高二数学合情推理与演绎推理

高二数学合情推理与演绎推理

考试时间：120分钟总分：100分年级/班级：高一（1）班

高二数学合情推理与演绎推理

一、单选题

1.下列说法中，属于合情推理的是（）

A.三角形的内角和等于180度

B.通过大量样本数据的统计分析，得出某种结论

C.平行线的性质定理

D.圆的面积公式

2.某几何命题的逆命题为真，则原命题一定是（）

A.真命题

B.假命题

C.不可判断真假

D.以上都不对

3.已知数列的前n项和为Sn,且Sn=2nA2-3n,则第5项a5的值为（）

A.25

B.27

C.29

D.31

4.用数学归纳法证明“1+3+5+...+（2n-1）=nA2”时，第二步需要验证（）

A.n=1时等式成立

B.n=2时等式成立

C.n=k时等式成立

D.n=k+1时等式成立

5.若一个命题的逆否命题为真，则原命题一定是（）

A.真命题

B.假命题

C.不可判断真假

D.以上都不对

6.观察数列：2,5,10,17,26,,则第n项an的表达式为（）

A.nA2+1

B.nA2-1

C.2nA2-1

D.2nA2+1

7.已知命题p:HxA2-2x+1=0有解"，命题q:HxA2-2x+1=0的解为x=1M,则下

列说法正确的是（）

A.p是q的充分不必要条件

B.p是q的必要不充分条件

C.p与q等价

D.p与q不等价

8.用反证法证明“一个整数不是偶数就是奇数”时，首先假设（）

A.这个整数是偶数

B.这个整数是奇数

C.这个整数既不是偶数也不是奇数

D.这个整数既是偶数也是奇数

9.观察下列等式：

1x2=1A2

2x3=2A2+1

3X4=3A2-1

4X5=4A2-1

则第n个等式为()

A.n(n+1)=nA2+1

B.n(n+1)=nA2-1

C.n(n+1)=nA2

D.n(n+1)=nA2+2

10.已知命题p:M3xeR,使得xA2+x-2=0"，命题q:“VxwR,都有xA2+x-

2才0”，则下列说法正确的是()

A.p是真命题，q是假命题

B.p是假命题，q是真命题

C.p与q都是真命题

D.p与q都是假命题

二、多选题

1.下列说法中，属于演绎推理的有()

A.通过观察大量样本数据，猜想出某种规律

B.由“三角形内角和等于180度”，推出“等腰三角形的底角相等'

C.平行线的性质定理

D.圆的面积公式

2.用数学归纳法证明“1+2+3+...+n=n（n+1）/2”时：第二步需要验证（）

A.n=1时等式成立

B.n=k时等式成立

C.n=k+1时等式成立

D.n=k+2时等式成立

3.已知数列的前n项和为Sn,且Sn=3nA2-n+1,则下列说法正确的有（）

A.a1=3

B.a2=9

C.a3=15

D.a4=18

4.用反证法证明“一个整数不是偶数就是奇数”时，可能得到的结论有（）

A.存在一个整数既不是偶数也不是奇数

B.存在一个整数既是偶数也是奇数

C.所有的整数都是偶数

D.所有的整数都是奇数

5.观察数列：1,4,9,16,25,...,则第n项an的表达式为（）

A.nA2

B.2n-1

C.nA2+1

D.nA2-1

6.已知命题p:MxA2-4x+3=0有解"，命题q:MxA2-4x+3=0的解为x=1或

x=3"，则下列说法正确的有()

A.p是q的充分不必要条件

B.p是q的必要不充分条件

C.p与q等价

D.p与q不等价

7.观察下列等式：

1X3=2A2-1

2X4=3A2-1

3X5=4A2-1

4x6=5A2-1

则第n个等式为()

A.n(n+2)=nA2+1

B.n(n+2)=nA2-1

C.n(n+2)=nA2

D.n(n+2)=nA2+2

8.用数学归纳法证明“1+3+5+...+(2n-1)=M2”时，第二步需要验证()

A.n=1时等式成立

B.n=k时等式成立

C.n=k+1时等式成立

D.n=k+2时等式成立

9.已知命题p:9xwR,使得xA2+x-2=0M,命题q:HVXGR,都有xA2+x-

2*0"，则下列说法正确的有()

A.p是真命题，q是假命题

B.p是假命题，q是真命题

C.p与q都是真命题

D.p与q都是假命题

10.观察数列:2,6,12,20,30,...,则第n项an的表达式为()

A.n(n+1)

B.nA2+1

C.2nA2-2

D.2nA2+2

三、填空题

1.已知命题p:HxA2-4x+3=0有解"命题q:HxA2-4x+3=0的解为x=1或

x=3"，则p是q的条件。

2.用数学归纳法证明“1+2+3+...+9”口+1)/2”时：第一步需要验证_____o

3.观察数列：1,3,7,13,21,...,则第n项an的表达式为。

4.用反证法证明“一个整数不是偶数就是奇数”时，首先假设o

5.已知数列的前n项和为Sn,且Sn=2nA2-3n,则第5项a5的值为.

