22.3.4 相似三角形的应用 教学课件 2026-2027学年华师大版九年级数学上册

相似三角形的应用1图形的相似①会应用相似三角形的有关性质，测量简单的

物体的高度或宽度.②自己设计方案测量高度，体会相似三角形在

解决实际问题中的广泛应用.古时候，没有精确的测量仪器，怎么才能测量这些物体的高度？古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′

与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB．如果O′B′=1m，A′B′=2m，AB=274m，求金字塔的高度OB.例6金字塔的影长是哪一部分△OAB与△O′A′B′

之间有什么关系

解∵

太阳光线是平行光线，∴∠OAB

=∠O′A′B′．∵∠ABO

=∠A′B′O′

=90°．∴△OAB∽△O′A′B′

(两角分别相等的两个三角形相似)，

答：金字塔的高度OB

为137m.利用影长测量物体的高度测量原理测量方法图示测量不能直接到达顶部的物体的高度时，常利用太阳光线构造相似三角形(如同一时刻，物高与影长成比例)来解决如图，在同一时刻测量出参照物影长BC和被测量物体影长B′C′，再根据参照物的高度AC计算出被测量物体的高度A′C′△ABC∽△A′B′C′

如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高.下午课外活动时，她测得长为1

m的竹杆的影长是0.8m.但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上.她先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下树高.ABDCEABDCE解:如图，设BD是BC在地面的影子，树高为AE.∵长为1

m的竹杆的影长是0.8m，BC＝1.2

m，∴根据竹竿的高与其影子的比值和BC与其影子BD的比值相同，

∴BD＝0.96m，∴

AD

＝BD

+AB＝0.96+2.6＝3.56(m).根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，

∴AE＝4.45(m).因此，树高是4.45

m.例7如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B

和C

，使AB⊥BC

，然后，再选定点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE

的交点D.此时如果测得BD=118m，DC=61m，EC=50m，求河的宽度AB.（精确到0.1m）解∵∠ADB=∠EDC，∠ABD=∠ECD=90°，∴△ABD

∽△ECD

(两角分别相等的两个三角形相似)，

答：河的宽度AB

约为96.7m.求河宽，你还有别的方法吗？ADBCE①在河对岸选定一目标点A；②再在河的一边选点D和E，

使DE⊥AD；③然后，再选点B，作BC∥DE，与视线EA相交于点C；此时，测得DE，BC，BD，就可以求两岸间的大致距离AB了.利用三角形相似测量宽测量原理构造相似三角形模型测量数据相关算式求AB的长，可测量BD、CD

和CE的长构造相似三角形，利用“相似三角形的对应边成比例”的性质求解“X”字型“A”字型求AB的长，可测量BC、CD和BD的长由△ABD∽△ECD，

由△ABC∽△ADE，

周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB

与河岸垂直，并在点B竖立标杆BC，再在AB

的延长线上选择点D，竖立标杆DE，使得点E与点C、A在一条直线上.已知CB

⊥AD，ED

⊥AD，若BC＝1m，DE＝1.5

m，BD＝8.5m，测量示意图如图所示，请根据相关测量信息，求河宽AB.解:∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠CBA

＝∠D＝90°，∴BC∥DE.∴△ABC∽△ADE.

∴AB＝17

m.答:河宽AB为17m.1.在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比.在某一时刻，有人测得一高为1.8m的竹竿的影长为3m，

某一高楼的影长为60m，那么这幢高楼的高度是多少米？【选自教材第87页练习第1题】解:设这幢高楼的高度是xm.

故这幢高楼的高度是36

m.2.如图，在△ABC

中，DE∥BC，BC=6，梯形DBCE

的面积是△ADE

面积的3倍.求DE的长.【选自教材第87页练习第2题】解:∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.ABCDE

【选自教材第87页练习第3题】3.如图，停车场的栏杆的短臂长为1.25m，长臂长为16.5m.

当短臂端点下降0.85m时，长臂端点升高多少米？(栏杆的

宽度忽略不计)解:设长臂端点升高xm.

故长臂端点升高11.22m.∴x＝11.22.0.85m1.25m16.5m？m解相似三角形实际问题的一般步骤：（1）审题.

（2）构建图形.（3）利用相似解决问题.相似三角形的应用2图形的相似①会应用相似三角形的有关性质，证明几条

线段之间的乘积关系.②了解三角形中心的相关知识.如图，在△ABC

中，∠ACB=90°，CD

为边AB

上的高.求证：CD2=AD·BD.例8ACBD证明∵

∠ACD=90°－∠CAD=∠B，∠CDA=∠BDC=90°，∴△ACD

∽

△CBD.

即CD2=AD·BD.你还能找出其他类似的结论吗？

CA2=AD·AB.△ACD

∽

△ABC

CB2=BD·BA.△CBD

∽

△ABC例9如图，在△ABC中，D、E

分别是边BC、AB

的

中点，AD、CE

相交于点G.ABCDEG证明如图，连结ED.∵

D、E

分别是边BC、AB

的中点，

∴△DEG

∽

△ACG.

ABCDEGABCDFG′如果在如图所示的△ABC

中取边AC

的中点F，假设BF

与AD

相交于点G′.

三角形的重心概念证明三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心.重心与一边中点的连线的长是对应中线长的

证明:连结DE.∵D、E分别为BC、AC的中点，

∴△DEG∽△ABG，

如图，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，

ABCDEFG如图，点D在△ABC的边BC上，点E、F分别为△ABD和△ACD的重心，BC＝12，则EF的长为_______.解析:∵点E是△ABD的重心，

∵点F是△ACD的重心，

又∵∠EHF＝∠BHC，∴△HEF∽△HBC.

41.如图，在△ABC

中，已知AB=AC，∠A=36°，BD

是∠ABC

的平分线.求证:BC2=AC·DC.【选自教材第89页练习第1题】证明:∵AB＝AC，∠A＝36°，

ABCD∴∠A＝∠CBD.又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.

2.如图，已知正方形DEFG内接于Rt△ABC，EF

在斜边BC

上，试证明：【选自教材第89页练习第2题】

证明:（1）∵四边形DEFG为正方形，ABCDEFG∴∠DEF＝90°.∴∠DEB＝90°.又∵△ABC为直角三角形，∴∠A＝90°.∴∠DEB＝∠A.∵∠B＝∠B.∴△DEB

∽△CAB.

ABCDEFG（2）EF2=BE·FC.