高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象（3）教学教学设计 新人教A版必修4

课题高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象（3）教学教学设计新人教A版必修4课时安排1课前准备XX教学内容分析1.本节课的主要教学内容是正切函数的性质与图象，涉及正切函数的定义、周期性、奇偶性、单调性等。

2.教学内容与学生已有知识的联系紧密。学生在之前的学习中已经掌握了正弦、余弦函数的性质与图象，这为学习正切函数奠定了基础。本节课通过对比分析，帮助学生深入理解正切函数的特点。教材章节为新人教A版必修4中的第一章三角函数的1.4.3节。核心素养目标1.发展数学抽象能力，通过正切函数的研究，理解抽象函数的概念。

2.培养逻辑推理能力，通过分析正切函数的性质，学会逻辑推理和证明。

3.提升数学建模意识，将实际问题转化为正切函数模型，解决实际问题。

4.增强直观想象能力，通过绘制正切函数图象，培养学生的空间想象和几何直观。重点难点及解决办法重点：1.正切函数的定义域和值域；2.正切函数的周期性和奇偶性；3.正切函数的单调性。

难点：1.正切函数定义域的确定；2.正切函数周期性的理解和应用；3.正切函数单调性变化的判断。

解决办法：

1.通过实例和类比，帮助学生理解正切函数定义域的特殊性。

2.利用几何直观和周期函数的概念，引导学生理解正切函数的周期性。

3.通过绘制图象和比较法，帮助学生识别正切函数的单调区间。突破策略包括：小组合作学习，共同探讨解决方法；提供丰富多样的练习题，强化对性质的理解和应用。教学资源-软硬件资源：计算机、投影仪、白板、直尺、圆规

-课程平台：学校教学网络平台

-信息化资源：正切函数图象生成软件、在线数学学习平台

-教学手段：多媒体课件、动画演示、小组讨论、实际问题解决教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求，例如要求学生预习正切函数的定义和基本性质。

设计预习问题：围绕正切函数的性质与图象，设计问题如“正切函数在哪些象限内为正？为什么？”引导学生自主思考。

监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

自主阅读预习资料：学生阅读预习资料，理解正切函数的定义、周期性和奇偶性等基本性质。

思考预习问题：学生针对预习问题进行独立思考，记录自己的理解和疑问，如“如何证明正切函数的周期性？”

提交预习成果：学生将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处，以便教师了解预习情况。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过展示正切函数在现实生活中的应用案例，如机械运动、物理测量等，引出正切函数的课题，激发学生的学习兴趣。

讲解知识点：详细讲解正切函数的定义域、值域、周期性和奇偶性，结合图象和实例帮助学生理解。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生分组探究正切函数的单调性，并展示结果。

解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，如“如何判断正切函数在某个区间内是单调递增还是递减？”进行及时解答和指导。

学生活动：

听讲并思考：学生认真听讲，积极思考老师提出的问题，如“正切函数的周期为什么是π？”

参与课堂活动：学生积极参与小组讨论，通过合作探究正切函数的单调性，如通过绘制图象来观察函数的变化趋势。

提问与讨论：学生针对不懂的问题或新的想法，如“正切函数在x接近π/2时会发生什么变化？”勇敢提问并参与讨论。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置练习题，要求学生独立完成，如“求函数y=3tan(x)在区间(0,π)内的单调区间。”

提供拓展资源：提供与正切函数相关的拓展资源，如在线数学论坛、数学软件等，供学生进一步学习。

反馈作业情况：及时批改作业，针对学生的错误给予个别指导，如“为什么在这个区间内函数不是单调的？”

学生活动：

完成作业：学生认真完成作业，巩固对正切函数性质的理解。

拓展学习：学生利用老师提供的拓展资源，如数学软件，绘制正切函数的图象，观察函数在不同参数下的变化。

反思总结：学生对自己的学习过程和成果进行反思，如“我通过这次学习，对正切函数的单调性有了更深的理解。”并提出改进建议。知识点梳理正切函数是高中数学中重要的三角函数之一，它具有独特的性质和图象。以下是正切函数的知识点梳理，内容与教材相符，旨在帮助学生全面掌握正切函数的相关知识。

