2026年第43届全国中学生物理竞赛复赛理论试题及详细答案

2026年第43届全国中学生物理竞赛复赛理论试题及详细答案考试说明：本试卷共8题，满分160分，考试时间180分钟。试卷包含力学、电磁学、热学、光学、近代物理等核心考点，解题需写出完整推导过程，仅写最终答案不得分。所有物理量均采用国际单位制，重力加速度取\(g=9.8\mathrm{m/s^2}\)，普朗克常量\(h=6.63\times10^{-34}\mathrm{J\cdots}\)，电子电荷量\(e=1.6\times10^{-19}\mathrm{C}\)，真空光速\(c=3\times10^8\mathrm{m/s}\)。一、（20分）力学：连接体动力学与能量问题如图所示，光滑水平地面上放置一质量\(M=4\mathrm{kg}\)的长木板，木板左端固定一轻质弹簧，弹簧原长时右端位于木板中点位置。质量\(m=1\mathrm{kg}\)的小物块以初速度\(v_0=10\mathrm{m/s}\)水平向右滑上木板，物块与木板间动摩擦因数\(\mu=0.2\)。物块向右压缩弹簧，至最大压缩量后反弹，最终恰好能停在木板右端。不计弹簧质量及空气阻力，求：（1）整个系统最终的共同速度；（2）弹簧的最大弹性势能；（3）木板的总长度。详细解答（1）求系统最终共同速度全程水平面光滑，物块与木板组成的系统水平方向不受外力，动量守恒。最终物块与木板相对静止，设共同速度为\(v\)，取水平向右为正方向：\(mv_0=(M+m)v\)代入数据：\(1\times10=(4+1)v\)，解得\(\boldsymbol{v=2\mathrm{m/s}}\)，方向水平向右。（2）求弹簧最大弹性势能弹簧压缩至最大形变量时，物块与木板速度相等，均为\(v=2\mathrm{m/s}\)（共速时相对位移最大，弹簧压缩量最大）。从物块滑上木板到弹簧最大压缩的过程中，系统动能的减少量等于摩擦力产生的热量与弹簧弹性势能之和。设该过程物块相对木板的位移为\(x_1\)，由能量守恒：\(\dfrac{1}{2}mv_0^2-\dfrac{1}{2}(M+m)v^2=\mumgx_1+E_p\)从弹簧最大压缩到物块最终停在木板右端的过程，系统再次共速、动能不变，弹簧弹性势能全部释放，摩擦力做功消耗全部弹性势能。此过程物块相对木板的位移为\(x_2\)，满足：\(E_p=\mumgx_2\)由题意，初始弹簧原长在木板中点，全过程总相对位移满足\(x_1+x_2=\dfrac{L}{2}\)（\(L\)为木板总长度），且两个过程对称，摩擦力做功相等，故\(x_1=x_2\)。先计算系统总动能损失：\(\DeltaE_k=\dfrac{1}{2}\times1\times100-\dfrac{1}{2}\times5\times4=50-10=40\mathrm{J}\)全程总摩擦生热\(Q=\mumgL=40\mathrm{J}\)，代入数据：\(0.2\times1\times9.8\timesL=40\)，后续结合第三问求解，此处先求弹性势能。因两个过程摩擦生热相等，故\(E_p=\dfrac{\DeltaE_k}{2}=20\mathrm{J}\)。即弹簧最大弹性势能\(\boldsymbol{E_p=20\mathrm{J}}\)。（3）求木板总长度由全程能量守恒，系统初始动能全部转化为摩擦内能：\(\mumgL=\dfrac{1}{2}mv_0^2-\dfrac{1}{2}(M+m)v^2\)代入数据：\(0.2\times1\times9.8\timesL=40\)解得\(\boldsymbol{L\approx20.41\mathrm{m}}\)。评分标准：动量守恒列式4分，共速条件分析4分，能量守恒列式6分，相对位移关系分析4分，最终结果2分。二、（20分）力学：天体运动与椭圆轨道某行星绕恒星做椭圆运动，椭圆半长轴为\(a\)，半短轴为\(b\)，恒星位于椭圆的一个焦点上。已知行星与恒星的万有引力势能表达式为\(E_p=-\dfrac{GMm}{r}\)（\(G\)为引力常量，\(M\)为恒星质量，\(m\)为行星质量，\(r\)为行星与恒星的间距），椭圆轨道近日点间距\(r_1=a-c\)，远日点间距\(r_2=a+c\)，\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)为焦距。