内蒙古自治区呼和浩特市2026-2027学年九年级上学期第一次质量监测 数学（含解析）

呼和浩特市2027届初三年级第一次质量监测数学注意事项：1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置．2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，把答题卡交回．3．本试卷满分100分，考试时间90分钟．一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.6的相反数为A.-6 B.6 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据相反数的定义进行求解.【详解】6的相反数为：﹣6．故选A.本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答的关键，绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数.2.如图，点，分别是线段，上的点，若，以下判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据同旁内角互补，两直线平行可得结果．【详解】解：和是和被所截形成的同旁内角，，．3.下列生活实例能解释的意义的是（）A.规定水位上升为正，水位先上升3厘米，之后下降2厘米，最后水位为1厘米B.规定向东为正，小明先向东走3米，再向西走2米，小明现在的位置为向东1米C.规定收入为正，支出3元，收入2元，最后收入1元D.规定温度零上为正，温度由零下，上升，结果温度为零下【答案】D【解析】【分析】将各选项中的实际量按正负数规定转化为加法算式，与对比判断．【详解】解：规定正方向后，选项A，B均为第一个变化是正方向3个单位，第二个变化是负方向2个单位，对应算式为，与题干不符．选项C，支出3元记为，收入2元记为，对应算式为，结果应为支出1元，选项描述为收入1元，与题干不符．选项D，零下记为，上升记为，对应算式为，结果为零下，与题干相符．4.如图，数轴上有，，，四个点，则（）A.点表示的数可能是 B.点表示的数可能是C.点表示的数可能是 D.点表示的数可能是【答案】C【解析】【分析】观察数轴确定各点的大致取值范围，结合无理数估算进行判断即可．【详解】解：由数轴可知，点表示，点在与之间，点在与之间且靠近，点在与之间，，点不可能是，故A错误；，，点不可能是，故B错误，，且靠近，点可能是，故C正确，靠近，与点位置不符，故D错误．5.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】解：∵，∴A错误．∵与不是同类项，不能合并，∴，B错误．∵中为一次项，无法得到，∴，C错误．∵，∴D正确．6.如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线．此仪器的原理是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握其性质是解题的关键．根据“”判定即可得出答案．【详解】解：在和中，，∴，∴，即是的平分线．故选：A．7.已知点，为某图形边上的两个顶点，动点从点出发，沿此图形的边顺时针匀速运动到点，到达点后停止．设点运动的时间为，的面积为（当点与点或重合时，记作），若与的函数关系如图所示，则该图形可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由图象可得点在运动的过程中，的面积为会发生三次变化，且变化规律是：第一次变化是从0逐步增大，第二次变化是保持不变即意味着此时点所在的边与原图形的底边一定平行，第三次变化是逐步减小，减小到0，说明点P在运动过程中，要经历两个拐点，且三次运动时间相同．分析解答即可．【详解】解：选项：点在运动的过程中，的面积为发生了二次变化，从点到第二个顶点是第一次变化，从0逐步增大，第二次变化是从第二个顶点到点，逐步减小，减小到0，没有保持不变的变化过程，故该选项不符合要求．选项：点在运动的过程中，的面积为发生了三次变化，从点到第二个顶点是第一次变化，从0逐步增大，第二次变化是从第二个顶点到第三个顶点，保持不变，第三次变化是从第三个顶点到点，逐步减小，减小到0，且三次运动时间相同，满足函数的图象，故该选项符合要求．选项：点在运动的过程中，的面积为发生了四次变化，不满足函数的图象，故该选项不符合要求．选项：点在运动的过程中，的面积为发生了三次变化，点在上运动的过程中，面积相等；点在上运动的过程中，面积相等；点在上运动的过程中，面积不变；但是，三次变化的运动时间不相同，不满足函数的图象，故该选项不符合要求．