一、正切函数的定义

1.定义：在直角坐标系中，设直角三角形的两个锐角分别为α和β，其中α为锐角，则正切函数定义为tanα=对边/邻边。

2.定义域：正切函数的定义域为所有实数，即R。

二、正切函数的性质

1.周期性：正切函数的周期为π，即tan(α+π)=tanα。

2.奇偶性：正切函数为奇函数，即tan(-α)=-tanα。

3.单调性：在定义域内，正切函数在每个周期内都是单调递增的。

4.无界性：正切函数在定义域内无界，即其值可以无限接近正无穷或负无穷。

三、正切函数的图象

1.图象特征：正切函数的图象为波浪形曲线，具有以下特点：

a.在每个周期内，图象有两条渐近线，分别垂直于x轴和y轴。

b.图象在原点处有一个间断点，即y=0。

c.图象在x轴的正半轴和负半轴上分别有无限多个零点。

2.图象绘制：利用正切函数的定义和性质，可以绘制出正切函数的图象。具体步骤如下：

a.确定周期：正切函数的周期为π，因此只需绘制一个周期的图象即可。

b.确定渐近线：在每个周期内，绘制两条垂直于x轴和y轴的渐近线。

c.确定零点：在每个周期内，找出正切函数的零点，即y=0的点。

d.连接点：将相邻的零点用平滑的曲线连接起来，即可得到正切函数的图象。

四、正切函数的应用

1.解三角形：利用正切函数的性质，可以解决直角三角形中的相关问题，如求三角形的边长、角度等。

2.函数性质研究：通过研究正切函数的性质，可以了解函数的周期性、奇偶性、单调性等，为学习其他函数打下基础。

3.应用题：在物理、工程等领域，正切函数常用于解决实际问题，如求斜率、角度等。

五、正切函数的极限

1.当x趋近于π/2时，正切函数的极限为正无穷或负无穷，具体取决于x的正负。

2.当x趋近于π/2的整数倍时，正切函数的极限为0。

六、正切函数的导数

1.正切函数的导数为sec²α，即d/dx(tanα)=sec²α。

2.利用导数，可以研究正切函数的凹凸性、拐点等性质。

七、正切函数的反函数

1.正切函数的反函数为反正切函数，记为arctanx。

2.反正切函数的定义域为(-∞,+∞)，值域为(-π/2,π/2)。板书设计①正切函数定义

-定义：tanα=对边/邻边

-定义域：所有实数（R）

②正切函数的性质

-周期性：T=π

-奇偶性：奇函数，tan(-α)=-tanα

-单调性：每个周期内单调递增

-无界性：无界，值域为(-∞,+∞)

③正切函数的图象

-特征：波浪形曲线，周期性，渐近线，间断点，零点

-绘制步骤：确定周期，确定渐近线，确定零点，连接点

④正切函数的应用

-解三角形

-函数性质研究

-应用题（物理、工程等）

⑤正切函数的极限

-当x趋近于π/2时，正切函数的极限为正无穷或负无穷

-当x趋近于π/2的整数倍时，正切函数的极限为0

⑥正切函数的导数

-导数：d/dx(tanα)=sec²α

⑦正切函数的反函数

-反函数：arctanx

-定义域：(-∞,+∞)

-值域：(-π/2,π/2)教学评价与反馈1.课堂表现：学生在课堂上的参与度较高，能够积极回答问题，对正切函数的性质和图象有了初步的理解。学生的注意力集中，对于新知识的接受能力较强。

2.小组讨论成果展示：在小组讨论环节，学生们能够有效地分工合作，共同探究正切函数的单调性。通过展示小组讨论成果，学生们能够清晰地表达自己的观点，并能够倾听他人的意见，形成了良好的团队合作氛围。

3.随堂测试：随堂测试结果显示，大部分学生能够正确理解和应用正切函数的基本性质，如周期性、奇偶性和单调性。然而，部分学生在判断正切函数在特定区间内的单调性时存在困难，需要进一步指导和练习。

4.学生提问与解答：在课堂提问环节，学生们提出了关于正切函数周期性和值域的问题，表现出对知识的深入思考。教师对这些问题进行了详细的解答，帮助学生澄清了疑惑。

5.教师评价与反馈：针对学生在课堂上的表现，教师给予了以下评价与反馈：

-针对课堂表现，教师鼓励学生继续保持积极的学习态度，并提出更高的要求，如更加深入地分析正切函数的性质。

-针对小组讨论成果展示，教师肯定了学生的合作精神和创新能力，并建议在未来的讨论中更加注重逻辑性和条理性。

-针对随堂测试，教师提醒学生在判断正切函数的单调性时，要注意观察函数图象的变化趋势，并加强对相关性质的记忆和应用。

-针对学生提问与解答，教师鼓励学生继续积极参与课堂互动，提出更多有深度的问题，以促进知识的深入理解和掌握。课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：《三角函数的实际应用》——介绍正切函数在物理、工程、几何等领域的应用实例。

-视频资源：《正切函数的图象与性质》——通过动画演示正切函数的图象变化和性质。

2.拓展要求：

-鼓励学生利用课后时间阅读相关材料，了解正切函数在现实生活中的应用。

-观看视频资源，通过视觉方