2025年新高二数学（人教A版暑假衔接）新课预习-13 空间向量及其运算的坐标表示（学生版）-新高二暑假衔接

1.3空间向置及其运算的坐标表示

【划重点】

1.了解空间直角坐标系，能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标.

2.掌握空间两点间距离公式.

3.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题.

【知识梳理】

知识点一空间直角坐标系

(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底｛，，力A｝,以O为原点，分别以

i,j,k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、了轴、z轴，它们都叫

做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

(2)相关概念：。叫做原点，i,j,k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，

分别称为平而、0)2平而、。〃平而，它们把空间分成八个部分.

知识点二空间一点的坐标

在空间直角坐标系Qxyz中，i,j,A为坐标向量，对空间任意一点4,对应一个向量所，且点

A的位置由向量为唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(长)，，z),使61=

xi^ryj^zk.在单位正交基底“，/,%｝下与向量0A对应的有序实数组(x,)，，z)叫做点4在此

空间直角坐标系中的坐标，记作4%，户z),其中/叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，

z叫做点A的竖坐标.

知识点三空间向量的坐标

在空间直角坐标系。盯z中，给定向量m作以=a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实

数组(x,y,z),使a=xi+))+».有序实数组(x,y,z)叫做。在空间直角坐标系。町z中的坐标,

上式可简记作。=(工，y，z).

知识点四空间向量的坐标运算

设G=(41,。2,。3)，b=(b\»bl,Z?3),有

向量运算向量表示坐标表示

加法a~\~ba+b=(m+bi,“2+62,43+63)

减法a-ba-b=(a\-b\,G-bi,43—63)

数乘AaAa=(Xa\»N〃3),2WR

数量积abab=a\b\+0262+03加

知识点五空间向量的平行、垂直及模、夹角

设〃二(。1，42，。3)，b=(b\,£72,Z?3)，则有

当br0时，a〃b=a=＞卜=a\=/b\、。2=笈2,。3=昉3(%三R);

。。仍=0。〃1①+4262+4383=0；

\a\==,济+石+质；

ab+0262+4363

coa同1例潺+，「屏+一+Z?①

知识点六空间两点间的距离公式

设qi(xi,yi,zi),尸2(x2,)*Z2)是空间中任意两点,

则P\P1=\P^PA=^(X2-Xl)2+6>2-yi)2+(Z2-Zl)2.

【例题详解】

一,求空间点的坐标

例1⑴在长方体ABCO-ABCA中，AB=BC=2,9=2&,建立适当的空间直角坐标系并确

定点AC，a。的坐标.

(2)如图所示，“8。是一个正三角形，ECJ■平面ABC,BD//CE,且CE=C4=23£)=2,M为

AE的中点.请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标.

跟踪训练1⑴如图，四边形/WCO和ADPQ均为边长为2的正方形，它们所在的平面互相垂

直，M,E,产分别为P。，AB,8C的中点，建立适当的空间直角坐标系并求点4,E,M,F

的坐标.

⑵在平行六面体ABCD-AqCR中，底面A5CO是矩形，43=4,AO=2,平行六面体高为26，

顶点。在底面AqGQ的射影。是CQ中点，设“BQ的重心G,建立适当空间直角坐标系并写

出点A，昂斗㈤的坐标.

二、空间点的对称问题

例2在空间直角坐标系中，已知点尸(一2』,4).

⑴求点P关于x轴对称的点的坐标；

(2)求点关于xOy平面对称的点的坐标；

(3)求点P关于点M(2,-1,-4)对称的点的坐标.

跟踪训练2(1)已知B与点小23)关于点”(0,7,2)对称,则点B的坐标是

(2)点P(2,3,4)在平面xOy内的射影的坐标为.

⑶已知点P(2,3,-1)关于坐标平面xOy的对称点为几点Pi关于坐标平面yOz的对称点为

尸2,点心关于z轴的对称点为臼，则点尸3的坐标为.

