对数与对数函数-知识点与题型归纳

・高考明方向

1.理解对数的概念及其运算性质，知道用

换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用

对数；了解对数在简化运算中的作用.

2.理解对数函数的概念，理解对数函数的

单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.

3.知道对数函数是一类重要的函数模型.

4.了解指数函数尸与对数函数尸互为反

函数(a>0,且aWl).

★备考知考情

通过对近几年高考试题的统计分析可以看

出，本节内容在高考中属于必考内容，且占有

重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有

填空题和解答题.主要考查对数运算、换底公

式等.及对数函数的图象和性质.对数函数与

嘉、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、

解不等式是高考的热点.

一、知识梳理《名师一号》P27

注意：

知识点一对数及对数的运算性质

L对数的概念

一般地，对于指数式=从我们把“以a为

底"的对数bn记作，即b=（a>0,且aWl）.其

中，数a叫做对数的底数，V叫做真数，读作“b

等于以a为底〃的对数”.

注意：（补充）关注定义指对互化的依据

2.对数的性质与运算法则

（1）对数的运算法则

如果a>0且aWL>0,N>0,则

①0=+;

②=一;

③二(〃£R)；

@=.

(2)对数的性质

①二%②二爪8〉。，且aWl).

(3)对数的重要公式

①换底公式：=(a,6均大于零且不等于

1);

②二，推广・•=.

注意：(补充)特殊结论：log“1=0,log“a=1

知识点二对数函数的图象与性质

2.反函数

指数函数尸与对数函数尸互为反函数，

它们的图象关于直线尸x对称.

（补充）

设存在反函数，并记作y=r~

l（x）,

1）函数尸Hx）与其反函数尸厂1（X）的

图象

关于直线产X对称.

2）如果点尸（殉，为）在函数y=f（x）的图

象上，

贝！］必有厂1（%）=为，

反函数的定义域、值域分别为原来函数的

值域、定义域.

3)函数y=F(x)与其反函数y=「l(x)的

单调性相同.

二、例题分析：

(一)对数式的运算

例1.(1)《名师一号》P27对点自测1

(2013•陕西文3)设a,b,。均为不等于1

的正实数，则下列等式中恒成立的是()

A.•=

B.・=

C.()=•

D.(6+c)=+

解析由对数的运算性质：()=+,

可判断选项C,D错误；选项A,由对数的

22

换底公式知，-==•=^b=af此式不恒成

立，故错误；对选项B,由对数的换底公式

知，•=•==,故恒成立.

答案B

例1.(2)(补充)计算下列各式的值

21g2+lg3_

(1)ii-

l+^lgO.36+|lg8

(2)温故知新P22第8题

⑶1鸣a.log3g.1"51二

答案：(1)1(2)10(3)-12

注意：准确熟练记名存数运算性质

多练

《名师一号》P28高频考点例1

【规律方法】在对数运算中，要熟练掌

握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、

换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，

多个对数式要尽量化成同底的形式.

例2.⑴《名师一号》P27对点自测2

（2014•陕西卷）已知4'=2,=a,则x=.

解析**4a=2,:.a=2=.由=,

得x=10=.

例2.（2）《名师一号》P28高频考点例

1（1）

若k43,贝11（2*—2一”）2等于（）

解析：由X=43,得4*=3,

即2'=,2~=,

所以（2-2一丁=2=.

注意：指数与对数的互化

=M>b=log,N(3>0,收1,7V>0).

练习：(补充)已知3"=5'=%/+：=2求%

ab

答案：k=y/\5

例3.《名师一号》P28高频考点例1(2)

已知函数/>(X)=则f(f(D)+的值

是()

A.5B.3C.-1

因为f(l)=21=0,所以f(f(l))=f(0)=

因为3<0,所以=3+1

=3+1=2+1=3.

所以AAD）+=2+3=5.

二、对数函数的图象及性质的应用

例L（补充）

求下列函数的定义域.

（l）y=.

⑵7=（x+i）（16-40.

解析：（1）由函数定义知：

:.即〈忘1.

故原函数的定义域是{＜点1}.

（2）由函数有意义知

•:即——1＜水2,且#0.

故原函数的定义域为{-1〈水0,或（KK2}.

练习：

2

已知集合{%j=log2(x—ax—a)}=R

求实数a的取值范围.

解析：设F(X)=N-----a,则y=2『(x)，

依题意,F(x)>0恒成立，，A=*+4水0

，一4〈水0,即a的范围为(一4,0)

例2.《名师一号》P27对点自测5

(2014•重庆卷)函数f(x)=2•(2x)的]

小值为.

解析根据对数运算性质，f(x)=2・(2x)

22

=2*・[22(2A)]=2X(1+2A)=(2x)+2^=—,当

x=时，函数取得最小值一.

注意:

换元后“新元”的取值范53

练习：

1、求下列函数的值域

(1)y=(—T+2X+4)

［答案］［-1，+8)

(2)f{x}=x—32y+2

［解析］令方=2%;W启2・二一1W方(1.