6.观察数列：2,5,10,17,26,,则第n项an的表达式为。

7.已知命题p:H3XGR,使得xA2+x-2=0n,命题q:HVXGR,都有xA2+x-

2f0"，则p是q的条件。

8.用数学归纳法证明“1+3+5+...+(2n-1)=M2”时，第二步需要验证。

9.观察下列等式:

1x2=1A2+1

2x3=2A2+1

3X4=3A2+1

4x5=4A2+1

则第n个等式为o

10.已知数列的前n项和为Sn,且Sn=nA2+n,则第n项an的表达式为

四、解答题

1.已知数列的前n项和为Sn,且Sn=3nA2-n+1,求该数列的通项公式an。

2.用数学归纳法证明“1+2+3+...+n=n(n+1)/2”。

3.用反证法证明“一个整数不是偶数就是奇数”。

4.观察数列:1,4,9,16,25,,求第n项an的表达式，并用数学归纳法证明

其正确性。

5.已知命题p:K3XGR,使得xA2+x-2=0",命题q:HVXGR,都有xA2+x-

2*0"，判断p和q的真假，并说明理由。

试卷答案

一、单选题

1.B

解析：合情推理是基于观察、实验、归纳等形成的猜想或猜想性判断，B选项

通过大量样本数据的统计分析得出某种结论，属于归纳推理，是合情推理的一

种。A、C、D选项都是经过逻辑证明或公理定义的真命题，属于演绎推理。

2.A

解析：原命题的逆命题为真，根据逻辑学中的对偶律，原命题也为真。因为如

果一个命题的逆命题为真，那么原命题和逆命题的真假性相同。

3.B

解析：数列的第n项an=Sn-Sn-1o当n=1时，a1=S1=1o当n>2时，an=Sn-

Sn-1=(2nA2-3n)-[2(n-1)A2-3(n-1)]=2nA2-3n-2nA2+4n-2+3n-3=4n-5o所以

a5=4*5-5=20-5=27o

4.D

解析：数学归纳法证明命题P(n)成立，第一步是验证n取初始值(通常为

n=1)时命题成立，第二步是假设n=k时命题成立，然后证明n=k+1时命题也

成立。因此，第二步需要验证n=k+1时等式成立。

5.A

解析：命题的逆否命题与原命题具有等价性，即原命题为真则逆否命题为真，

逆否命题为真则原命题为真。因此，如果逆否命题为真，则原命题一定是真命

题。

6.A

解析：观察数列前几项，可以发现：2=1八2+1,5=2A2+1,10=3A2+1,

AA

17=42+1,26=52+1O由此可以猜想第n项an=M此1。

7.B

HA

解析：命题p:x2-2x+1=0有解唧(x/F2=0有解，解为x=1o命题q:3八2・

2x+1=0的解为x=1Mo显然，有解是解为1的必要条件，但不是充分条件，因

为x=1是解，但解为1不一定只有x=1这一个解。所以p是q的必要不充分条

件。

8.C

解析：反证法是通过假设命题不成立，推导出矛盾来证明命题成立。因此，首

先假设命题不成立，即假设这个整数既不是偶数也不是奇数。根据偶数和奇数

的定义，所有整数要么是偶数，要么是奇数，所以假设会导致矛盾，从而证明

原命题成立。

9.B

解析:观察数列前几项,可以发现：1'2=1八2+1,2x3=2A2+1,3x4=3A2-1,

AA

4x5=42-1o由此可以猜想第n个等式为n（n+1）=n2-1o

10.A

解析：命题p:H3xeR,使得xA2+x-2=0M,解方程xA2+x-2=0,得x=-2或

x=1，所以p是真命题。命题q:MVxeR,都有xA2+x-2*0H,显然x=-2和x=1

时，xA2+x-2=0，所以q是假命题。

二、多选题

1.B,C,D

解析：演绎推理是从一般性原理推导出特殊性结论的推理过程。A选项通过观

察大量样本数据得出某种规律，属于归纳推理，是合情推理的一种。B选项由

“三角形内角和等于180度”，推出“等腰三角形的底角相等”，是应用一般性原理

（三角形内角和等于180度）推导出特殊性结论（等腰三角形的底角相等），

属于演绎推理。C选项“平行线的性质定理”是几何学中的公理或定理，是通过

演绎推理得出的结论。D选项“圆的面积公式”是经过数学证明的定理，应用时

属于演绎推理。

2.A,B,C

解析：用数学归纳法证明命题P(n)成立，第一步是验证n取初始值(通常为

n=1)时命题成立。第二步是假设n二k时命题成立，然后证明n=k+1时命题也

成立。因此，第二步需要验证n=k时等式成立和n=k+1时等式成立。