三、空间向量的坐标

例3如图，在棱长为1的正方体-AHCQ中，E,b分别是的中点，点G在棱

CZ)上，且CG二”是GG的中点.以。为坐标原点，所在直线分别为x轴、

4

y轴、z轴建立空间直角坐标系，求向量方和下方的坐标.

跟踪训练3如图，在直三棱柱ABC-A/B/G的底而△A8C中，CA=CB=1,团BCA=90。，棱

______IIUU

AAi=2tM,N分别为A/B/,八/A的中点，试建立恰当的坐标系求向量而，B\,A8的坐标.

Cl

四,空间向量的坐标运算

例4⑴已知而=(2,T3),fiC=(-4,1,1),贝IJ福.而=()

A.-7B.—6C.-5D.-4

(2)设％)，是实数，己知三点A05-2),8(2,4/)，C(x,3,y+2)在同一条直线上，那么工+>=()

A.2B.3C.4D.5

(3)已知空间直角坐标系中，点4TL2),8(-3,0,4),若，=6,公而，则、.

(4)已知4-3,-3,-3),8(1,11)，则线段AB的中点坐标为；|而|=.

(5)已知向量。=(%4,1),S=(-2,y,-l),c=(3,-2,z),且2〃万,blc.

(i)求向量Z,b,c；

(订)求向最“+；与向量/；+2所成角的余弦值.

跟踪训练4⑴与向量,=(3,0,-4)共线的单位向量可以为()

C.5,包D.

⑵己知/?=(x.l.2),且)B=3,则向量Z与B的夹角为

⑶在空间直角坐标系中，已知点A的坐标为㈠，2』)，而=(2J3),则点8的坐标是

(4)已知点4(-2,0,2)、5(-14,2).C(-3,0,4),a=AB,b=AC.

(i)若同=3,且8/前,求心

(ii)求cos(7b)；

(iii)若女+5与心-2坂垂直,求h

五、向量的坐标表示的应用

命题角度1空间平行垂直问题

例5(1)在正方体ABCO-AgCQ中，如图反尸分别是B4,的中点，求证：。方，平面

ADE.

⑵已知在正四棱柱48CQ-A8CQ中，AB=U=2,点,£为4的中点，点尸为明的中点.

(i)求证：而工且百工不；

(ii)求证：EF//AC.

跟踪训练5⑴如图，在直棱柱A4G中，M=A8=AC=2,N8AC=],瓦尸分别是AM,

CG,8C的中点.求证：AE1DF.

⑵如图，在直四棱柱ABCD-A£GA中，底面ABC。为等腰梯形，AI3//CD,A3=4,BC=CD=2,

4A=2,/是棱AB的中点.求证：平面〃平面FCG.

AB

命题角度2夹角、距离问题

例6如图，长为1的正方体ABCO-ASCA中，E,尸分别为A。，8。的中点，G在棱。。上,

且但衿，〃为"的中点.

(1)求证：EF1B.C.

（2）求a7的长.

（3）求E尸与GG所成角的余弦值.

跟踪训练6如图，己知直三棱柱48C—A/8/G,在底面0A3C中，CA=CB=1,m3cA=90。,

棱AA/=2,M,N分别是A/B/,A/A的中点.

（1）求丽的模;

(2)求cos〈砥，C%)的值;

(3)求证：A/BOC/M.

【课堂巩固】

1.在空间直角坐标系Q0z中，点(1,3,3)关于。町，平面的对称点坐标为()

A.(—1,3,3)B.(1,—3,3)C.(1,3,—3)D.(―1,一3,—3)

2.在空间直角坐标系中，日=(-2,〃⑶石=(3』,2)e_L5,则”的值为()

A.0B.1C.2D.-1

3.如图所示，己知正方体"CQ-A6GA,E,尸分别是正方形AMB和WA的中心,贝IJE尸

和CQ所成的角是()

