2024-2025学年黑龙江哈尔滨南岗区八年级(下)期末数学试卷及答案

数学数学黑龙江省哈尔滨市南岗区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．2．下列运算正确的是（

）A． B．C． D．3．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过点的是（

）．A． B． C． D．4．下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（

）A．6，8，10 B．10，15，20 C．8，15，17 D．7，24，255．正比例函数的图象经过的象限是（）A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第三、四象限 D．第一、二象限6．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧相交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD的（

）A．四条边相等 B．四个角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分7．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（

）A． B．C．且 D．且8．如图，在矩形中，点在边上，将矩形沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长为（

）A．9 B．10 C．11 D．129．下列说法：①对角线互相垂直的平行四边形是正方形；②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；④矩形、菱形都具有“对角线相等”的性质；⑤对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的说法有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个10．如图，在矩形中，，，，动点从点A出发，沿路径运动，则的面积与点经过的路径长之间的函数关系用图象表示大致是（

）

A．

B．

C．

D．

二、填空题11．函数中，自变量x的取值范围是__________．12．计算的结果是__________．13．如图，在数轴上，点表示的数为，垂直数轴，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数为_____．14．关于一元二次方程的一个根为，则另一个根为__________．15．如图，在中，，点D、E、F分别是中点，若，则长为_________．16．若点，都在直线上，则与的大小关系是_____．17．如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若，则线段的长为_____．18．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点A，且点A的纵坐标是2，则不等式的解集是_____．19．已知正方形的边长为4，点G在的延长线上，点E在射线上，且，连接，过点E作交的平分线于点F，则线段的长为_____．20．阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用．例题：求代数式的最小值．解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长为15，进而解决问题．类比如上方法，求的最小值为_____．三、解答题21．解方程：22．定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长．23．某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？24．已知：在四边形中，，过点A作于点E，过点C作于点F，且．(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；(2)如图2，连接，，连接交于点O，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个与四边形面积相等的三角形．25．解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？26．截长补短法是初中数学几何题中的一种常用方法，也是把几何题化难为易的一种思想，常常用来探究三条线段之间的数量关系．【探索发现】如图，在中，点为上的一点，连接，作的平分线交于点，若点为的中点，求证：；解题思路：抓住平行四边形对边平行的性质，结合中点，只需延长交的延长线于点，通过全等将线段转移到的位置，实现补短的目的，再证明与相等，即可解决问题．请按此思路完成证明．【类比迁移】如图，在正方形中，点为上的一点，连接，作的平分线交于点，求证：；【综合应用】如图，在菱形中，，延长至点，使，连接，点为上一点，连接，作的平分线交于点，连接，若，，求的面积．27．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B、四边形是菱形，点D在x轴正半轴上．(1)如图1，求点D的坐标；(2)如图2，连接，点P为线段上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；(3)如图3，在（2）的条件下，过点P作轴于点Q，连接，点E为上的一点，连接交于点F，，连接，当平分时，求直线的解析式．数学数学《黑龙江省哈尔滨市南岗区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷》参考答案题号12345678910答案DCCBBDCBAA1．D【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程满足的条件（整式方程、一个未知数、最高次数为2）逐一分析选项即可．【详解】解：A选项：方程为，最高次数为3，不符合二次项要求，故此选项不符合题意；B选项：展开得，整理为，为一元一次方程，故此选项不符合题意；C选项：含分式项，非整式方程，故此选项不符合题意；D选项：展开并整理为，满足整式、一个未知数且最高次数为2，符合定义，故此选项符合题意．故选：D．2．C【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案．【详解】解：A选项：，错误．B选项：，平方根结果非负，错误．C选项：，与右边相等，正确．D选项：，而，显然不相等，错误．综上，正确答案为C．故选：C．3．C【分析】把分别代入每个选项，然后进行判断，即可得到答案．【详解】解：当时，则A、，不符合题意；B、，不符合题意；C、，符合题意；D、，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了判断点是否在函数图像上，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．4．B【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，若三角形三边长满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形．逐一验证各选项即可．【详解】解：选项A（6，8，10）最长边为10，验证，而，满足勾股定理，能构成直角三角形．选项B（10，15，20）最长边为20，验证，而，两者不相等，不满足勾股定理，不能构成直角三角形．选项C（8，15，17）最长边为17，验证，而，满足勾股定理，能构成直角三角形．选项D（7，24，25）最长边为25，验证，而，满足勾股定理，能构成直角三角形．综上，只有选项B不满足勾股定理，故选：B．5．B【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．根据正比函数的性质求解即可．【详解】因为，所以正比例函数的图象经过第二、四象限．故选∶．6．D【分析】利用平行四边形的判定方法可以判定四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论．【详解】解：∵分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，∴AD=BC，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），∴平行四边形ABCD的对角线互相平分，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟记平行四边形的判定方法．7．C【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式使其非负．【详解】解：依题意，即．令，解得．综上，且．故选C．8．B【分析】利用折叠性质可得EF＝DE，AD＝AF，根据勾股定理可得CF，设BF＝x，可得AD＝BC＝BF＋CF，在Rt△ABF中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝8，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，CD＝AB＝8，∵DE＝5，∴CE＝CD−DE＝3，∵矩形ABCD沿AE所在直线折叠，∴∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD，EF＝DE＝5，在Rt△CEF中，，设BF＝x，则AF＝AD＝BC＝BF＋CF＝x＋4，在Rt△ABF中，AB2＋BF2＝AF2，即82＋x2＝（x＋4）2，解得：x＝6，∴AF＝x＋4＝10，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是利用折叠性质和勾股定理求出CF．9．A【分析】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质；逐一分析各说法的正确性，结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质进行判断．【详解】解：说法①：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非正方形（需对角线相等且垂直）．错误．说法②：一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形．错误．说法③：一组对边平行且一组对角相等的四边形，可通过同旁内角互补及对角相等推导出另一组对边平行，符合平行四边形判定．正确．说法④：矩形对角线相等，菱形对角线垂直但不一定相等．错误．说法⑤：对角线平分一组对角的平行四边形，邻边相等，故为菱形．正确．综上，正确的说法为③和⑤，共2个．故选：A．10．A【分析】根据四边形是矩形得到，，结合平行线间距离处处相等分点在、、上运动直接求解即可得到答案，【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，①

