初一数学下册相期末压轴题易错题试卷(含答案)

一、解答题

1.在如图所示的平面直角坐标系中，4(1,3),B(3,1),将线段A平移至CD,C

(m,-1),D(1,n)

(1)m=,n=

(2)点P的坐标是(c,0)

①设NABP=a,请写出NBPD和NPDC之间的数量关系(用含。的式子表示，若有多种数

量关系，选择一种加以说明)

②当三角形PAB的面积不小于3且不大于10,求点p的横坐标C的取值范围(直接写出

答案即可)

解析：(1)-1,-3.(2)①当点P在直线48,CD之间时，NBPD-4PDC=a.当点P在直

线C。的下方时，ZBPD+APDC=a.当点P在直线A8的上方时，NBPD+NPDC=a；②-6V

m<l或7<zn<14

【分析】

(1)由题意，线段48向左平移2个单位，向下平移4个单位得到线段C。，利用平移规

律求解即可.

(2)①分三种情形求解，如图1中，当点P在直线48,C。之间时，NBPD-，PDC=a.如

图2中，当点P在直线CD的下方时，Z8PD+NPDC=a.如图3中，当点P在直线AB的上

方时，同法可证N8PD+NPDC=a.分别利用平行线的性质求解即可.

②求出点P在直线48两侧，APAB的面积分别为3和10时、m的值，即可判断.

【详解】

解：(1)由题意，线段48向左平移2个单位，向下平移4个单位得到线段CO,

A(1,3),B(3,1),

C(-1,-1),D(1,-3),

m=-l,n=-3.

故答案为：-1，-3.

(2)如图1中，当点P在直线A8,CO之间时，ZBPD-Z.PDC=a.

理由：过点P作PEIM8,

,/4811CD,

PEWCDIIAB,

/.ZABP=ABPE,ZPDC=ZDPE,

/.ZBPD-4POC=NBPD叱DPE"BPE=a.

如图2中，当点P在直线CD的下方时，N8PO+NPOC=a.

理由：过点P作PEIM8,

,/ABWCD,

：.PEWCDIIAB,

：.Z48P=ZBPE,ZPDC=ZDPE,

NBPD十乙PDC=2BPD十乙DPE=£BPE=a.

如图3中，当点P在直线A8的上方时，同法可证N8PC+NPDC=cr.

(3)如图4中，过点8作8H_Lx轴于“，过点4作47\L8H交8〃于点丁，延长48交x轴

当点P在直线人B的下方时，

RA8=S梯形ATHP"5△八8尸P8H=万(2+3-77?)•(3-/7))•1=-/7?+4,

当^PAB的面积=3时，-m+4=3,解得m=l,

当△PAB的面积=3时，-m+4=10,解得m=-6,

.・.△A8r是等腰直角三角形，

ZA8T=45°=NHBE,

BH=EH=1,

E(4,0),

根据对称性可知，当点P在直线48的右侧时，当△以8的面积=3时，m=7,

当△以8的面积=3时，m=14,

观察图象可知，-6Vm41或74mV14.

【点睛】

本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，平行线的判定和性质等知识，解题的关键

是学会利用分割法求三角形面积，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型.

2.如图，在下面直角坐标系中，已知A(0〃)，8优,0),C(〃,c)三点，其中。，b,c满

足关系式-2]+>-3+(c—4)~=0.

(2)如果在第二象限内有一点。，小g),请用含〃，的式子表示四边形A8OP的面积；

(3)在(2)的条件下，是否存在点〃，使四边形48OP的面积与三角形A8C的面积相

等？若存在，求出点尸的坐标，若不存在，请说明理由.

解析：(1)a=2,b=3,c=4；(2)S四边形ABOP=3-m；(3)存在，P(-3,.

【分析】

(1)根据非负数的性质，即可解答；

(2)四边形ABOP的面积=△APO的面积+△AOB的面积，即可解答；

(3)存在，根据面积相等求出m的值，即可解答.

【详解】

解：(1)由已知,一2|+石二5+(c-4)2=0可得：

a-2=0,b-3=0,c-4=0,

解得:a=2,b=3,c=4；

(2)a=2»b=3,c=4,

/.A(0,2)，B(3,0),C(3,4),

OA=2,OB=3,

SAABO=-^X2X3=3,

SAAPO=7><2X(-m)=-m,

「•S四边形ABOP=SAABO+SAAPO=3+(-m)=3-m

(3)存在，

•SAABC=5x4x3=6,

若S四边形ABOP=S/iABc=3-m=6,则m=-3,

1_

存在点P(-3,)使S四边形ABOP=SAABC.

2

【点睛】

本题考查了坐标与图形性质，解决本题的关键是根据非负数的性质求出a,b,c.

