人教版数学八年级上册 第13章 三角形 单元测试（A4） 同步练习 含答案

第十三章三角形单元测试总分：120分一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.1．以下几组长度（单位：米）的绳索首尾顺次相接能围成三角形场地的是（

）A．5，7，2 B．5，9，3 C．5，7，3 D．4，5，102．在△ABC中，边上的高线为（

）A．CE B． C． D．CF3．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是（

）A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线4．如图，在△ABC中，延长至点D，若，则∠A的度数是（

）A． B． C． D．30°5．在Rt△ABC中，已知，则的度数为（

）A．30° B．40° C． D．60°6．若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（

）A．24 B． C． D．或7．将一块含有30°角的直角三角板与一把矩形直尺按照如图方式摆放，若，则∠2的度数为（

）A． B． C．60° D．8．若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定9．如图，在△ABC中，点、E、分别为、、的中点，已知阴影部分的面积为，则△ABC的面积为（

）A．40cm2 B． C． D．10．如图，在△ABC中，分别平分∠ABC，，，，下列结论：①∠BDC=∠BAC；②；③；④，其中正确的为（

）A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11．已知三角形的两边长分别为和，则第三边可以是___________（写出一个即可）．12．已知等腰三角形的底角等于，则顶角等于________°．13．在△ABC中，已知，，则________．14．在△ABC中，若，则，其依据是___________．15．如图，，∠A=30°，，则的度数为_____．16．如图，三角形纸片中，，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，，则的度数是_____．17．如图，在△ABC中，点，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，，，则_______．18．如图，Rt△ABC中，，AC=6，BC=10，为的中点．动点从点B出发，沿B→A→C的路径在△ABC的边上运动，当△BDP的面积为6时，点运动的路程长为_______．三、解答题：本题共8小题，共66分.19．（6分）如图，点是的边上的一点，按下列语句画图．(1)过点画边的垂线，交于点；(2)过点画的高；(3)线段______的长度是点到直线的距离．20．（6分）已知三角形的三边长分别为，和．(1)求的取值范围．(2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长．21．（6分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB和AC上，，求的度数．22．（8分）已知a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c都是整数．(1)若，，且c是奇数，试判断△ABC的形状；(2)化简：．23．（8分）著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于180°”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．(1)如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程；(2)聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在△ABC的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交AC于点F．求证：．24．（10分）如图，在△ABC中，，分别是△ABC的中线和高，是的角平分线．(1)若AB=6，AC=4，则与的周长差为________；(2)若，，求的大小．25．（10分）阅读理解三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．问题：已知：如图1，在△ABC中，点是边上的中点，连结．求证：．证明：过点A作于点E，∵点是边上的中点，．，．任务：(1)如图2，在△ABC中，点是边上的中点，若，_____；(2)如图3，在△ABC中，点是边上的点且，S△ABD和S△ABC存在怎样的数量关系？请模仿文本框中的过程写出证明过程；(3)如图4，分别是△ABC的高线和中线，已知，则的长为_____．26．（12分）解答下列各题：(1)如图1，，利用平行线的性质，证明：；(2)问题迁移：如图2，在（1）的条件下，AB的下方两点E，F满足，CF平分∠DCE．若∠F的2倍与的差为，求的度数．(3)问题拓展：如图3，在中，，将线段CD平移到AB，C的对应点为A，D的对应点为B，连接AC交的延长线于点E，连接交的延长线于点F，点M在DC延长线上，连接，，点N在AB延长线上，点G在OF延长线上，，请直接写出和的数量关系．

第十三章三角形单元测试总分：120分一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.1．以下几组长度（单位：米）的绳索首尾顺次相接能围成三角形场地的是（

）A．5，7，2 B．5，9，3 C．5，7，3 D．4，5，10【答案】C【分析】只需验证两条较短边的和大于最长边即可，满足条件即可围成，不满足则不能围成.【详解】解：选项A中，较短边为，5，最长边为，2+5=7，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形；选项B中，较短边为，5，最长边为，，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形；选项C中，较短边为，5，最长边为，，满足三角形三边关系，故能围成三角形；选项D中，较短边为，5，最长边为10，，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形.2．在△ABC中，边上的高线为（

）A．CE B． C． D．CF【答案】B【详解】解：∵三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，∴△ABC中BC边上的高应过顶点A且垂直于BC观察图形可知，AE⊥BC，垂足为E，∴BC边上的高线为．3．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是（