A.60°B.45°C.30°D.135°

4.如图，在四棱锥P-A8CO中，/〉A_L底面A8cO,底面488为正方形，PA=BC,E为C。的

中点，尸为PC的中点，则异面直线呼与庄所成角的余弦值为()

p

B65G

D

9~9~-¥

5.已知432-4),以5,-2,2),则线段AB中点的坐标为

6.已知点/?是点4-2,1,2)关于坐标平面冲z内的对称点，则|。月|=

7.如图，在四棱锥尸-A8C。中，底面A8CQ为矩形，点E在棱上，且力E=2A£,庄_L底面

ABCDfBC=2&AB=PE=2.建立适当的空间直角坐标系并求点只。刀的坐标.

8.如图，四棱锥以BCQ中，应团平面4BCD,PB与底面所成的角为45。，底面A8CZ)为直角

梯形，/A8C=N8AO=90°，抬=8。=品。=1.请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标.

B

9.如图，在空间直角坐标系。-肛2中有一长方体。44C-OAZTU,且。4=6,00=8,0(7=5

⑴写出点"的坐标，并将两用标准正交基日工斗表示;

⑵求交的坐标.

10.已知2=(3,2,7),力二(2,1,2).

⑴求(Z-"(£+%)；

⑵当仅4)_L(G+M)时,求实数一的值.

II.已知楼长为1的正方体QA8C--qA8G在空间直角坐标系中的位置如图所示，。，瓦EG分别

为棱aA，A4,8C,0C的中点，求证：DE//GF.

12.如图，在四棱锥P—A8CO中，PD0底面48CQ,且PQ=2&,A8=8C=gAO=2,2明。=90,

8C//AO,点M为棱PC的中点，

证明：PALDM,

13.如图，在棱长为1的正方体A8CQ-4&C/D中，E,b分别为D/。，8。的中点，G在棱

CD上,且CG=[a),”为GG的中点.求|不

14.如图，在直三棱柱ABC-AeG中，CA=CB=\fZBC4=9O°,明=2,M,N分别是3©,人①

的中点.

⑴求M,N的距离；

⑵求cos（丽，西）的值.

【课时作业】

1.在空间直角坐标系中，已知点夕（1,3,5）,则点夕关于3轴的对称点的坐标是（)

A.(-L-X5)B.(-1,3,-5)

C.(L—3,—5)D.(-1,—3,-5)

2.向量。=（3,1,-2）石=（苍2,1）,若cos（d,,=-—,则实数工=（）

A.1B.2C.-1D.-2

3.若4+万=(-2»-l,2),-=(4.-3,-2),则W若等于()

A.5B.-5C.7D.-1

4.如图，将乙4=60的菱形ABCZ）沿对角线8。折起,使得平面平面CBQ,则异面直线

A5与C。所成角的余弦值为（）

5.如图，已知圆柱。02的轴截面ABC。是边长为2的正方形，E为下底面圆周上一点，满足

BE=2AE，则异面直线AE与BO1所成角的余弦值为（）

6.(多选)已知向量3=(1,-I),^=(2,-1,0),c=(O,l,-2),则下列结论正确的是()

A.«(S+c)=4B.=

C.记l与石二的夹角为。，贝I.COSO=GD.若+则a=3

7.在空间直角坐标3yz中,m知点P(222)8(1,3,1),则|Pfi|=

8.已知点A(-3J~4),则点A关于原点的对称的点8的坐标为.

9.在空间直角坐标系中，点关于我。，平面的对称点3的坐标为

10.已知点4-2,3,6)与点4(3,5,4),则AB的中点坐标为

11.在空间直角坐标系中，过“(436)作)Oz平面的垂线，N为垂足，则点N坐标为

12.如图，四棱锥P—ABC。中，PA_L底面A8CO,PA=BC=CD=2,AC=4,ZACB=AACD=^f

产为PC的中点.请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标.

13.如图，已知直四棱柱/WCD-A/CQ中，4A=2,底面力3CQ是直角梯形，NA为直角，AH2c

AB