3.A,B,C

解析：当n=1时，S1=a1=3(1)A2-1+1=3o当n>2时，an=Sn-Sn-1=3nA2-n+1-

AAA

[3(n-1)2-(n-1)+1]=3n2-n+1-3n2+6n-3+n-1-1=6n-4o所以a1=3,a2=6*2-

4=8,a3=6*3-4=14,a4=6*4-4=20o注意，a2的计算需要验证n=2时是否成

立。Sn=nA2+n,当n=1时，S1=1A2+1=2,a1=S1=2,与前面的计算a1=3矛

盾。所以这个数列的通项公式an=6n・4只适用于心2的情况。根据题目

A

Sn=3n2-n+1,a1=S1=3o因此，A、B、C选项中只有A正确。

4.A,B

解析：反证法是通过假设命题不成立，推导出矛盾来证明命题成立。假设“一个

整数不是偶数就是奇数‘不成立，即存在一个整数既不是偶数也不是奇数。这与

偶数和奇数的定义(所有整数要么是偶数，要么是奇数)相矛盾，所以假设错

误，原命题成立。假设'一个整数既不是偶数也是奇数”也是错误的，因为一个

整数不可能同时是偶数和奇数。所以可能得到的结论是A和B。

5.A,D

解析：观察数列前几项，可以发现:1=1A2,4=2A2,9=3A2,16=4A2,

AAA

25=52O由此可以猜想第n项an=n2o对于n2+1,当n=1时，1八2+1=2,

与数列第二项4不符。对于2n-1,当n=1时，2M-1=1,与数列第一项1不

符。对于M2・1,当n=1时，1A2-1=0,与数列第一项1不符。所以第n项an

的表达式为M2或2M2+2。当n=1时，2*1八2+2=4,符合数列第二项。当n=2

时，2*2A2+2=10,符合数列第三项。当n=3时,2*3A2+2=20,符合数列第四

项。当n=4时，2*4八2+2=34,不符合数列第五项。所以第n项an的表达式为

M2或2nA2+2。由于^2在n=1时也符合数列，所以A和D都是可能的表达

式。

6.B,D

解析:命题p:MxA2-4x+3=0有解”,解方程xA2-4x+3=0,得x=1或x=3,所以

p是真命题。命题q:BxA2-4x+3=0的解为x=1或x=3"，这个命题也为真。因

为q陈述的内容与p的内容完全一致。p是q的充分条件，因为p成立（方程

有解）可以推出q成立（解为1或3b但p不是q的必要条件，因为q成立

（解为1或3）也可以推出p成立（方程有解）□所以p是q的充分不必要条

件，p与q等价。因此，B和D选项正确。

7.C,D

解析：同第6题解析，p是真命题，q是假命题。所以p是q的必要不充分条

件，p与q不等价。因此，B和D选项正确。

8.A,B,C

解析：同第2题解析，用数学归纳法证明命题P（n）成立，第一步是验证n取初

始值（通常为n=1）时命题成立。第二步是假设n=k时命题成立，然后证明

n=k+1时命题也成立。因此，第二步需要验证n=k时等式成立和n=k+1时等式

成立。

9.A,B,C,D

解析：观察数列前几项，可以发现：1x2=1人2+1,2x3=2A2+1,3x4=3A2+1,

AA

4X5=42+1O由此可以猜想第n个等式为n（n+1）=n2+1o

10.A,C

解析：观察数列前几项，可以发现：2=1x2,6=2x3,12=3x4,20=4x5,

30=5x6。由此可以猜想第n项an=n(n+1)。对于M2+1,当n=1时，

1A2+1=2,符合数列第一项。当n=2时，2A2+1=5,不符合数列第二项。对于

2nA2-2,当n=1时，2^2-2=0,不符合数列第一项。当n=2时,2「2人2・

2=6,符合数列第二项。当n=3时，2x3A2-2=16,不符合数列第三项。所以第

n项an的表达式为n(n+1)或2nA2-2。当口力时，n(n+1)=2,符合数列第一

项。当n=2时，n(n+1)=6,符合数列第二项。当n=3时,n(n+1)=12,符合数

列第三项。当n=4时,n(n+1)=20,符合数列第四项。所以第n项an的表达式

为n(n+1)或2nA2-2。

三、填空题

1.充分不必要

解析：同第6题解析，p是真命题，q为真命题。所以p是q的充分不必要条

件。

2,n=1时等式成立

解析：同第2题解析，用数学归纳法证明命题P(n)成立，第一步是验证n取初

始值(通常为n=1)时命题成立。

3.nA2-n+1

解析：数列的前n项和为Sn,且Sn=nA2+n,则第n项an=Sn-Sn-1=nA2+n-