3.如图所示，A(1,0)、点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图

形为三角形DEC,且点C的坐标为(-3,2).

(1)直接写出点E的坐标

(2)在四边形ABCD中，点P从点B出发，ypBC玲CD”移动.若点P的速度为每秒1个单

位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：

①当t=秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；

②求点P在运动过程中的坐标，(用含t的式子表示，写出过程)；

③当点P运动到CD上时，设/CBP=x。，ZPAD=y°,ZBPA=z\试问x,y,z之间的数量关

系能否确定？若能，请用含x,y的式子表示z,写出过程；若不能，说明理由.

解析：(1)(-2,0)；(2)①t=2；②当点P在线段BC上时，点P的坐标(-32),

当点P在线段CD上时，点P的坐标(-3,5-t)；③能确定，z=x+y.

【分析】

(1)根据平移的性质即可得到结论；

(2)①由点(：的坐标为(-3.2).得到BC=3,CD=2,由于点P的横坐标与纵坐标互为

相反数；于是确定点P在线段BC上，有PB=CD,即可得到结果；

②当点P在线段BC上时，点P的坐标(・t,2),当点P在线段CD上时，点P的坐标(-

3,5-t)；

③如图，过P作PFIIBC交AB于F,则PFIIAD,根据平行线的性质即可得到结论.

【详解】

解：(1)根据题意.可得

三角形OAB沿x轴负方向平移3个单位得到三角形DEC.

•••点A的坐标是(1,0),

.,•点E的坐标是(-2,0)；

故答案为：(-2,0)；

(2)①•.•点C的坐标为(-3,2)

BC=3,CD=2»

,・,点P的横坐标与纵坐标互为相反数；

.,.点P在线段BC上，

/.PB=CD,

即t=2；

A当t=2秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；

故答案为：2；

②当点P在线段BC上时.点P的坐标(-t,2),

当点P在线段CD上时，点P的坐标(-3,5-t):

③能确定，

如图，过P作PFIIBC交AB于F,

Z1=ZCBP=x°,Z2=ZDAP=y°,

ZBPA=Z1+Z2=x°+y°=z°,

z=x+y.

【点睛】

本题考查了坐标与图形的性质，坐标与图形的变化•平移，平行线的性质，止确的作出辅助

线是解题的关键.

4.在平面直角坐标系中，已知长方形力BCD,点4(4,0),0(8,2).

(1)如图，有一动点P在第二象限的角平分线2上，若NPCB=10°,求NCP°的度数；

(2)若把长方形4BCD向上平移，得到长方形

①在运动过程中，求的面积与的面积之间的数量关系；

②若AC〃。。，求的面积与的面积之比.

解析：(1)55°或35°；(2)①SAO4D「SAO4C=4；②]

【解析】

【分析】

(1)分两种情况：①在RtaFEC中，求出NFEC=9(r-l(r=80。，然后根据点P在第二象限的

角平分线，上,得出NPOE=45。,对顶角相等,即可得出NCPO=180°-80°-45°=55°；②由已知

条件，得出NCEO=45°,又根据NCEO=ZCPE+ZPCB,得出/CPO；

(2)①首先设长方形48C0向上平移％个单位长，得到长方形A/TC'D',然后列出404C'和

。'的面积，即可得出两者的数量关系；

②首先根据已知条件判定四边形4月万。’是平行四边形，经过等量转化，即可得出和

的面积，进而得出其面积之比.

【详解】

(1)分两种情况：

①令PC交x轴于点E,延长CB至x轴，交于点F,如图所示：

由已知得，4PCB=10。，zCFE=90°

ZFEC=90o-10o=80°,

又,••点P在第二象限的角平分线，上,

ZPOE=45°

又rZFEC=ZPEO=80°

ZCP0=180°-80o-450=55<

②延长CB,交直线/于点E,

由已知得，zPC/?=10o,

•・•点P在第二象限的角平分线，上,

/.ZCEO=45°

/.ZCEO=ZCPE+ZPCB

ZCPO=45°-10°=35°.

故答案为55。或35。.

(2)如图，

①设长方形48。。向上平移为个单位长，得到长方形4BCD

sAOAC'=AOGC-SAABC,-S梯形048G

111

=-(24-x)x8--x2x4--(24-24-x)X4

=2x-4

1，,1

S△OAD'=2ADXX=2X4XX=2X

/.S△-S△0AC'=4

②长方形AB'C'D',

A'B'//CD'

A'C//OD'f

令o。交加r于E,

则四边形A‘EO'C'是平行四边形，

/.AE=DC=2

11

ADXDCX4X2=4

SAEAD-=5△ACD,=2=2

丈:s△04。=S△o/E+S^ADE=SAOAE+4

由①得知，SAOAD'=AOAC+4

1.1

S△OA'C'=AOA'E=^4Fx4=-X2x4=4

sAOAD'=4+4=8

sA04。41

s△OAD'82,

【点睛】

此题主要考查等量转换和平行四边形的判定以及性质，熟练掌握，即可解题.

