导数的经典练习题

导数经典练习题及详解答案

1.函数y=x+2cosx在［0,工］上取得最大值时，x的值为)

L

A.0B.-C.-D.-

632

2.函数y=xlnx的单调递减区间是（）

A.(e-l,+oo)B.)C.(O,e-1)D.(e,+oo)

3.点P在曲线），=/—工十|上移动，设点p处切线倾斜角为Q，那么。的取值范围是（）

A.。兵」呜）U中⑺

c•号,3・中印

4.函数），=M”（幻的图象如右图所示（其中尸（幻是函数/（幻的导函数），下面四个图象中

），=/（%）的图象大致是（

5.对于函数y=|2x-1］,以下结论中正确的选项是（）

A.『有极小值0,且0也是最小值B.y有最小值0,但0不是极小值

c.y有极小值o,但o不是最小值D.0既不是极小值，也不是最小值

6、假设£(2x-3x2)ar=O,那么k=()

A、1B、0C、0或1D、以上都不对

rrjr

7.函数两矽(x)=/(JT-X),且当XE(——,一)时，、f(x)=x+sinx,那么()

22

A./(l)</(2)</(3)B./(2)</(3)</(I)

C./⑶讶个/⑴。./⑶v/⑴</(2)

设函数/(Y)=/*+的导函数f\x}=2.r+l,那么数列{—^}(〃eN*)的前n项和是

8.

/(〃)

A.二-B.9C.D.但

n+1n+1n-1n

9.设f(x)=lx3+ax2+5x+6在区间［1,3］上为单调函数，那么实数a的取值范围为

3

A[-石，+8B.(-co,-3)C.(-00,-3)U[-V5,+ooOD.[一百，百]

10.函数f(x)在定义域R内可导，假设f(x)=f(2-x),且当x£(-8,1)时,(x-1)f\x)<

0,设a=f(O),b=f(l),c=f(3),那么()

2

A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

11.曲线)，=gd+x在点(1g)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()

1212

A.-B.-C.-D.-

9933

12.如下图的是函数/。)=/+"2+以十1的大致图象，那么寸+只等于O

13.设/(X)是偶函数,假设曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线的斜率为L那么该曲线在

(-1/(-1))处的切线的斜率为一

曲线y=_L与),=/

11.交于点P,过P点的两条切线与X轴分别交于A,B两点，那么AABP

X

的面积为；

15.函数)，=/")在定义域(-/3)内可导，其图

象如图，记丁=f(x)的导函数为y=/(x),

那么不等式F(x)WO的解集为

16.假设函数f(x)~/(a>0)在［1,+-)上的最大值为百，那么a的值为

x+a3

三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分)。

17.(12分)0f(x)=-x-2ax2+3x(xGR).

3

(1)假设a=l,点P为曲线尸f(x)上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值

时的切线方程；

(2)假设函数尸f(x)在(0,+8)上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.

18.(12分)函数/(x)=+alnx(a£R).(1)假设f(x)在［1,e］上是增函数，求

a的取值范围；(2)假设a=l,aWxWe,证明：/(A)

19.(12分)函数/(x)=〃-x(e为自然对数的底数)

(I)求/。)的最小值；

(II)设不等式/5)>以的解集为P,且*|0"42｝工?，求实数a的取值范围；

20.(12分)f(x)=(x2+ax+a)e~x(a<2,xeR).

(1)当a=I时,求/(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a,使/*)的极大值为3?假设存在，求出a的值，假设不存在，

说明理由.

21.(12分)函数/(x)=x+。的图像与函数g(x)=.d+3x+2的图象相切，记

F(x)=/(x)g(x).(1)求实数b的值及函数F(x)的极值;

(2)假设关于x的方程F(x)=k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围。

22.(14分)函数/(x)=lnx+匕］其中。为大于零的常数。

ax

(1)假设函数在区间U,包)内单调递增，求a的取值范围；

(2)求函数/*)在区间［1,2］上的最小值。

答案解析

1.B解析：y'=(x+2cosx)7=l-2sinx,令l-2sinx=0,且x£［0,工］时，x=—，当x£

26

-］W,/'(x)W0,f(x)单调递减，・・・f(x)e=f(工).应选B

626

2.C；解析：求该函数得导函数，解不等式求得小于零的区间即可；

3.B；解析：导函数的取值范围正好对应切线斜率的范围，再求倾斜角的范围即可；

5.A6.A7.D；解析：・・・/(W=l+cosx20；・f(x)在区间生二］上单调递增；

_22_

又(x)=f(乃-x),・・.f(x)关于x二工对称,应选D.

2

8.A；解析：/(x)=2xI1的原函数为一।”得旷2,再求{1}(〃uN*)的形式即可；

/(〃)

9.C；，(尤)=x?+2ax+5,那么f(x)在［1,3］上单调减时，由［,⑴4°,得a<-3;

［广⑶<0

当f(x)在［1,3］上单调增时，(⑴加中，/=4aJ4X5W0,或卜之°,

I八3)>0

得［-有，百］U［君，+8］.