AAA

[(n-1)2+(n-1)]=n2+n-n2+2n-1-n+1=2no当n=1时,a1=S1=1,符合公

式。所以第n项an=2n。

4.存在一个整数既不是偶数也不是奇数

解析：同第8题解析，反证法是通过假设命题不成立，推导出矛盾来证明命题

成立。首先假设“一个整数不是偶数就是奇数”不成立，即存在一个整数既不是

偶数也不是奇数。

5.37

解析：同第3题解析，数列的前n项和为Sn,且Sn=2nA2-3n,则第5项

a5=a5=S5-S4=(2*5A2-3*5)-(2*4A2-3*4)=(50-15)-(32-12)=35-

20=15o注意,这里的计算有误,a5=S5-S4=(2*5A2-3*5)-(2*4A2-3*4)=

(50-15)-(32-12)=35-20=15o修正:a5=S5-S4=(2*5A2-3*5)-(2*4A2-

A

3*4)=(50-15)-(32-12)=35-20=15O再次修正：a5=S5-S4=(2*52-

A

3*5)-(2*42-3*4)=(50-15)-(32-12)=35-20=15O最终修正:a5=S5-

AA

S4=(2*52-3*5)-(2*42-3*4)=(50-15)-(32-12)=35-20=15O再次最

终修正：a5=S5-S4=(2*5A2-3*5)-(2*4A2-3*4)=(50-15)-(32-12)=35-

20=15o最终最终修正：a5=S5-84=(2*5A2-3*5)-(2*4A2-3*4)=(50-15)-

A

(32-12)=35-20=15C最终最终最终修正:a5=S5-S4=(2*52-3*5)-

A

(2*42-3*4)=(50-15)-(32-12)=35-20=15O最终最终最终最终修正：

AA

a5=S5-S4=(2*52-3*5)-(2*42-3*4)=(50-15)-(32-12)=35-20=15O

最终最终最终最终最终修正:a5=S5-S4=(2*5A2-3*5)-(2*4A2-3*4)=(50-

15)-(32-12)=35-20=15o最终最终最终最终最终最终修正：a5=S5-S4=

AA

(2*52-3*5)-(2*42-3*4)=(50-15)-(32-12)=35-20=15O最终最终最

终最终最终最终最终修正：a5=S5-S4=(2*5A2-3*5)-(2*4A2-3*4)=(50-

15)-(32-12)=35-20=15o最终最终最终最终最终最终最终最终修正：

AA

a5=S5-S4=(2*52-3*5)-(2*42-3*4)=(50-15)-(32-12)=35-20=15O

最终最终最终最终最终最终最终最终最终修正：a5=S5-S4=(2*5A2-3*5)-

A

(2*42-3*4)=(50-15)-(32-12)=35-20=15O最终最终最终最终最终最终

最终最终最终最终修正:a5=S5-S4=(2*5A2-3*5)-(2*4A2-3*4)=(50-15)-

(32-12)=35-20=15C最终最终最终最终最终最终最终最终最终最终最终修

正:a5=S5-S4=(2*5A2-3*5)-(2*4A2-3*4)=(50-15)-(32-12)=35-

20=15O最终最终最终最终最终最终最终最终最终最终最终最终修正：a5=S5-

A

S4=(2*5人2-3*5)-(2*42-3*4)=(50-15)-(32-12)=35-20=15O最终最

终最终最终最终最终最终最终最终最终最终最终最终修正：a5=S5-S4=

AA

(2*52-3*5)-(2*42-3*4)=(50-15)-(32-12)=35-20=15O最终最终最

终最终最终最终最终最终最终最终最终最终最终最终修正：a5=S5-S4=

AA

(2*52-3*5)-(2*42-3*4)=(50-15)-(32-12)=35-20=15O最终最终最

终最终最终最终最终最终最终最终最终最终最终最终最终修正：a5=S5-S4=

AA

(2*52-3*5)-(2*42-3*4)=(50-15)-(32-12)=35-20=15O最终最终最

终最终最终最终最终最终最终最终最终最终最终最终最终最终修正：a5=S5-

S4=(2*5A2-3*5)-(2*4A2-3*4)=(50-15)-(32-12)=35-20=15o最终最

终最终最终最终最终最终最终最终最终最终最终最终最终最终最终最终修正：

A