）A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线【答案】A【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．【详解】解：由题意得，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性．4．如图，在△ABC中，延长至点D，若，则∠A的度数是（

）A． B． C． D．30°【答案】A【详解】解：，，，，，故选：A．5．在Rt△ABC中，已知，则的度数为（

）A．30° B．40° C． D．60°【答案】D【分析】本题利用直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出的度数.【详解】解：∵在中，，∴，又∵，∴.6．若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（

）A．24 B． C． D．或【答案】D【分析】需分两种情况讨论腰长，根据三角形任意两边之和大于第三边验证是否能构成三角形，再计算周长．【详解】解：分两种情况讨论：当为腰长，为底边长时∵，符合三角形三边关系∴该三角形周长为；当为腰长，为底边长时∵，符合三角形三边关系∴该三角形周长为因此等腰三角形的周长为25或．7．将一块含有30°角的直角三角板与一把矩形直尺按照如图方式摆放，若，则∠2的度数为（

）A． B． C．60° D．【答案】B【分析】首先由平行线的性质和对顶角相等求出，然后求出，最后利用三角形内角和定理求解．【详解】解：如图，∵AB∥CD，∴，∵∠E=30°，∴，∴．8．若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定【答案】A【分析】根据内角度数比计算出最大内角的度数，即可判断三角形类型．【详解】解：∵三角形三个内角度数的比为，∴可设三个内角分别为，，，∵三角形内角和为180°，∴，解得：，∴最大内角为，∵，即三个内角都为锐角，∴这个三角形是锐角三角形．9．如图，在△ABC中，点、E、分别为、、的中点，已知阴影部分的面积为，则△ABC的面积为（

）A．40cm2 B． C． D．【答案】A【分析】根据点、E、分别为、、的中点，得到，，，，推出，，根据阴影部分的面积为，得到，即可求解．【详解】解：∵点、E、分别为、、的中点，∴，，，，∴，，∵阴影部分的面积为，∴，∴，∴．10．如图，在△ABC中，分别平分∠ABC，，，，下列结论：①∠BDC=∠BAC；②；③；④，其中正确的为（