・•・函数化为y=t2-6t+2=(方一3)2—7

•・・一1«.

，当力=-1,即x=时，=9.

当方=1,即x=2时，=—3,

・•・函数的值域为［-3,9］.

2、已知集合{yy=1082(/-依-a)}=K

求实数a的取值范围.

［分析］当且仅当F(X)=N一—a的值能够

取遍一切正实数时，y=2(N--4的值域才为

R.

而当A<0时，f(x)>0恒成立，仅仅说明函

数定义域为R,而F(x)不一定能取遍一切正实

数(一个不漏).要使f5)能取遍一切正实数，

作为二次函数，Ax)图像应与x轴有交点(但此

时定义域不再为由

［正解］要使函数y=2(N——a)的值域

为R,应使一—3能取遍一切正数，要

使f{x}=N---a能取遍一切正实数，应有△

=/+4a20,或4,，所求a的

取值范围为(一8,—4]U[0,+8)

例3.(1)《名师一号》P27对点自测4

已知a>0且H/L则函数y=(x+2015)

+2的图象恒过定点.

解析令x+2015=l,即^=—2014时,

y=2,故其图象恒过定点（一2014,2）.

练习：

无论a取何正数（收1）,函数

y=loga（x-3）+3恒过定点

【答案】（4,3）

注意：

对数函数y=logax（a>0,且"1）图象都经过

定点a,o）

例3.（2）（补充）

如右下图是对数函数①尸，②尸，

③尸，④尸的图象，则H、b、c、d

与1的大小关系是

A.a>b>l>c>d

B.b>a>Y>d>c

C.\>a>b>c>d

D.a>b>l>d>c

【答案】B

在上图中画出直线y=l,分别与①、②、

③、④交于A(af1)、B(b,1)、C(c,1)、D(d,1),

由图可知c<Kl<a<b.

注意：(补充)

两个单调性相同的对数函数，

它们的图象在位于直线x=l右侧的部分是

“底大图低”.

利用log"=l,图象都经过（0,1）点，作直

线y=1,

则该直线与图象的交点的横坐标即为底数

例3.（3）《名师一号》P28高轴老占例

2（1）LrTT

（2014•福建卷）若函数尸，。/J*

且&W1）的图象如图所示，

则下列函数图象正确的是（）

答案：B.

例4.《名师一号》P28高频考点例3

已知函数F（X）=4（2+2X+3）.

⑴若/*（1）=1,求Xx）的单调区间；

⑵是否存在实数H,使F(x)的最小值为0?

若存在，求出a的值；若不存在，说明理

由.

解析：⑴・•・《)=1,

；・4(a+5)=l,因此a+5=4,a=—\.

这时f(x)=4(—/+2x+3).

由一V+2x+3>0得-1〈水3,

函数F(x)的定义域为(-1,3).

令g(x)=—/+2x+3,

则g(x)在上单调递增，在(1,3)上

单调递减.

又尸柒在(0,+8)上单调递增，

所以/(T)的单调递增区间是(一1,1),

单调递减区间是(1,3).

(2)假设存在实数a使F(x)的最小值为0,

则力(x)=2+2X+3应有JI=J:小值1,

因此应有

解得a=.

故存在实数&=使AT)的最小值为0.

练习：温故知新P32第5题

三、比较大小

例1.《名师一号》P29特色专题典例

已知0=5】强34力=5崛3.6,0=

,贝！1()

A.a〉力cB.b>a>cC.a>c>H).c>a>b

【规范解答】

方法1：在同一坐标系中分别作出函数尸

2%y=3%y=4X的图象，如图所示.

由图象知：23.4>3>43.6・

方法2：V3>33=1,且<3.4,

.,.3<33.4<23.4.

V43.6<44=1,3>b

・，・43.6<3.

**•23.4>3>43.6.

由于尸5、为增函数，

故a>c>b.

注意：《名师一号》P28问题探究问题3

比较塞、对数大小有两种常用方法：

①数形结合；②找中间量结合函数单调性.

练习：

1、若0<水水1,贝！］()

A.3y3AB.3<3

C.4K加

解析：VO<KXb

①由y=3"为增函数知3<3，，排除A；

②'二〃在(0,1)内单调递增，

J水3y<0,/.3>3,・・.B错.

③由尸M为增函数知4K必

・•・C正确.

④由尸"为减函数知，。排除D.

答案：C

2、对于0<水1,给出下列四个不等式

①(1+a)<(1+)；

②(1+a)>(1+)；

@a+a<a；@a+a>a.

其中成立的是()

A.①与③B.①与④

C.②与③D.②与④

答案：D

解析：由于0〈水1=水=1+水1+,

/.(l+a)>(l+),a+a>a.

：.选D.

四、对数方程与不等式

例L(1)(补充)

方程3(*—10)=1+3X的解是.