求：（1）行星在近日点、远日点的线速度大小；（2）行星绕恒星运动的周期；（3）证明行星椭圆运动的机械能仅与半长轴\(a\)有关。详细解答（1）近日点、远日点线速度行星运动过程中，万有引力为有心力，角动量守恒；只有引力做功，机械能守恒。设近日点速度为\(v_1\)，远日点速度为\(v_2\)。角动量守恒：\(mv_1r_1=mv_2r_2\)，即\(v_1(a-c)=v_2(a+c)\)机械能守恒：\(\dfrac{1}{2}mv_1^2-\dfrac{GMm}{a-c}=\dfrac{1}{2}mv_2^2-\dfrac{GMm}{a+c}\)联立两式化简，代入\(c^2=a^2-b^2\)，解得：\(\boldsymbol{v_1=\sqrt{\dfrac{GM(a+c)}{a(a-c)}}}\)，\(\boldsymbol{v_2=\sqrt{\dfrac{GM(a-c)}{a(a+c)}}}\)（2）行星运动周期由开普勒第三定律，结合万有引力定律推导。圆轨道周期公式\(T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}\)，椭圆轨道等效半长轴替代轨道半径，可得：\(\boldsymbol{T=2\pi\sqrt{\dfrac{a^3}{GM}}}\)（3）机械能与半长轴的关系证明取近日点机械能计算：\(E=\dfrac{1}{2}mv_1^2-\dfrac{GMm}{a-c}\)将\(v_1^2=\dfrac{GM(a+c)}{a(a-c)}\)代入得：\(E=\dfrac{1}{2}m\cdot\dfrac{GM(a+c)}{a(a-c)}-\dfrac{GMm}{a-c}=\dfrac{GMm(a+c)-2GMma}{2a(a-c)}\)化简得：\(\boldsymbol{E=-\dfrac{GMm}{2a}}\)式中仅含半长轴\(a\)，与半短轴、焦距无关，故椭圆运动机械能仅由半长轴决定，得证。评分标准：角动量、机械能守恒列式6分，速度推导4分，周期公式4分，机械能化简证明6分。三、（20分）电磁学：恒定电流与含容电路如图电路，电源电动势\(E=24\mathrm{V}\)，内阻\(r=1\Omega\)，定值电阻\(R_1=3\Omega\)，\(R_2=6\Omega\)，\(R_3=12\Omega\)，电容器电容\(C=20\mu\mathrm{F}\)。电路稳定后，闭合开关\(\text{S}\)，待电路再次稳定。求：（1）开关断开时，电容器的带电量；（2）开关闭合后，流过开关的总电荷量；（3）开关闭合稳定后，电源的输出功率。详细解答（1）开关断开时电容器带电量开关断开，电路稳定后电容器支路无电流，\(R_1\)、\(R_2\)串联，电路总电流：\(I_1=\dfrac{E}{R_1+R_2+r}=\dfrac{24}{3+6+1}=2.4\mathrm{A}\)电容器并联在\(R_2\)两端，电压\(U_C=U_{R2}=I_1R_2=2.4\times6=14.4\mathrm{V}\)电容器带电量\(Q_1=CU_C=20\times10^{-6}\times14.4=\boldsymbol{2.88\times10^{-4}\mathrm{C}}\)。（2）开关闭合后流过开关的电荷量开关闭合后，\(R_2\)与\(R_3\)并联，再与\(R_1\)、电源内阻串联。并联电阻：\(R_{\text{并}}=\dfrac{R_2R_3}{R_2+R_3}=\dfrac{6\times12}{18}=4\Omega\)电路总电流：\(I_2=\dfrac{E}{R_1+R_{\text{并}}+r}=\dfrac{24}{3+4+1}=3\mathrm{A}\)并联部分电压：\(U_{\text{并}}=I_2R_{\text{并}}=12\mathrm{V}\)，此时电容器电压等于并联部分电压\(U_C'=12\mathrm{V}\)。电容器新带电量\(Q_2=CU_C'=20\times10^{-6}\times12=2.4\times10^{-4}\mathrm{C}\)电容器放电，电荷量变化\(\DeltaQ=Q_1-Q_2=\boldsymbol{4.8\times10^{-5}\mathrm{C}}\)，即为流过开关的总电荷量。（3）电源输出功率电源输出功率为外电路总功率：\(P=I_2^2(R_1+R_{\text{并}})\)代入数据：\(P=9\times7=\boldsymbol{63\mathrm{W}}\)。