）A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】C【分析】由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得到，再变形即可判断④．【详解】解：∵∴∠ACD=∠BAC，，∵平分∠ABC∴∵CD平分，，∴．∵，∴∴，故①错误；∵平分，∴∠ACE=1∵，，∴，即，∴，∵∴∴，故②正确；∵平分∠ABC，∴，即∵，∴，故③正确；∵平分∠ABC，平分，∴，∵，∴又，代入得∴，∴，故④正确．∴正确的为②③④．二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11．已知三角形的两边长分别为和，则第三边可以是___________（写出一个即可）．【答案】（答案不唯一）【详解】解：∵三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，三角形的两边长分别为和，∴第三边，即第三边．∴第三边可以是，答案不唯一．12．已知等腰三角形的底角等于，则顶角等于________°．【答案】50【分析】根据等腰三角形的两底角相等，结合三角形内角和为180°即可求解．【详解】解：∵等腰三角形的底角等于，等腰三角形的两个底角相等，∴顶角的度数为．13．在△ABC中，已知，，则________．【答案】40°【详解】解：在△ABC中，，，又，．14．在△ABC中，若，则，其依据是___________．【答案】在同一个三角形中，大角对大边【详解】解：在△ABC中，边BC所对的内角为，边AC所对的内角为，由可推出，其依据是三角形的边角基本性质，即在同一个三角形中，大角对大边，故答案为：在同一个三角形中，大角对大边．15．如图，，∠A=30°，，则的度数为_____．【答案】115°【分析】先根据垂直的定义得∠BED=90°，由三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可．【详解】解：∵，∴∠BED=90°，∵，∴，又∵∠A=30°，∴．16．如图，三角形纸片中，，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，，则的度数是_____．【答案】【分析】根据折叠的性质，三角形的内角和定理，进行求解即可.【详解】解：如图，∵，，∴，∵折叠，∴，，，∴，∴.17．如图，在△ABC中，点，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，，，则_______．【答案】36【分析】先根据，得出，设△ABC边AB上的高为h，根据三角形面积计算公式得出，最后求出结果即可．【详解】解：∵，∴，设△ABC边AB上的高为h，∴，∴，∴．18．如图，Rt△ABC中，，AC=6，BC=10，为的中点．动点从点B出发，沿B→A→C的路径在△ABC的边上运动，当△BDP的面积为6时，点运动的路程长为_______．【答案】4或11【分析】根据中线的性质可得，然后分两种情况：当点P在AB边上时，当点P在AC边上时，即可求解．【详解】解：∵Rt△ABC中，，AC=6，BC=10，∴，∵为的中点，∴，当点P在AB边上时，如图，∵△BDP的面积为6，∴，∴点P为AB的中点，即BP=1此时点运动的路程长为4；当点P在AC边上时，如图，∵为的中点，△BDP的面积为6，∴，∴，∴点P为AC的中点，即，此时点运动的路程长为；综上所述，点运动的路程长为4或11．三、解答题：本题共8小题，共66分.19．（6分）如图，点是的边上的一点，按下列语句画图．(1)过点画边的垂线，交于点；(2)过点画的高；(3)线段______的长度是点到直线的距离．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)PH【分析】（1）根据垂直的定义，过点作；（2）根据三角形的高的定义，过点作，线段PH即为所求；（3）根据点到直线的距离的定义可知：线段PH的长度是点到直线的距离．【详解】（1）解：下图直线PC即为所求，（2分）（2）解：下图线段PH即为所求，（4分）（3）解：线段PH的长度是点到直线的距离．（6分）20．（6分）已知三角形的三边长分别为，和．(1)求的取值范围．(2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形，关键是熟练应用知识点解题；（1）根据三角形的三边关系即可求得；（2）由等腰三角形判断的值，即可求得周长．【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为，和，∴，；（3分）（2）解：∵，∴当a=7时，该三角形为等腰三角形，∴该三角形的周长为，答：该三角形的周长为．（6分）21．（6分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB和AC上，，求的度数．【答案】【分析】先通过三角形内角和定理求出∠ABC，再求出∠EBC，最后根据两直线平行，内错角相等求出.【详解】由三角形内角和为180°可知，，由两直线平行，内错角相等得.（6分）22．（8分）已知a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c都是整数．(1)若，，且c是奇数，试判断△ABC的形状；(2)化简：．【答案】(1)等腰三角形(2)【分析】(1)根据三角形三边关系确定c的取值范围为，结合c为奇数得，从而，判定△ABC为等腰三角形．(2)利用三角形两边之和大于第三边判定三个绝对值内的代数式均为负数，去绝对值后合并同类项化简得．【详解】（1）解：∵a，b，c是△ABC的三边长且，，∴，即，∵c是奇数，∴，∴∴△ABC是等腰三角形；（4分）（2）解：∵a，b，c是△ABC的三边长∴，，，∴，∴原式．（8分）23．（8分）著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于180°”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．(1)如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程；(2)聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在△ABC的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交AC于点F．求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由平行线的性质得到，，然后等量代换证明即可；（2）由平行线的性质得到，∠2=∠4，，，等量代换得到，然后结合平角的定义证明即可．【详解】（1）解：∵AB∥CE∴，∴；（4分）（2）解：∵∴，∠2=∠4∵∴，∴∴．（8分）24．（10分）如图，在△ABC中，，分别是△ABC的中线和高，是的角平分线．(1)若AB=6，AC=4，则与的周长差为________；(2)若，，求的大小．【答案】(1)2；(2)【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形中线以及三角形外角：（1）通过中线性质得到线段相等关系，再根据周长公式计算差值；（2）根据已知条件求出相关角度，进而得出所求角的大小．【详解】（1）解：是△ABC的中线，，的周长为：，的周长为：，与的周长差为：．故答案为：．（5分）（2）解：在中，为它的一个外角，且，，．∵BE是的角平分线，．∵AF⊥BC，，在中，．．（10分）25．（10分）阅读理解三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．问题：已知：如图1，在△ABC中，点是边上的中点，连结．求证：．证明：过点A作于点E，∵点是边上的中点，．，．任务：(1)如图2，在△ABC中，点是边上的中点，若，_____；(2)如图3，在△ABC中，点是边上的点且，S△ABD和S△ABC存在怎样的数量关系？请模仿文本框中的过程写出证明过程；(3)如图4，分别是△ABC的高线和中线，已知，则的长为_____．【答案】(1)15；(2)．证明：如图，过点A作于点E，∵，∴，∵，S△ABC=∴．(3)5【分析】（1）根据点是边上的中点，可得，再代入已知数据求解即可；（