当点在上运动时，，，当点到时，；②

点在上运动时，，当点到时，，③

点在上运动时，，，当点到时，，故选：A．【点睛】本题考查一次函数在图形中的应用，解题的关键表示出动点在三边运动时的解析式找到端点．11．【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键．【详解】解：根据二次根式的意义，有，解得，故自变量x的取值范围是，故答案为：．12．【分析】化简每个二次根式然后计算即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】此题考查了二次根式的化简以及合并同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．13．【分析】本题主要考查了实数，勾股定理，正确记忆勾股定理的公式解题关键．先根据题意确定，，再根据勾股定理求出，即可得答案．【详解】解：由题意可知，，根据勾股定理，得，点在正半轴，且点对应的实数为，故答案为：．14．4【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为-4，结合方程的一个根为-1，可求出方程的另一个根，此题得解．【详解】∵a=1，b=m，c=-4，∴x1•x2==-4．∵关于x一元二次方程x2+mx-4=0的一个根为x=-1，∴另一个根为-4÷（-1）=4．故答案为：4．【点睛】此题考查根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之积等于是解题的关键．15．5【分析】本题考查了直角三角形的性质及三角形的中位线定理，根据直角三角形的性质及三角形的中位线定理即可解答．【详解】解：∵在中，，∴是直角三角形，∵点分别是的中点，∴是斜边的中线，∴，∵，∴，∵分别是、的中点，∴是的中位线，∴．故答案为：5．16．【分析】根据，可得y随x的增大而增大，即可求解．本题主要考查了一次函数的增减性，熟练地掌握一次函数的图像及其性质是解题的关键．【详解】解：∵中，，∴y随x的增大而增大，∵，，，

