人教版数学八年级上册 第14章 全等三角形（举一反三单元自测·拔尖卷） 试卷 含答案

第14章全等三角形·拔尖卷【新教材人教版】时间：120分钟满分：120分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，△ABC≌△ADE，∠A=50°，∠B=30°，则∠BOD的度数为（

）A．100° B．110° C．120° D．130°2．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（

）A．   B．  C．   D．3．（2025·河北邯郸·一模）有一张三角形纸片ABC，已知∠B=∠C=α，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（

）A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：×C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：×4．如图，AB=AC，角平分线BF，CE交于点O，AO与BC交于点D，则图中共有全等三角形（

）A．5对 B．6对 C．7对 D．8对5．（25-26七年级下·河南开封·期末）数学兴趣小组同学就“测量如图所示的河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案．测量步骤：①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且CD=BC；②测得∠C=100°，∠ADC=65°；③在CD的延长线上取点E，使得∠BEC=15°；④测得DE的长度为30m．则A，B两点间的距离为（

A．20m B．25m C．30m6．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BC，点E在边BC上，DE=AD，若S△ABD=24，S△BED=13，则A．5.5 B．6.5 C．11 D．127．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB=α，则∠ABE等于（

）A．180°−α B．180°−2α C．90°+α D．90°+2α8．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD,AB=4,CD=10,AD=AE,BF=BC,∠DAE=∠CBF=90°，则四边形AFBE的面积为（

）A．6 B．7 C．12 D．209．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E．①BE∥AD；②△ADC≌△CEB；③DE=AD−BE；④若∠BCE=20°，则∠BAD=30°；⑤取AB中点O，连接OD，OE，则△ODE为等腰直角三角形．其中正确的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）10．如图，在△ABC中，CP平分∠ACB，AP⊥CP于点P，已知11．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，A、C、N三点在同一直线上，在△ABC中，∠A:∠ABC:∠ACB=3:5:10，若△MNC≌△ABC，则∠BCM:∠BCN=___．12．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，D，E在同一条直线上，若∠BAC=50°，∠DAC=13°，则∠BCE=______．13．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=∠CAD=90°，AB=2BC，且AC=AD，BC=5，则△ABD的面积是___________．14．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交边AC于E，且AD⊥BD，若BE=6，则AD=_____．15．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD=BD，AC=8．F是射线BC上一点，且CF=AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，则t的值________．16．如图，正方形ABCD中，CE∥BD，BE=BD，则∠CDE=

三、解答题（本大题共7小题，满分72分）17．（6分）（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF=ED，连接CF．(1)求证：CF∥AB；(2)若∠A=70°，∠F=35°，AB=BC，求∠BED的度数．18．（8分）（25-26八年级下·福建三明·期末）如图，在△ABC中，AB=BC，点D在AB的延长线上，过点D作DE⊥AC于点E，交BC于点F．(1)求证：∠D=∠BFD；(2)若F是BC的中点，求证：EF=119．（10分）如图，△ABC和△EDC都是等边三角形，当点B，C，D在一条直线上时，连接AD，BE交于点M，连接CM，(1)求证：△ACD≌(2)试探究线段BM与线段AM，CM之间的数量关系，并说明理由．20．（10分）（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC延长线上的一点，AE⊥EF，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．(1)求∠ECF的度数．(2)若FG垂直于射线BC，垂足为点G．请判断EG的长是否为定值，若是，请证明；若不是，请说明理由．21．（12分）（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，D为△ABC外部一点，连接AD，CD，已知∠B=50°，(1)尺规作图：在△ABC内求作一点M，使△AMC≌△ADC；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)①通过作图可以得到：AM=___________，CM=___________；②判定△AMC≌△ADC的依据是___________（从SSS、SAS、ASA或AAS中选填）；(3)求∠BAM+∠BCM．22．（12分）（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．【发现问题】（1）如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系为：______．【类比探究】（2）如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由．23．（14分）如图，以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于点G．