5.如图，在长方形O48C中，。为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(《0),点。的

坐标为(U”)且。、方满足JE+k-12|=0,点"在第一象限内，点Q从原点出发，以每

秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-O的线路移动.

备用图

(1)点8的坐标为；当点2移动5秒时，点2的坐标为：

(2)在移动过程中，当点〜到1轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间；

(3)在O-C-B的线路移动过程中，是否存在点P使一OAP的面积是20,若存在直接写

出点。移动的时间；若不存在，请说明理由.

25

解析：(1)(8,12),(0,10)；(2)2秒或14秒；⑶存在，t=2.5s或；~s

【分析】

（1）由非负数的性质可得。、b的值，据此可得点8的坐标；由点P运动速度和时间可得

其运动5秒的路程，得到OP=10,从而得出其坐标；

（2）先根据点P运动11秒判断出点P的位置，再根据三角形的面积公式求解可得；

（3）分为点P在。C、8c上分类计算即可.

【详解】

解：（1）va,b满足+M-12|=0,

（7—89b-12,

点8（8,12）；

当点P移动5秒时，其运动路程为5x2=10,

OP=10,

则点P坐标为（0,10）,

故答案为：（8,12）、（0,10）；

（2）由题意可得，第一种情况，当点P在OC上时，

点P移动的时间是：4+2=2秒,

第二种情况，当点P在84上时.

点P移动的时间是：（12+8+8）+2=14秒，

所以在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，点P移动的时间是2秒或14

秒.

△08P的面积=20,

；OP・8C=20,即:x8xOP=20.

解得：OP-5.

此时t=2.5s

如图2所示；

♦.gp8・OC=20,即gxl2xP8=20.

解得:BP=y.

CP=—.

3

?s

/.此时t=，s,

3

25

综上所述，满足条件的时间t=2.5s或年s

【点睛】

本题考查矩形的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出

所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题.

6.如图①,在平面直角坐标系中，点A(OM),C-,0),其中，。是16的算术平方根,

从=8,线段G。由线段4C平移所得，并且点G与点4对应，点。与点C对应.

(1)点八的坐标为_：点C的坐标为_：点G的坐标为_：

(2)如图②，尸是线段AC上不同于4c的任意一点，求证：

NOFC=ZOAF+NAOF；

(3)如图③，若点尸满足NRX?=点七是线段。入上一动点(与点。、4不重

合)，连CE交OF于点H,在点E运动的过程中，NOHC+NACE=2/OEC是否总成

立？请说明理由.

解析：(1)(0,4),(2,0),(-2,4)；(2)证明见解析；(3)成立，理由见解析

【分析】

(1)根据算术平方根、立方根得A(0,4)、C(2,0)；再根据直角坐标系、平移的性质分析，

即可得到答案；

(2)根据平移的性质，得OG〃。：根据平行线性质，分别推导得

^OFC=ZGOA+AOF,NGOA=NOAF,从而完成证明；

(3)结合题意，根据平行线的性质，推导得/GOA+N'ACO=90。、ZAOF=ZOACX结

合(2)的结论，通过计算即可完成证明.

【详解】

(1)连接GA

。=4

/.40.4)

/.AO=4

,."3=8

b=2

/.C(2,0)

OC=2

・线段GO由线段AC平移所得，并且点G与点4对应，点。与点C对应

GA=OC=2,GA//OC

G(-2,4)

故答案为：(。,4),(2,0),(-2,4)；

(2)・••线段GO由线段AC平移所得

/.OG//CA,

/CFC=/GCF

「NGOF=NGOA+NAOF

NOFC=NGOA+NAOF

OG//CA

ZGOA=ZOAF

NOFC=NOAF+NAOF

(3)JOG//CA

ZGOC+ZACO=180°

•••NGOC=/GOA+/AOC

ZGOA+ZAOC+ZACO=\80°

•「ZAOC=90°

NGOA+90°+NACO=180°,即NGOA+NACO=90°

•「OG//CA

ZGOA=ZOAC

ZOAC+ZACO=90°

,/ZAOC=ZAOF+ZFOC=90°

^AOF+^FOC=ZOAC+^ACO

•「4FOC=/FCO,/ACO=NFCO

^AOF=^OAC

由（2）的结论得：/OHC=NOEH+NEOH,ZOEC=^EAC+^ACE

•「NOEH=NOEC,NEOH=NAOF=NOAC

/.NOHC=NOEC+NOAC

/.NOHC+NACE=NOEC+NOAC+NACE

,/ZEAC=ZOAC

：.ZOEC=ZOAC+^ACE

NOHC+/ACE=2NOEC

「•在点七运动的过程中，NOHC+NACE=2/OEC总、版立.