8.如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正方形面积公式求出两个小正方形的边长，由图形特征得出大正方形的边长，计算大正方形面积后减去两个小正方形面积即可．【详解】解：两个小正方形的面积分别为和，∴它们的边长分别为和，由图可知，大正方形的边长为两个小正方形边长之和，∴大正方形的边长为，∴大正方形的面积为，∴剩下部分的面积为．二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）9.分解因式：_________．【答案】【解析】【分析】直接用平方差公式分解即可．【详解】解：．10.如图，这是某动物园示意图的一部分．如果分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，建立平面直角坐标系，且猴山和狮虎山的坐标分别是和，则在此图上熊猫馆位置的坐标是_____________．【答案】【解析】【详解】解：根据题意，建立平面直角坐标系如下：故在此图上熊猫馆位置的坐标是．11.我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数和，各行从左到右用算筹依次表示未知数、的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组：__________【答案】【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可．【详解】解：根据题目给出的示例和规则，可以总结算筹表示数的规律：每行从左到右依次为的系数、的系数、常数项；单独的竖棒：每1根代表1；横棒在个位位置时代表5，横棒在十位位置时代表10，求和得到该位置的数值．对算筹图2分析：第一行：系数为，系数为，常数项为，得方程；第二行：系数为，系数为，常数项为，得方程．因此得到方程组．12.如图，在矩形中，，，，连接．以点为圆心，小于的长度为半径画弧，分别交，于，两点；再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，连接并延长交边于．若点为线段上任意一点，则的最小值为_________________．【答案】【解析】【分析】由尺规作图可知平分，过点作垂足为点，并延长交于点，可证，根据全等三角形的性质可证是的垂直平分线，根据两点之间线段最短，可知当点、、三点共线时最短，此时，利用勾股定理求出的长度即为的最小值．【详解】解：四边形是矩形，，，，，，，如下图所示，过点作垂足为点，并延长交于点，则，由作图可知平分，，在和中，，，，，是的垂直平分线，，连接交于点，连接，，，两点之间线段最短，当点、、三点共线时最短，此时，．三、解答题（共6小题，共64分）13.解决下列问题：（1）计算：；（2）解不等式：；（3）解方程：【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）分别计算各部分运算结果，再进行加减合并．（2）按照一元一次不等式的标准步骤求解．（3）将分式方程转化为整式方程求解，然后进行检验．【小问1详解】解∶．【小问2详解】解：．【小问3详解】解：方程两边同乘得检验∶当时，因此原分式方程的解为．14.如图，，点和点，点和点是对应顶点．（1）求证：；（2）连接，．求证：四边形是平行四边形．【答案】（1）证明：，，，．（2）证明：，，，∴，四边形是平行四边形．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，即可求证；（2）根据全等三角形的性质可得，，从而得到，即可求证．【小问1详解】略【小问2详解】略15.为了精准把脉、成长护航，某校调查了八年级学生课外阅读情况，该校在八年级320名学生中随机抽取了男生、女生各16名，收集他们课外阅读时间得到了以下数据：（单位：分钟）男生：70，101，24，56，108，42，63，14，105，72，35，82，103，70，38，104整理数据：制作了如下统计图．分析数据：两组数据的平均数、四分位数和众数如下表所示：