(1)试说明：△DAC≌△BAE；(2)试说明：DC⊥BE；(3)试说明：点A到边CD，BE所在直线的距离相等．

第14章全等三角形·拔尖卷【新教材人教版】参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，△ABC≌△ADE，∠A=50°，∠B=30°，则∠BOD的度数为（

）A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】B【分析】先根据全等三角形的性质，得到∠D=∠B=30°，再根据三角形的外角的性质得出∠BOD=∠A+∠B+∠D=110°．【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠D=∠B=30°．∵∠BOD=∠OCD+∠D，∠OCD=∠A+∠B，∴∠BOD=∠A+∠B+∠D=50°+30°+30°=110°．2．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（

）A．   B．  C．   D．【答案】D【分析】逐一求出各选项的隐含条件，进而判断即可．【详解】解：A．根据等腰三角形的定义可知两底角均为70°，则顶角为180°−70°−70°=40°，根据SAS可证明和题干图全等；B．根据三角形内角和可知第三个角为180°−70°−40°=70°，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据SAS可证明和题干图全等；C．根据三角形内角和可知第三个角为180°−70°−40°=70°，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据SAS可证明和题干图全等；D．根据三角形内角和可知顶角为180°−70°−70°=40°，但不知道腰长数据，无法证明全等．3．（2025·河北邯郸·一模）有一张三角形纸片ABC，已知∠B=∠C=α，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（

）A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：×C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：×【答案】D【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当点N是BC中点时，两个阴影部分的三角形才能全等．【详解】解：如图，方案一：∵∠B+∠BDM+∠BMD=180°，∠BMD+α+∠CME=180°，∠B=α，∴∠BDM=∠CME．又∵∠B=∠C，BD=MC=3，∴在△BDM与△CME中，∠B=∠CBD=MC∴△BDM≌△CMEASA即方案一正确；方案二：只有当点N是BC中点时，两个阴影部分的三角形才能全等，∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等．4．如图，AB=AC，角平分线BF，CE交于点O，AO与BC交于点D，则图中共有全等三角形（

）A．5对 B．6对 C．7对 D．8对【答案】C【分析】根据题意和图形，可以写出全等的三角形，从而可以得到图中全等三角形的对数，本题得以解决．【详解】解：∵AB=AC，角平分线BF、CE交于点O，∴AO平分∠BAC，点D为BC的中点，∴BD=CD，在△BAD和△CAD中，AB=ACAD=AD∴△BAD≌△CAD（SSS）；同理可证：△OBD≌△OCD，△OBE≌△OCF，△OEA≌△OFA，△OBA≌△OCA，△BEC≌△CFB，△ABF≌△ACF，由上可得，图中共有7对全等的三角形，故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．（25-26七年级下·河南开封·期末）数学兴趣小组同学就“测量如图所示的河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案．测量步骤：①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且CD=BC；②测得∠C=100°，∠ADC=65°；③在CD的延长线上取点E，使得∠BEC=15°；④测得DE的长度为30m．则A，B两点间的距离为（

A．20m B．25m C．30m【答案】C【分析】利用全等三角形的判定和性质并结合三角形内角和定理可得∠CAD=∠BEC，可证明△ACD≌△ECBAAS，从而得到AC=CE【详解】解：∵∠C=100°,∠ADC=65°，∴∠CAD=180°−∠C−∠ADC=15°，∵∠BEC=15°，∴∠CAD=∠BEC，在△ACD和△ECB中，∵∠C=∠C，∠CAD=∠BEC，CD=BC，∴△ACD≌△ECBAAS∴AC=CE，∵CD=BC，∴AC−BC=CE−CD，即AB=DE，∵DE的长度为30m∴AB=DE=30m即A、B两点间的距离为30m6．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BC，点E在边BC上，DE=AD，若S△ABD=24，S△BED=13，则A．5.5 B．6.5 C．11 D．12【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，过点D作DF⊥AB于点F，由角平分线的性质可得DF=CD，证明△ADF≌△EDCHL，则有S△ADF=S△CDE【详解】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，∴DF=CD，∵AD=DE，∴△ADF≌△EDCHL∴S△ADF=S∴S△ABD即24−S∴S△CDE故选：A．7．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB=α，则∠ABE等于（