∴．故答案为：．17．【分析】由题知是的角平分线，作于G点，由角平分线的性质可得，由可得，，进而可得，．则，可得，在中，根据勾股定理即可求得的长．本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理以及利用面积法求三角形的边．熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】解：由题知是的角平分线，作于点G，则，又∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又由，得，∴，又∵，∴，解得，∴，∴．故答案为：．18．【分析】根据一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点A，且点的纵坐标是2，把代入中得：．然后结合图象找出正比例函数在一次函数上方部分的解集即可．本题主要考查了一次函数和一元一次不等式．利用数形结合是解题的关键．【详解】解：∵一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点A，且点A的纵坐标是2，∴把代入中，得，∵，∴．故答案为：．19．或【分析】分两种情况：①当E点在点C左侧时，在上截取，先证明，再证明，根据证明，则可得，利用勾股定理求得，则．②当E点在点C右侧时，在的延长线上截取．先证明，再证明，根据证明，则可得，利用勾股定理求得，则．综上所述，即可得出答案．【详解】解：①如图，当E点在点C左侧时，在上截取．∵四边形是正方形，且边长为4，∴，，∵，∴∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴,∴，∵平分，∴，∴，∴，∵在中,，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．②如图，当E点在点C右侧时，在的延长线上截取．∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∵是的一个外角，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．综上，的长为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解决问题的关键．并且要注意分类讨论．20．10【分析】借鉴已知解题方法，构造，和，令，，，，则长即为的最小值．本题考查矩形的性质，线段的最值和勾股定理，利用类比思想，借鉴题目的求解方法是解题的关键．【详解】解：如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，过点E作的垂线，垂足为点F，根据勾股定理得，∴的最小值为10．故答案为：10．21．，【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程，是解题的关键．把一元二次方程华为一般形式，根据公式法解一元二次方程即可求解．【详解】解：∵，∴．∵，，，∴．∴．即，．22．(1)是，理由见解析(2)BN＝12或13【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点．（2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题．【详解】（1）是．理由如下：∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，∴AM2＋NB2＝MN2，∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，∴点M、N是线段AB的勾股分割点．（2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，即（25−x）2＝x2＋25，解得x＝12；②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2．即x2＝25＋（25−x）2，解得x＝13，综上所述，BN＝12或13．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解．23．（1）；（2）这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．【分析】（1）分段函数，利用待定系数法解答即可；（2）利用（1）的结论，把y＝80代入求出x的值即可解答．【详解】解：（1）当0≤x≤15时，设y＝kx（k≠0），∵y＝kx（k≠0）的图象过（15，20），则：20＝15k，解得k＝，∴y＝；当15＜x≤60时，设y＝k′x+b（k≠0），∵y＝k′x+b（k≠0）的图象过（15，20），（60，170），则：，解得，∴y＝，∴；（2）当y＝80时，80＝，解得x＝33，33﹣15＝18（天），∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量的值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．24．(1)详见解析(2)，，，【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，根据“”证明是解题的关键．（1）由于点，于点，得，而，，即可根据“”证明，得，则，即可证明四边形是平行四边形；（2）由于点，于点，得，由全等三角形的性质得，则四边形是平行四边形，所以，可证明，设，，则，所以，可知与四边形面积相等的四个三角形分别是，，，．【详解】（1）证明：于点，于点，，在和中，，，，，四边形是平行四边形．（2）解：，，，，理由：于点，于点，，由（1）得，，四边形是平行四边形，，，，，设，，则，，，，与四边形面积相等的四个三角形分别是，，，．25．(1)该品牌头盔销售量的月增长率为；(2)该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可；（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案．【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，由题意得：，解得：，（不合题意，舍去），答：该品牌头盔销售量的月增长率为；（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个，由题意得：，整理得：，解得：，，∵尽可能让顾客得到实惠，∴，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法．26．探索发现：详见解析；类比迁移：详见解析；综合应用：．【分析】[探索发现]由四边形是平行四边形，得，，则有，，证明，所以，通过角平分线定义可得，从而，则，，从而求证；[类比迁移]延长至点，使得，连接，由四边形是正方形，则，，，证明，所以，又平分，则，令，则，，故有，则可证，又，从而求证；[综合应用]先证是等边三角形，则，延长至点，使，连接，证明，所以，，又平分，则，设，则，所以，，可证，