDE∴△FBE≌△DCE(AAS)∴EF=ED，BD=CD∵AE⊥DE∴AE是线段FD的垂直平分线∴AF=AD∴AB=AF-BF=AD-CD∵AD=12，CD=5∴AB=7.故答案为：7.【分析】证明△FBE和△DCE全等得EF=ED，BD=CD，根据AE⊥DE得AE是线段FD的垂直平分线，则AF=AD，进而得AB=AF-BF=AD-CD，然后根据AD=12，CD=5即可得出AB的长.11．【答案】65【知识点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：连接OB，OC

∵OD垂直平分AB∴AO=BO∴∠OAB=∠OBA.

∵AB=AC，∠BAC=50°∴∠ABC=∠ACB=65°.

∵OA平分∠BAC∴∠BAO=∠CAO=12∴∠OBA=25°∴∠OBC=40°.

∵在△ABO和△ACO中AB=AC，∠BAO=∠CAO，AO=AO∴△ABO≌△ACO（SAS）∴BO=CO∴∠OBC=∠OCB=40°.

∵△EOF与△ECF关于EF对称∴OF=CF，∠OFE=∠CFE=12∴∠FCO=∠FOC=25°，∴∠OFC=130°，∴∠CFE=65°.故答案为：65.

【分析】本题考查了三角形的折叠问题，在解题过程中我们先连接OB、OC，然后根据垂直平分线的性质和已知条件来进行解题，求得一部分角和边得关系去证全等，再用全等得到BO=CO，最后利用对称关系和三角形内角和知识来求解。12．【答案】②③④【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：延长EB至G，使BE=BG，设AC与DE交于点M，如图所示：∵∠ABC=90°∴AB⊥GE∴AB垂直平分GE∴AG=AE∵∠BAE=∴∠GAE=∠CAD∴∠GAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC∴∠GAC=∠EAD∴△GAC≌△EAD（SAS）∴∠G=∠AED，∠ACB=∠ADE，∵AG=AE∴∠G=∠AEG=∠AED∴AE平分∠BED当∠BAE=∠EAC时∠AME=∠ABE=90°，则AC⊥DE当∠BAE≠∠EAC时∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，①不正确；设∠BAE=x，则∠CAD=2x∴∠ACD=∠ADC=∵AB∴∠BAC=∠ACD=90°−x∴∠CAE=∠BAC−∠EAB=90°−x−x=90°−2x∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°−2x+2x=90°∴AE⊥AD，③正确；∵△GAC≌△EAD∴CG=DE∵CG=CE+GE=CE+2BE∴DE=CE+2BE∴DE−BE=BE+CE∴DE=CE+2BE，④正确故答案为：②③④【分析】延长EB至G，使BE=BG，设AC与DE交于点M，先根据垂直平分线的性质得到AG=AE，∠GAB=∠BAE=12∠DAC，进而结合题意得到∠GAC=∠EAD，再运用三角形全等的判定与性质证明△GAC≌△EAD（SAS）即可得到∠G=∠AED，∠ACB=∠ADE，从而即可判断②；先根据等腰三角形的性质得到∠G=∠AEG=∠AED，进而结合题意即可判断①；设∠BAE=x，则∠CAD=2x，根据三角形内角和定理即可得到∠ACD=90°−x，进而运用平行线的性质得到∠BAC=∠ACD=90°−x13．【答案】解：①以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交直线a、b于点A、B；②分别以A、B为圆心，以大于12③连接ED，分别以E、D为圆心，以大于12④FG与OC相交于点H则H即为工厂的位置．【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线【解析】【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质先作出两条公路相交的角平分线OC，再连接ED，分别以E、D为圆心，以大于1214．【答案】（1）证明：如图，在EF上截取EH=BE，连接AH.

∵EB=EH∴AB=AH，又∵AB=AC∴AC=AH.∵∠EAF=∴∠BAE+∠CAF=∠EAF.∴∠BAE+∠CAF=∠EAH+∠FAH.∴∠CAF=∠HAF.在△ACF和△AHF中∴△ACF≌△AHF(SAS).∴CF=HF.∴EF=EH+HF=BE+CF.（2）证明：如图，在BE的延长线上截取EN=BE，连接AN.

∵AE⊥BF∴AN=AB，又∵A