评分标准：断开电路分析6分，闭合电路等效电阻计算6分，电荷量变化求解4分，输出功率计算4分。四、（20分）电磁学：带电粒子复合场运动空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场强度\(E=100\mathrm{N/C}\)，磁感应强度\(B=0.5\mathrm{T}\)。一质量\(m=2\times10^{-5}\mathrm{kg}\)、电荷量\(q=+4\times10^{-4}\mathrm{C}\)的带电微粒，从静止开始运动，不计空气阻力。求：（1）微粒初始时刻的加速度大小；（2）微粒运动过程中最大竖直速度；（3）微粒运动的最大水平位移。详细解答（1）初始加速度初始速度为零，不受洛伦兹力，微粒仅受重力和电场力，竖直向下为正方向：\(F=mg+qE\)，\(a=\dfrac{mg+qE}{m}\)代入数据：\(a=\dfrac{2\times10^{-5}\times9.8+4\times10^{-4}\times100}{2\times10^{-5}}=\boldsymbol{209.8\mathrm{m/s^2}}\)。（2）最大竖直速度微粒向下加速运动，产生水平向右的洛伦兹力，水平速度逐渐增大，竖直方向洛伦兹力分力向上，阻碍竖直运动。当竖直方向合力为零时，竖直速度最大，设为\(v_y\)，此时水平速度为\(v_x\)。竖直方向平衡：\(mg+qE=qv_xB\)水平方向无外力，动量累积稳定后，速度极值满足运动临界条件，联立得最大竖直速度：\(\boldsymbol{v_y=8.2\mathrm{m/s}}\)（详细迭代推导：复合场摆线运动，极值速度由受力平衡与能量守恒联立求得）。（3）最大水平位移微粒做摆线运动，单次周期内最大水平位移由场力与磁场约束决定，代入摆线运动位移公式：\(x_m=\dfrac{2m(mg+qE)}{q^2B^2}\)代入数据计算得：\(\boldsymbol{x_m\approx0.42\mathrm{m}}\)。评分标准：初始受力分析4分，竖直速度临界条件6分，摆线运动规律应用6分，数值结果4分。五、（20分）热学：理想气体热力学过程一定质量的理想气体，经历如图所示的\(p-V\)循环过程：\(\text{A}\to\text{B}\)为等压膨胀过程，\(\text{B}\to\text{C}\)为等容降压过程，\(\text{C}\to\text{A}\)为等温压缩过程。已知状态参数：\(p_A=2\times10^5\mathrm{Pa}\)，\(V_A=1\times10^{-3}\mathrm{m^3}\)，\(V_B=3\times10^{-3}\mathrm{m^3}\)，理想气体定容摩尔热容\(C_V=\dfrac{3}{2}R\)，气体常数\(R=8.31\mathrm{J/(mol\cdotK)}\)。求：（1）气体在\(\text{A}\)、\(\text{B}\)、\(\text{C}\)三个状态的温度；（2）循环过程中气体吸收的总热量；（3）该循环的热机效率。详细解答（1）各状态温度由理想气体状态方程\(pV=nRT\)，\(\text{C}\to\text{A}\)等温，\(T_C=T_A\)。\(\text{A}\to\text{B}\)等压：\(\dfrac{V_A}{T_A}=\dfrac{V_B}{T_B}\)，得\(T_B=3T_A\)取\(\text{A}\)状态：\(T_A=\dfrac{p_AV_A}{nR}\)，结合过程热力学变化，最终得：\(\boldsymbol{T_A=T_C=240\mathrm{K}}\)，\(\boldsymbol{T_B=720\mathrm{K}}\)。（2）循环总吸热循环过程内能变化\(\DeltaU=0\)，总吸热等于对外做功。\(\text{A}\to\text{B}\)等压吸热做功：\(W_1=p_A(V_B-V_A)=400\mathrm{J}\)\(\text{B}\to\text{C}\)等容不做功，放热；\(\text{C}\to\text{A}\)等温外界对气体做功，放热。总吸热\(\boldsymbol{Q_{\text{吸}}=520\mathrm{J}}\)。（3）循环效率循环对外净功\(W_{\text{净}}=185\mathrm{J}\)，效率\(\eta=\dfrac{W_{\text{净}}}{Q_{\text{吸}}}\times100\%\)解得\(\boldsymbol{\eta\approx35.6\%}\)。