）A．180°−α B．180°−2α C．90°+α D．90°+2α【答案】C【分析】延长CA至点G，使GD⊥CG，延长CB至点H，使EH⊥CH，构造全等三角形△CGD≌△BHE(SAS)，得到∠GCD=∠HBE，由外角的性质可得α=∠CAB+【详解】解：如图，延长CA至点G，使GD⊥CG，延长CB至点H，使EH⊥CH．由图可知：CG=BH=4，∠G=∠H=90°∴△CGD≌△BHE(SAS∴∠∵∠CFB是∴∠CFB=∠∵AC⊥BC，∴∠CAB+∠∴α=90°−∠ABC+∠∵∠∴∠8．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD,AB=4,CD=10,AD=AE,BF=BC,∠DAE=∠CBF=90°，则四边形AFBE的面积为（

）A．6 B．7 C．12 D．20【答案】C【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造“三垂直”全等模型．过点D,F,C,E分别作DM⊥AB,FH⊥AB,CI⊥AB,EG⊥AB，交直线AB于点M,H,I,G，证明△AGE≌△DMA,△FHB≌△BIC，则设AM=EG=x，FH=BI=y，则MI=AM+AB+BI=4+x+y，则CD=MI=4+x+y=10，求出x+y=6，再由四边形AFBE的面积=S【详解】解：过点D,F,C,E分别作DM⊥AB,FH⊥AB,CI⊥AB,EG⊥AB，交直线AB于点M,H,I,G，∴∠M=∠AGE=∠FHB=∠I=90°，∵∠DAE=∠CBF=90°，∴∠1=∠2=90°−∠3，∠4=∠5=90°−∠6，∵AD=AE，BF=BC，∴△AGE≌△DMAAAS∴AM=EG，FH=BI，设AM=EG=x，FH=BI=y，∴MI=AM+AB+BI=x+4+y，∵AB∥CD，DM⊥AB，CI⊥AB，∴CD=MI=4+x+y=10，∴x+y=6，∵四边形AFBE的面积=S∴四边形AFBE的面积=====12，故选：C．9．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E．①BE∥AD；②△ADC≌△CEB；③DE=AD−BE；④若∠BCE=20°，则∠BAD=30°；⑤取AB中点O，连接OD，OE，则△ODE为等腰直角三角形．其中正确的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据题意可得∠ADE=∠CEB=90°，则BE∥AD即可判断①；根据“AAS”证明△ADC≌△CEB即可判断②；由全等可得AD=CE,CD=BE，进而可得DE=AD−BE即可判断③；由∠BCE=∠CAD，进而可得∠BAD=25°即可判断④；连接OC，根据“SAS”证明△OBE≌△OCD即可判断⑤．【详解】解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠CEB=∠ADE=90°，∴BE∥AD（内错角相等，两直线平行），故①正确；又∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=∠CAD+∠ACD=90°，∴∠BCE=∠CAD，又∵AC=BC，∴△ADC≌△CEBAAS∴AD=CE,CD=BE，∴AD=CE=CD+DE=BE+DE，即DE=AD−BE，故③正确；∵∠BCE=20°，∴∠BCE=∠CAD=20°，又∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ABC=∠CAB=45°，∴∠BAD=∠CAB−∠CAD=45°−20°=25°，故④错误；如图，连接OC，AB、CE相交于点G，∵∠ACB=90°，AC=BC，点O是∴OB=OC,∠BOC=90°，在△BEG和△COG中，∠BEG=∠COG=90°,∠BGE=∠CGO，∴∠EBG=∠OCG，由（1），可知△ACD≌△CBE，∴CD=BE，在△OBE和△OCD中，BE=CD∠OBE=∠OCD∴△OBE≌△OCDSAS∴OD=OE，则△ODE为等腰直角三角形，故⑤正确．综上，正确的有①②③⑤共4个．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）10．如图，在△ABC中，CP平分∠ACB，AP⊥CP于点P，已知【答案】1【分析】延长AP交BC于D，证明△ACP【详解】解：延长AP交BC于D，∵CP平分∠ACB∴∠ACP∵AP⊥∴∠APC在△ACP与△∠ACP∴△ACP∴AP=∴S△ABP=1∴阴影部分的面积=1故答案为：1．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键．11．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，A、C、N三点在同一直线上，在△ABC中，∠A:∠ABC:∠ACB=3:5:10，若△MNC≌△ABC，则∠BCM:∠BCN=___．【答案】1:4【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据三角形内角和定理分别求出∠A、∠ABC、∠ACB，根据全等三角形的性质、三角形的外角的性质计算即可．【详解】解：∵∠A:∠ABC:∠ACB=3:5:10，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=30°，∠ABC=50°，∠ACB=100°，∴∠BCN=180°−∠ACB=180°−100°=80°，∵△MNC≌△ABC，∴∠MCN=∠ACB=100°，∴∠BCM=∠MCN−∠BCN=100°−80°=20°，∴∠BCM:∠BCN=1:4，故答案为：1:4．12．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，D，E在同一条直线上，若∠BAC=50°，∠DAC=13°，则∠BCE=______．【答案】