【点睛】

本题考查了算术平方根、立方根、平行线、平移、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练

掌握直角坐标系、平移、平行线的性质，从而完成求解.

7.已知，AEUBD,ZA=NO.

（1）如图1,求证：AB//CD.

（2）如图2,作N8AE的平分线交。。于点尸，点G为A8上一点，连接AG,若NC尸G的

平分线交线段AG于点，，连接AC,若NACE=N8AC+N8GM,过点，作MWJ_可/交

尺7的延长线于点M,且3/石一5/4切二18。，求NE4F+NGM”的度数.

【分析】

（1）根据平行线的性质得出4+4=180%再根据等量代换可得/8+/。=180。，最后根

据平行线的判定即可得证；

（2）过点E作EP//CD,延长OC至Q,过点M作MN〃A8,根据平行线的性质及等量

代换可得出NECQ=/8GM=N£^G,再根据平角的含义得出NECF=NC尸G,然后根据

平行线的性质及角平分线的定义可推出N8“尸=/CFH/CFA=ZE4B:设

4FAB=a、4CFH=。，根据角的和差可得出NAEC=2乙4切，结合已知条件

3NAEC-5/4―/=180。可求得/4切=18。，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可

得出答案.

【详解】

(1)证明：\AEHBD

.•Z+N4=180。

/.ZB+ZD=180°

/.AB//CD；

(2)过点E作EP//CD,延长DC至Q,过点M作M/V〃A«

-AB//CD

ZQCA=ZCAB,NBGM=/DFG,4CFH=/BHF,ZCFA=FAG

ZACE=ZBAC+ZBGM

ZECQ+ZQCA=ZBAC+/BGM

：.4ECQ=4BGM=/DFG

•/NECQ+ECD=180°,4DFG+CFG=180°

:.4ECF=NCFG

.AB//CD

：.AI3//EP

ZPEA=NEAR,ZPEC=NECF

ZAEC=APEC-乙PEA

:.ZAEC=ZECF-ZEAB

ZECF=ZAEC+^EAB

•・4F平分

ZE4F=ZFAB=-NEAB

2

FH平分/CFG

ZCFH=4HFG=-ZCFG

2

QCD/1AB

：.NBHF=4CFH、ZCFA=NFAB

设/FAB=a、4CFH=0

•・•ZAFH=ZCFH-NCFA=Z.CFH-Z.FAB

:&FH=B—a、4BHF=4CFH=0

ZECF+2ZAFH=ZAEC+ZEAI3+2ZAFH=ZAEC+2/7

/.ZECF+2ZAFH=/E+2/BHF

/.ZAEC=2ZAFH

v3ZAEC-5Z4F/7=180°

NAFH=18。

♦;FH1HM

/.ZF/7M=90°

NGHM=90。一户

/CFM+NNMF=180°

NHMB=4HMN=9O0-J3

/LEAF—/FAB

ZEAF=ZCFA=NCFH-ZAFH=/7-18°

，ZE4F+ZGMZ/=^-18°+90o-/7=72°

:.ZEAF+ZGMH=72°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能员活根据平行线的性质和判定进行

推理是解此题的关键.

8.如图①，将一张长方形纸片沿对折，使A5落在4方的位置；

图①图②

（1）若N1的度数为“，试求N2的度数（用含〃的代数式表示）；

（2）如图②，再将纸片沿G"对折，使得8落在。。'的位置.

①若EF/CG,N1的度数为。，试求N3的度数（用含。的代数式表示）；

②若8/_LCG,N3的度数比N1的度数大20。，试计算N1的度数.

解析：（1）90°-^a；（2）①45。+卜；②50。

【分析】

⑴由平行线的性质得到N4=N8/C=a,由折叠的性质可知，N2=,BFE,再根据平角的

定义求解即可；

⑵①由（1）知，ZBFE=90°-1«,根据平行线的性质得到NBFE

ZC'GB=90°--«,

2

再由折叠的性质及平角的定义求解即可；

②由（1）知，ZBFE=ZEF^=9O°-^Z1,由可知：

Z^FC+ZFGC'=90°,再根据条件和折叠的性质得到

ZB'FC+ZFGC'=Zl+14（）°-2Zl=90o,即可求解.