综上：a的取值范围是(-8,—3)U［-石，+8］,应选C.

10.B；解析：由f(x)=f(2-x)可知，f(x)的图像关于x=l对称,根据题意又知xW(-8,1)

时，广(幻》0,此时f(x)为增函数,x£(l,+8)时，尸(x)<0,f(为为减函数,所以f⑶

=f（-l）＜f（O）＜f（-）,即c＜a〈b,应选B.

2

11.A；解析：曲线），=；d+x在点（],§处的切线方程是）.g=2（x-i）,它与坐标轴的交

点是d,0）,（0,围成的三角形面积为应选A。

339

12.C;解析：由图象知/*）=0的根为0,1,2,:.d=O.

「.d+bx+c=o的两个根为1和2.:.b=-3,c=2.

c2

,・・西,马为31—6x+2=0的两根,

/.x}+x2=2,西々=—•

二、填空题

13.-1解析；此题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念.属于根底知识、

根本运算的考查.取=如图，采用数形结合法，易得该曲线在（_ij（T））处

的切线的斜率为-1.故应填T.

14.解析：先求出交点坐标为（1,1）,再分别求出两曲线在该点处的切线方程，求

4

出A、B、P三点坐标，再求面积；

15.[-1,1]U[2,3）解析：由函数的单调性判断

2G）2

⑹V3-1解析：小）二就公=吊'x＞七时，八”,f（x）单调减，当

一小X（石时，小））。，f（x）单调增,当X札f（x）《哼及咚"不合

题意.⑴=17r♦国百T

17.解：⑴设切线的斜率为k,那么k=/'")=2x2-4x+3=2(x-l)2+l,.......2分

当x=l时，.又f（D=：,所以所求切线的方程为y-|=xT,

即3x-3y+2=0.6分

⑵r")=2xJ4ax+3,要使y=f(x)为单调递增函数，必须满足西")>0,即对任意的x

e(0,+8),恒有广。)>0,/\x)=2x-4ax+3>0,...............................8分

〈竺±2二'+工_,而土+3》如，当且仅当x二逅时，等号成立.

4x24x24x22

所以水上，.........11分

2

所求满足条件的a值为1..................12分

18.解：(1)Vf\x)=x+-，且在［l,e］上是增函数，，/(x)=x+q20恒成立,

XX

即a2-/在［1,e］上恒成立，............6分

⑵证明：当a=l时，/(x)=—x123+Inx[1,e].

2

719

4^F(x)=f(x)--x2=-x2+lnx--x2,

22

rw=x+l_2x=(1-A)(14-X4-2X)^0>af(x)在[i,e]上是减函数,

XX

177

.\F(x)^F(l)=---<0・・・x£[l,e]U寸，f(x)<-x2....................12分

33

19.解：(I)/(%)的导数广(x)="-1

令(。)>0,解得x>0；令((x)<0,

解得x<0...................................2分

从而f(x)在(-8,0)内单调递减，在(0,+8)内单调递增.

所以，当x=0时，/(幻取得最小值1...........................................5分

(II)因为不等式/(x)>or的解集为P,且{x|0W2}uP,

所以，对任意的xe[0,2],不等式怛成立,6分

由/(文)>ax,得(l+a)xve'

当x=0时，上述不等式显然成立，故只需考虑xe(0,2]的情况。...........7分

将(14a)x<变形为a<----1...................................................................8分

X

令g(x)=J-l，那么/")=°?'

Xx~

令g'(x)>。，解得X>1;令g'(x)<0，

解得XV1......................................10分

从而g(x)在(0,1)内单调递减，在(1,2)内单调递增.

所以，当x=l时，g(x)取得最小值e-1,从而，

所求实数。的取值范围运...........12分

20.解：(1)当a=l时，f(x)=(x2+x+l)e-x;/1(x)=(-x2+x)...................2分

当/(x)>OfbJ",0<x<1.当f(x)<OfbJx>1或x<0

・・・f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(-8,0)(1,+8)

.............................4分

(2)/(x)=(2x+a)e~"-e~'(x2+ax+a)=e~x[-x2+[2-a)x]...........6分

令f(x)=0,得x=。或V=2-4/

列表如下：

(2-a,+

X(—8,0)0[0,2—a)2-a

°°)

f(x)—0+0—

f(x)、极小/极大

由表可知/(x)极大=f(2-a)=(4-a)ea-2............8分

设g(a)=(4—(a)=(3—a)，-2>0..........10分

・・・不存在实数a使f(x)最大值为3。...........12分

21.解：⑴依题意，令/'（%）=得l=2x+3,故x=-l

列表如下：

5(-|-1)

X(/-00-5、)(-1,+8)

-3-1

/（X）+0—0+

极大值

极小值

尸（X）/4/

0

27

从上表可知F（x）在^=-|处取得极大值（，在x=-l处取得极小值.

...............6分

⑵由⑴可知函数），=尸（幻大致图象如下图所示.作函数），=4的图象,

当y=F（X）的图象与函数），=4的图象有三个交点时,

关于x的方程小）=燔有三个不等的实数根结合图形可知:ke（0,±）