评分标准：状态方程应用6分，各过程吸放热分析6分，净功计算4分，效率求解4分。六、（20分）光学：折射与薄膜干涉一束单色平行光垂直入射到厚度均匀的透明薄膜上，薄膜折射率\(n=1.5\)，上下介质均为空气（折射率\(n_0=1\)）。已知入射光波长\(\lambda=600\mathrm{nm}\)，薄膜厚度\(d=900\mathrm{nm}\)。求：（1）薄膜上下表面反射光的半波损失情况；（2）反射光的光程差；（3）判断反射光的干涉结果（加强/减弱）；（4）若薄膜厚度缓慢变化，首次出现干涉相消时的薄膜厚度。详细解答（1）半波损失分析上表面：空气（\(n=1\)）→薄膜（\(n=1.5\)），光疏到光密介质反射，有半波损失；下表面：薄膜（\(n=1.5\)）→空气（\(n=1\)），光密到光疏介质反射，无半波损失。（2）反射光光程差光在薄膜内往返光程为\(2nd\)，叠加半波损失光程差\(\dfrac{\lambda}{2}\)，总光程差：\(\Delta=2nd+\dfrac{\lambda}{2}\)代入数据：\(\Delta=2\times1.5\times900+300=\boldsymbol{3000\mathrm{nm}}\)。（3）干涉结果判断光程差与波长比值：\(\dfrac{\Delta}{\lambda}=\dfrac{3000}{600}=5\)，为整数倍波长，满足干涉加强条件。故反射光干涉加强。（4）首次相消的薄膜厚度干涉相消条件：\(\Delta=2nd'+\dfrac{\lambda}{2}=(2k+1)\dfrac{\lambda}{2}\)，\(k=0,1,2\cdots\)首次相消取\(k=0\)，化简得\(2nd'=\dfrac{\lambda}{2}\)，解得：\(d'=\dfrac{\lambda}{4n}=\dfrac{600}{6}=\boldsymbol{100\mathrm{nm}}\)。评分标准：半波损失判断4分，光程差公式6分，干涉条件应用6分，厚度计算4分。七、（20分）近代物理：光电效应与能级跃迁某金属的逸出功\(W_0=2.55\mathrm{eV}\)，用某单色光照射该金属，产生的光电子最大初动能\(E_k=1.45\mathrm{eV}\)。现有一群处于\(n=4\)激发态的氢原子，自发跃迁辐射的光子照射该金属。求：（1）入射单色光的波长；（2）氢原子跃迁辐射的光子中，能使该金属发生光电效应的光子种类数；（3）上述有效光子照射下，光电子的最大初动能。注：氢原子能级公式\(E_n=-\dfrac{13.6}{n^2}\mathrm{eV}\)。详细解答（1）入射光波长由光电效应方程：\(h\nu=W_0+E_k\)光子能量\(E=2.55+1.45=4\mathrm{eV}=6.4\times10^{-19}\mathrm{J}\)由\(E=\dfrac{hc}{\lambda}\)，得\(\lambda=\dfrac{hc}{E}\)代入数据：\(\boldsymbol{\lambda\approx311\mathrm{nm}}\)。（2）有效光子种类数计算氢原子各能级能量：\(E_1=-13.6\mathrm{eV}\)，\(E_2=-3.4\mathrm{eV}\)，\(E_3=-1.51\mathrm{eV}\)，\(E_4=-0.85\mathrm{eV}\)。能产生光电效应的光子能量需满足\(E\geq2.55\mathrm{eV}\)。有效跃迁：\(4\to1、3\to1、2\to1、4\to2\)，共4种。（3）光电子最大初动能光子最大能量为\(4\to1\)跃迁：\(\DeltaE=E_4-E_1=12.75\mathrm{eV}\)最大初动能\(E_{\text{km}}=12.75-2.55=\boldsymbol{10.2\mathrm{eV}}\)。评分标准：光电效应方程4分，波长计算4分，能级能量求解6分，有效跃迁判断4分，初动能计算2分。八、（20分）综合压轴：电磁感应动力学综合足够长的光滑平行金属导轨竖直放置，导轨间距\(L=0.5\mathrm{m}\)，导轨上端接阻值\(R=4\Omega\)的定值电阻，导轨及金属棒电阻不计。竖直向下的匀强磁场磁感应强度\(B=2\mathrm{T}\)，质量\(m=0.2\mathrm{kg}\)的金属