【详解】

解：（1）如图，由题意可知

Nl=N4=a,

,/AD!IBC,

/4=NB，FC=a,

.../BFB'=1800-a,

（2）①由题（1）可知"五E=90。—ga,

・「EF/ZC'G,

NBFE=ZCGB=90°--67,

2

再由折叠可知：

N3+ZHGC=180°-/CGB=180°-（90。-J〃）=90°+J0,

/.N3=N”GC=450+L；

4

1—应；一0

②由9尸JLCG可知：ZB'FC+ZFGC'=90°,

由（1）知庄=90。一,/1,

2

/FFC=180。—2/BFE=180。一2Q0°—；Nl）=N1,

又/3的度数比N1的度数大20。，

Z3=Zl+20°,

/.ZFGC=180°-2Z3=18O°-2（Z1+2O°）=140°-2Z1,

/.N4/C+ZFGC'=N1+140。一2/1=90°,

Zl=50°.

【点睛】

此题考查了平行线的性质，属于综合题，有一定难度，熟记“两直线平行，同位角相等“、

“两直线平行，内错角相等"及折叠的性质是解题的关键.

9.综合与探究

（问题情境）

王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动

（1）如图1,EF//MN,点A、8分别为直线所、MN上的一点，点/为平行线间一点,

请直接写出/B4尸、/PBN和NA/归之间的数量关系；

图1图2

备用图备用图

（问题迁移）

（2）如图2,射线OW与射线QN交于点。，直线〃?//〃，直线〃1分别交QM、QV于点A、

D,直线〃分别交。例、ON于点、B、。，点P在射线O"上运动，

①当点P在A、B（不与A、8重合）两点之间运动时，设NAZ）P=Na,

乙BCP=.则NC尸O,Na,"之间有何数量关系？请说明理由.

②若点尸不在线段上妄动时（点P与点A、B、。三点都不重合），请你画出满足条

件的所有图形并直接写出NCPO，Na，"之间的数量关系.

解析：（1）ZPAF+APBN+ZAPB=360°；（2）①4CPD=/a+邛、理由见解析：

②图见解析，4CPD=40—4a或4CPD=Na-4。

【分析】

(1)作PQIIEF,由平行线的性质，即可得到答案；

(2)①过P作PE//AO交CO于E,由平行线的性质，得到Na=NOPE,”=/CPE,

即可得到答案；

②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点尸在胡延长线时：当P在BO之间时；与①

同理」利用平行线的性质，即可求出答案.

【详解】

解：(1)作PQWEF,如图：

图1

•/EF/IMN,

EF//MN//PQ,

ZPAF+ZAPQ=180°,NPBN+NBPQ=180°,

•/ZAPB=NAPQ+NBPQ

/.ZPAF+ZPBN+ZAPS=360°；

(2)①4TO=Na+Np；

理由如下：如图，

过户作笈交。。于E,

JAD//BC,

/.AD//PE//BC,

：.4a=4DPE,"=NCPE,

NCPD=NDPE+/CPE=/a+皿

②当点。在必延长线时，如备用图1：

备用图1

•/PEWADWBC,

/EPC=B,ZEPD=a,

ZCPD=“-Na：

当。在80之间时，如备用图2：

备用图2

PEWADWBC,

/.ZEPD=a,zCPE=P,

ZCPD=Za-Z/7.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行

内错角相等，从而得到角为关系.

10.已知：直线4811CD,M,N分别在直线八8,CD上，H为平面内一点，连HM,HM.

(1)如图1,延长HN至G,N8MH和/GND的角平分线相交于点E.求证：2,MEN-

ZMHA/=180°；

(2)如图2,N8MH和NHN。的角平分线相交于点£.

①请直接写出NMEN与NMHN的数最关系：；

②作MP平分/AMH,/VQIIMP交ME的延长线于点Q,若/H=140。，求/ENQ的度

数.(可直接运用①中的结论)

C

图1图2

解析：(1)见解析；(2)①2NMEN+NMHN=360°；②20°

【分析】

(1)过点E作EPII48交MH于点Q,利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为

180。，角与角之间的基本运算、等量代换等即可得证.

(2)①过点H作G川须，利用(1)中结论2NM£N・NMHN=180°,利用平行线的性

质、角平分线性质、邻补用和为180。，角与角之间的基本运算、等量代换等得出NAMH+

ZHNC=360°-(Z8MH+NHND),进而用等量代换得出2/MEN+NMHN=360°.

②过点H作HTWM3山①的结论得2ZMEN+乙MHN=360。，ZH=140。，ZMEN=

110°.利用平行线性质得NENQ+NE/VH+NM7T=18O。，由角平分线性质及邻补角可得

zENQ+NENH+140。・g(1800-ZBMH)=180°.继续使用等量代换可得NENQ度数.

【详解】

解：(1)证明：过点E作EPII48交MH于点Q.如答图1

•「EPWAB且ME平分/BMH,

：.ZMEQ=NBME=ZBMH.

,/EPIIAB,ABWCD,

：.EPWCD,又NE平分NGND,

・•.NQEN=4DNE/上GND.(两直线平行，内错角相等)

；MEN=NMEQ+/QEN=；NBMH+』NGND=gQBMH+NGND).