平均数第一四分位数第二四分位数第三四分位数众数男生70102女生55709292（1）请补全男生课外阅读时间直方图；（2）请将上面的表格补充完整：_________，_________；（3）若该校八年级学生为女生，根据调查的数据，估计八年级女生课外阅读时间在的约有多少人？（4）请结合四分位数和箱线图比较八年级男生和女生课外阅读时间的特点．【答案】（1）（2）40；70（3）八年级女生课外阅读时间在的约有48人（4）男、女生的第二四分位数（中位数）都是70分钟，说明约一半的男生和一半的女生，课外阅读时间都在70分钟以上；男生的箱体长度（分钟）大于女生（分钟），结合箱线图可以看出，男生课外阅读时间的差异更大，数据更分散；女生的阅读时间相对更集中；女生的平均数（分钟）高于男生（分钟），整体来看女生的平均课外阅读时间更长．【解析】【小问1详解】略【小问2详解】解：将男生16个数据从小到大排序为：，解法一：第一四分位数是前8个数据的中位数，∴第一四分位数为；解法二：∵，∴第一四分位数为；在男生的数据中70出现了2次，其余数均只出现1次，∴众数；【小问3详解】解：八年级女生总人数为：（人），由女生扇形图可得，阅读时间在的女生占比为，∴对应人数为：（人），答：八年级女生课外阅读时间在的约有48人；【小问4详解】略16.“漏水问题”综合实践探究【问题背景】水龙头关闭不严会发生漏水现象．为研究漏水量与漏水时间之间的函数关系，某综合实践小组开展如下实验探究．【实验探究】小组在某个滴水的水龙头下方放置接水容器，接水容器足够大，水不会溢出；每隔5分钟记录一次容器内收集到的水量，得到实验数据：时间05101520漏水量015304560【建立模型】（1）请你描述该滴水水龙头漏水量（单位：）随漏水时间（单位：）的变化规律，并用函数解析式表示与的关系．【实践应用】（2）继续研究以上滴水水龙头的漏水情况，如果每位中学生一天的饮水量约为．请你求出该水龙头持续滴水多长时间，漏掉的水量就相当于一位中学生一天的饮水量．并结合结果，用一句话写出你的节水倡议．【答案】（1）漏水量随漏水时间的增加而均匀增大，每分钟漏水量为；函数解析式为（2）该水龙头持续滴水（约）时，漏掉的水量相当于一位中学生一天的饮水量；节水倡议：随手关紧水龙头，减少水资源浪费（合理即可）【解析】【分析】（1）根据表格数据，可得到漏水量随漏水时间的增加而均匀增大，进而可求得与的函数解析式；（2）将代入中求得t值即可；结合结果可提出倡议．【小问1详解】解：由表格数据，漏水量随漏水时间的增加而均匀增大，每分钟漏水量为，即漏水量与时间成正比例函数关系，设，将，代入得，解得，故与的函数解析式为；【小问2详解】解：根据题意，，代入中，得，故该水龙头持续滴水（约）时，漏掉的水量相当于一位中学生一天的饮水量；节水倡议：随手关紧水龙头，减少水资源浪费．17.为欢度中秋佳节，某学校工会准备采购40盒月饼礼盒和若干盒中秋酥饼．现有甲、乙两家超市，月饼礼盒每盒定价70元，中秋酥饼每盒定价10元．为了加快销售速度，两家超市都进行了促销活动．甲超市促销方案：买1盒月饼礼盒赠送1盒中秋酥饼．乙超市促销方案：全部商品均按照定价打九折销售．设准备采购中秋酥饼盒（）．（1）若某学校工会全部在甲超市采购，所需总费用为_____________________元（用含的代数式表示）（2）若某学校工会全部在乙超市采购，所需总费用为_____________________元（用含的代数式表示）（3）若某学校工会只能选择其中一家超市采购，请通过计算说明选择哪家超市更加优惠；（4）若某学校工会既可以只选一家采购，也可以在两家超市分开组合采购，请写出最省钱的采购方案，并用含的代数式表示出最低的总费用．【答案】（1）（2）（3）由得，由得，由得，∵，∴当时，选择甲超市更优惠；当时，两家超市费用相同；当时，选择乙超市更优惠．（4）最省钱采购方案为在甲超市购买40盒月饼礼盒，获赠40盒中秋酥饼，剩余盒中秋酥饼在乙超市购买．最低总费用为元【解析】【分析】（1）根据甲超市促销方案列代数式即可；（2）根据乙超市促销方案列代数式即可；（3）分别列方程和不等式求解，再进行判断即可；（4）根据题意，在甲超市购买40盒月饼礼盒，获赠40盒中秋酥饼，剩余盒中秋酥饼在乙超市购买最省钱，进而得到最低总费用．【小问1详解】解：在甲超市采购，所需总费用为元；【小问2详解】解：在乙超市采购，所需总费用为元；【小问3详解】略【小问4详解】解：最省钱采购方案为在甲超市购买40盒月饼礼盒，获赠40盒中秋酥饼，剩余盒中秋酥饼在乙超市购买．最低总费用为元．18.如图，在矩形纸片中，，，点为边上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处．（1）如图①，若，求点到的距离；（2）如图②，过点作交于点，垂足为，连接．①判断四边形的形状，并说明理由；②延长交于，当时，求的长．【答案】（1）点到的距离为（2）解：①四边形是菱形，理由如下：由折叠可得，，，，∵，∴，∵；，又∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，又∵，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边