［答案］户5

［解析］原方程化为3(4—10)=3(3x),由

于3X在(0,+8)上严格单增,则10=3%

解之得不=5,苞=—2.:要使3X有意义,应有

x>0,，x=5.

注意:

依据对数函数恒单调求解。

例1.(2)温故知新P32第9题

已知函数/(6=1:二;>°),且关于，的方

程

〃x)+x-a=0有且只有一个实根，则实数。

的取值

范围是

练习：温故知新P31第5、6题

温故知新P29第10题

例2.(1)(补充)己知0<水1,(1一k)<则

()

A.0<XlB.水C.0<X<Kl

分析：底数相同，真数不同，可利用对数

函数尸的单调性脱去对数符号转化为整式不

等式求解.

解析：•••0〈水1时，尸为减函数,

工原不等式化为，解得0<K.

例2.(2)(补充)

设0<水L函数£（"=（拼一2—2）,则使

F（x）〈O的x取值范围是（)

A.(一壬0)B.(0,+~)

C.(-oo,3)D.(3,+8)

解析:V0<a<l-2-2)<0

BPax-2-2>l••才、-2一3〉0

•••>3或〈一1（舍），水3,故选C.

注意:

关于含对数式（或指数式）的不等式求解,

般都是用单调性或换元法求解.

例2.（3）《名师一号》P28高频考点例

2(2)

当0＜忘时，4X,则a的取值范围是（)

C.(1,)D.(,2)

解析：由题意得，当0＜水1时，要使得4＜,

即当0＜共时，函数尸4”的图象在函数尸图

象的下方.

又当x=时，4=2,即函数尸4、的图象过

点,把点代入函数尸，得石=,若函数尸4、

的图象在函数尸图象的下方，则需〈水1（如图

所示）.

当办1时，不符合题意，舍去.

所以实数方的取值范围是.

答案：B.

练习：当X£（l,2）时，不等式（x-l）2vlog,,X恒成

立，则实数〃的取值范围是。

分析:

若将不等号两边分别设成两个函数,

则左边为二次函数，图抛物线

右边为常见的对数函数的七

故可以通过观察图象求解

解：设工(x)=(工一1)2，f2(x)=\ogax9

则工(X)的图象为右图

所示的抛物线，要使对一切

X£(l,2),/(x)〈力(x)恒成立，a>ly

观察图象得：

只需W⑵即可。故｛普产,

・・.取值范围是同1<6Z<21O

变式：《名师一号》P28变式思考2(2)

不等式＞5—1)2恰有三个整数解,则a的取

值范围为()

A.[,]B.[,)C.(1,]D.(1,]

解析:不等式＞(x—IF恰有三个整数解，画

出示意图可知a＞L其整数解为{2,3,4},

则应满足得《水.

答案

五、反函数的概念

例1.(补充)已知函数f(x)=2，+1(x20),

记F(x)的反函数为fYx),则尸()=()

B.4D.-2

分析：

利用函数F(x)及其反函数的关系求

解.

解析：设f1()=4则f®=,

，2'+1=,：.a=-2.

注意：

如果点36)在反函数y=尸(x)的图象上,

则点(6,向在原来函数的图象上；

互为反函数的两个函数的图象关于直线y

=x对称

例2.(补充)函数尸(x+1)的反函数的图

象为()

解析：•••函数y=(x+l)的图象过点(0,0),

故反函数图象过点(0,0),排除A、B、C,选D.

练习：如果一个点是一个指数函数的图象

与一个同底的对数函数图象的公共点，则称这

个点为“世博点”.在下面的五个点XI,1),

Ml,2),尸(2,1),0(2,2),G(2,)中,“世博

点”的个数为()

A.0个B.1个C.2个D.3个

［答案］B

［解析］•・•指数函数与同底的对数函数的

图象关于直线尸X对称，故若它们有交点，则

交点一定在直线y=x上，而"(1,1)不适合题

意，故只有点0满足题意.

计时双基练P226培优第1题

六、指数、对数函数的综合问题

第11周周练第13题

设a>1,则当y=a'与y=log“x两个函数图像

有且只有一个公共点时，ln(ln«)=

答案1

第11周周练第10题

课后作业

一、计时双基练P225基础1-9

课本P28变式思考1、2、3；

二、计时双基练P226基础10、11；培优

1-4

课本P29对应训练1、2

预习第二章第五节募函数与二次函数

补充

练习1：已知函数丁=41-3.2”+3的值域

为[1,7],贝!)x的范吕

A.[2,4]B.(-oo,0)

C.(0,1)u[2,4]D.(—00,0]u[1,2]

答案

练习2:

已知方程9^—2•3入+34—1=0有两个实

数解，试求实数A的取值范围.

［解析］令方=3。则力0.原方程有两个实

数解，即方程/一2方+3A—1=0有两个正实数

解，则

解得＜Z.

练习3:

对任意的Xe氏(1)(4'〃-5)44"+3＜(，严T〃2*2恒成立,

3