乙乙乙

/.2ZMEN=NBMH+NGND.

ZGNO+NDNH=180°,ZDNH+NMHN=AMON=ZBMH.

...ZDHN=Z.BMH-ZMHN.

ZGND+Z.BMH-ZMHN=180°,

即2/MEN-ZMHN=180°.

(2)①：过点H作G/IIA8.如答图2

答图2

由(1)可得/M£N=gIZBMH+Z.HND),

由图可知NMHN=ZMH/+/NHI,

,/6/IIAB,

ZAMH=Z.MHI=1800-ZBMH,

•/G/llAB,ABWCD,

/.6/IICD.

ZHNC=,NHI=180°-ZHND.

NAMH+NHNC—180°-N8MH+1800-NHND~360°-(ZBMH+NHND).

又•••Z4MH+/HNC=AMHl+NNHI=Z.MHN,

Z8MH+NHND=360Q-ZMHN.

即2NMEN+4MHN=360°.

故答案为：2/MEN+NMHN=360°.

(2)：由①的结论得2/MEN+NMHN=360°,

ZH=KMHN=140°,

：.2ZMEN=360°-140°=220°.

ZMEN=110°.

过点H作HTWMP.如答图2

MPIINQ,

：.HTWNQ.

：.ZENQ+NE/VH+ZNHT=180。(两直线平行，同旁内角互补).

丁MP平分NAMH,

/PMH=；NAMH=g(1800-ZBMH).

•「ZNHT=NMHN-ZMHT=140°-ZPMH.

ZE/VQ+NE/VH+140。-g(1800-ZBMH)=180°.

,/ZENH=g/HND.

ZE/VQ+；/H/VD+1400-90°+；/8M片=180°.

/.ZENQ+g(HND+NBMH)=130°.

/.Zf/VQ+yZMEN=130°.

/.ZENQ=130°-110°=20°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，邻补角，等量代换，角之间的数量关系运

算，辅助线的作法，正确作出辅助线是解题的关键，本题综合性较强.

11.如图，直线PQHMN•一副直角三角板44BC,△。用'中，

Z.ACB=NEDF=90,/ABC=ZBAC=45\ZDFE=30'NDEF=60.

(1)若ADEE如图1摆放，当ED平分NPEF时,证明：平分NEFM.

图1

(2)若AA4c△£>£尸如图2摆放时，则/凡犯=

图2

(3)若图2中固定，将ADE尸沿着AC方向平移,边Q户与直线PQ相交于点G.

作/尸GQ和NGE4的角平分线S、户H相交于点”(如图3),求NGHF的度数.

D

图3

(4)若图2中△£)£厂的周长35c7〃,A/=5C7〃，现将AABC固定，将ME/沿着C4方向平

移至点尸与A重合，平移后的得到△DEA，点。、E的对应点分别是。'、请直接写

出四边形。石4。'的周长.

(5)若图2中ADM固定，(如图4)将AA8C绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转

至AC与直线4N首次重合的过程中，当线段AC与A/死产的一条边平行时，请直接写出旋

(4)45cm；(5)10s或30s或40s

【分析】

(1)运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；

(2)如图2,过点E作利用平行线性质即可求得答案；

(3)如图3,分别过点F、H作凡IIMN,HRIIPQ,运用平行线性质和角平分线定义艮J可

得出答案；

(4)根据平移性质可得D'4=DF,DD/=EE,=AF=5cm,再结合D£+EF+DF=35cm,可得

出答案；

(5)设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3。，分三种情况：

①当8GIDE时，②当8GIEF时,③当BCIIDF时，分别求出旋转角度后,列方程求解

即可.

【详解】

(1)如图1,在ADEF中，NEDF=90°,ZDFE=30°,ZDEF=60°,

图1

•••ED平分NPEF,

ZPEF=2APE。=2/D£F=2x60°=120°,

---PQIIMN.

：.ZMF£=1800-ZP£F=180°-120°=60°,

/.ZMFD=4MFE-Z.OFE=60°-30°=30°,

/.ZMFD=NDFE,

FD平分/EFM；

(2)如图2,过点E作£11MN,

图2

,/Z8AC=45°,

/.ZKEA=ABAC=45°,

,/PQIIMN,EKWMN,

/.PQIIEK,

/.ZPDE=ADEK=ADEF-Z.KEA,

又•「ZDEF=60°.

/.ZPOE=60°-45°=15°,

故答案为：15°；

(3)如图3,分别过点F、”作FLIIMN,HRWPQ,

图3

NL0=N84C=45°,ZRHG=Z.QGH,

FL\lMN,HRWPQ,PQIMN,

FLIIPQIIHR,

：.ZQGF+/GFL=180°,ZRHF=/HFL=AHFA-ZLFA,

,.ZFGQ和/GFA的角平分线GH、FH相交于点H,

NQGH=；NFGQ,/HFA=g/GFA,

Z。/±=3。°,

ZGE4=180°-ZDFE=150°,

...ZHFA=^AGFA=75°f

：.ZRHF=NHFL=Z.HFA-NLE4=75°-45°=30°,

ZGFL=AGFA-/.LE4=150°-45°=105°,

；.NRHG=NQGH=；NFGQ=g(180°-105°)=37.5°,

ZGHF=NRHG+/RHF=37.5°+30°=67.5"；

(4)如图4,•.•将AOEF沿着8方向平移至点F与八重合,平移后的得到△D'E'A,

图4

；.D'A=DF,DD'=E&=4F=5cm,

*/OE+EF+OF=35cm,

0£+EF+oa+AF+00'=35+10=45(cm),

即四边形。£4/的周长为45cm；

(5)设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈,即每秒转3。,

分三种情况：

8CIIOE时，如图5,此时ACIIDF,

3t=30,

解得：t=10；

BCWEF时，如图6,

ZBAE-8=45°,

/.ZBAM=Z.8AE+/E4M=450+45°=90°,

3t=90,

解得：t=30；

图7

,/ZDRM=NEAM+Z.DFE=450+30°=75°,

ZBKA=2DRM=75°,

■：ZACK=180°-/ACB=9D0,

/.ZCAK=90°-Z.8KA=15°,

/.ZC4E=180°-NEAM-NCAK=180°-45°-15°=120°,

3t=120,

解得：t=40,

综上所述，△ABC绕点A顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时,线段BC与ADEF的一

条边平行.

【点睛】

本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平

行线性质是解题关键.

12.如图1,点E在直线A3、OC之间，且NOE3+NA8E-NCOE=180°.

(1)求证：AB//DC：

(2)若点厂是直线3A上的一点，且ZBEF=ZBFE,EG平分NDE8交直线AB于点G,

若/力=20。，求NFEG的度数；

(3)如图3,点N是直线A3、。。外一点，且满足NCOM=!NCOE,

4

NABN=；NABE,ND与BE交手点、M.已知NCDW=矶0。vaV12。)，旦BN"DE,则

/NMB的歧数为(请直接写出答案，用含a的式子表示).

解析：（1）见解析；（2）10°；（3）180。一15a

【分析】

（1）过点E作EFIICD,根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出

ZCDE=ZDEF,结合己知条件ZDEB+ZABE-XCDE-180°,得出ZFEB+Z4BE=180°.

即可证明；

（2）过点E作/VEIICD,设4GEF=x,/FEB=NEFB=义由（1）得4811CD,则

ABWCDIIHE,由平行线的性质，得出/。所=/。+/曰?3=20。+乂再由反；平分/。£8,

得出/DEG=/GEB=/GEF+ZFEB=x+），,则/DEF=/DEG+ZGEF=2x+），,则可列

出关于x和y的方程，即可求得x,即NGE尸的度数；

（3）过点N作/VPIICD,过点M作QMIICD,由（1）得4811CD,则

NPWCDIIABWQM,根据/COM=」NCOE和NCZW=a,得出NMO£=3a,根据

4

CDIIP/VIIQM,DEIIN8,得出4PND=NCDM=NDMQ=a,NEDM=4BNM=3a,即

=根据NPII48,得山NPNB=ZABN=4a,再由NABN=工NABE,得出

4

NABM=16a,由48IIQM,得出NQMB=180。-16a,因为/NMB=4NMQ+4QMB,代入a

的式子即可求出4M?V.

【详解】

（1）过点£作EFIICD,如图，

•「EFWCD,

4CDE=/DEF,

/DEB-/CDE=/DEB—/DEF=/FEB,

ZDEB+ZABE-ZCDE=180°z

ZFEfi+ZABE=180°,

EFWAB,

CDII48；

(2)过点£作HEIICD,如图，

设NGEF=x,4FEB=/EFB=y,

由(1)得A8IICD,则ABIICDIIHE,

ZD=NDEH=20。,ZHEF=NEFR=y,

：./DEF=ZDEH+/HEF=ZD+ZEFB=20°+)，,

又.•・EG平分/DEB,

/DEG=NGEB=/GEF+/FEB=x+y,

NDEF=NDEG+NGEF=x+y+x=2x+y,

即2x+)，=200+y,

解得：x=10°,UPZGEF=10°；

(3)过点/V作NPIIC。，过点M作。Mil8,如图,

由(1)得4811CD,则NPWCDIIABWQM,

,/A/PIICD,CDWQM,NCDM=a,

NPND=ZCDM=4DMQ=a,

又NCDM=-NCDE,

4

/MDE=3/CDM=3a,

•/BNIIDE,

4MDE=/BNM=3a,

：./PNB=NPND+/BNM=a+3a=4a、

又二PNIIAB,

NPNB=/NBA=4a,

•「NABN=L/ABE,

4

ZABM=4ZABN=4x4a=16a,

又♦「4811QM,

ZABM+ZQMB=\SO0,

：.AQMB=1800-ZABM=180°-16cr,

/NMB=4NMQ+4QMB=a+1800-16a=180-15a.

【点睛】

本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解决问题的关键是作平行线构造相等的角，利

用两直线平行，内错角相等，同位角相等来计算和推导角之间的关系.

13.如图1,已A8IICD,ZC=Z4.

（1）求证：ADW8C；

（2）如图2,若点£是在平行线AB,CD内，4。右侧的任意一点，探窕N8AE,ZCDEf

NE之间的数量关系，并证明.

（3）如图3,若NC=90。,且点E在线段BC上，DF平分NEDC,射线DF在NEDC的内

部,且交8C于点M,交AE延长线于点F,ZAED+ZAEC=180°,

①直接写出/AED与/FDC的数量关系：

②点P在射线。八上，且满足/OEP=2/F,ZDEA-ZPEA=-^ZDEB,补全图形后，求

ZEPD的度数

解析：（1）见解析；（2）NBAE+NCDE=NAED,证明见解析；（3）@ZAED-

ZFDC=45°,理由见解析；②50°

【分析】

（1）根据平行线的性质及判定可得结论：

(2)过点E作EFIIA8,根据平行线的性质得4811COIIEF,然后由两直线平行内错角相等

可得结论；

(3)①根据NAED+NAEC=180°,ZAED+ZDEC+NAEB=180°,DF平分NEDC,可得出

2ZAED+(90°-2ZFDC)=180°,即可导出角的关系;

②先根据/AED=Z.F+ZFDE,ZAED-Z.FOC=45°得出/DEP=2/F=90°,再根据/DEA-

/PEA=3/DEB,求出NAED=50。，即可得出NEPD的度数.

14

【详解】

解：(1)证明：4811CD,

ZA+Z0=180°,

,/ZC=ZA,

ZC+Z0=180°,

/.40IIBC；

(2)ZBAE+Z.CDEMAED,理由如下：

如图2,过点£作EFIIAB,

图2

•「A8IICD

：.AB\\CDWEF

Z8AE=NAEF,ZCDE=ZDEF

即NFEA+NFED=乙COE+NBAE

ZBAE+NCDE=ZAED；

(3)①N4ED-NFDC=45'；

ZAED+ZAEC=180°,ZAED+/DEC+ZAEB=180°,

ZAEC=Z.DEC+NAEB,

ZAED=Z.AEB,

DF平分NEDC

NDEC=2ZFDC

ZDfC=90°-2ZFDC,

：.2ZAED+(9O0-2ZFDC)=180°,

ZAED叱FDC=45\

故答案为：ZAED-Z.FDC=<\S\

②如图3,

图3

•「ZAEDMF+NFDE,ZAED-Z.FDC=45°,

ZF=45°,

ZDEP=2ZF=90°,

55

,/ZDEA-Z.PEA=——4DEB=-NDEA,

147

/.ZPEA=/AED,

9

ZD£P=ZPEA+NAED=-ZAED=90°,

ZAED=70°,

,/ZAED+ZAEC=180°,

：.ZDEC+2NAED=180°,

/.ZDEC=40°t

1/ADWBC,

：.ZADE=Z.DEC=40°,

在^PDE中，Z£PD=180°-ZDEP-Z.AED=50°,

BPzEPD=50°.

【点睛】

本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的性质等知

识点是解题的关键.

14.已知A、4两点的坐标分别为A（-2,1）,将线段AA水平向右平移到DC,

连接AO,BC,得四边形ABCO,且加边形.0=12.

图1图2

(1)点C的坐标为,点。的坐标为；

(2)如图1,CG_Lx轴于G,CG上有一动点Q,连接BQ、DQ,求BQ+DQ最小时。

点位置及其坐标，并说明理由；

(3)如图2,E为x轴上一点，若OE平分NADC,且DELHC于E,

ZABH=^ABC.求与NA之间的数量关系.

4

解析：(1)0(2,-1),D(4,l)；(2)Q(2,g),理由见解析；(3)4Z^HC-ZA=180°

【分析】

(1)根据已知条件求出4。和8c的长度，即可得到。、C的坐标；

(2)连接BD与直线CG相交,其交点Q即为所求,然后根据SBND=SBQC+S梯形“NO求出

QC、QG后即可得到Q点坐标；

(3)过H作HFIIA8,过C作CMII