93°/93度【分析】证明△ADB≌△AECSAS，得出∠ABD=∠ACE，根据等边对等角求出∠ADE=∠AED=65°，∠ABC=∠ACB=65°，根据角的和差关系求出∠BAD=37°，根据三角形外角的性质求出∠ABD=28°【详解】解：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC,AD=AE,∴△ADB≌△AECSAS∴∠ABD=∠ACE，∵AD=AE，∠BAC=∠DAE=50°，AB=AC，∴∠ADE=∠AED=65°，∠ABC=∠ACB=65°，∵∠DAC=13°，∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=37°，∴∠ACE=∠ABD=∠ADE−∠BAD=28°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=93°13．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=∠CAD=90°，AB=2BC，且AC=AD，BC=5，则△ABD的面积是___________．【答案】50【分析】通过添加辅助线，构造全等三角形，证明△ABC≌△DEAAAS，得出AB=DE=10【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵△ABC中，∠ABC=90°，BC=5，AB=2BC，∴AB=2BC=10，∵∠CAD=∠CAB+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∴∠CAB=∠ADE，在△ABC和△DEA中，∠ABC=∠DEA=90°∠CAB=∠ADE∴△ABC≌△DEAAAS∴AB=DE=10，∴S△ABD14．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交边AC于E，且AD⊥BD，若BE=6，则AD=_____．【答案】3【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余的性质以及全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．延长AD、BC交于点F，由BD⊥AD且BD平分∠ABC，证得△AFC≌△BEC，可得AD=FD，再根据∠FAC+∠AED=90°，∠CBE+∠CEB=90°，∠CEB=∠AED，证得∠FAC=∠CBE，进一步证明△AFC≌△BEC【详解】解：如图，延长AD、BC交于点F，∵BD⊥AD且BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠FBD，∠ADB=∠FDB=90°，∵BD=BD，∴△ADB≌△FDBASA∴AD=FD，∵∠FAC+∠AED=90°，∠CBE+∠∴∠在△AFC和△BEC中∠FAC=∴△AFC≌△BEC(ASA∴AF=BE，∴AD=1故答案为：3．15．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD=BD，AC=8．F是射线BC上一点，且CF=AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，则t的值________．【答案】43【分析】先得出t的取值范围，然后分情况讨论：①当点F在BC延长线上时，②当点F在线段BC上时，△AOP≌△FCQ，证明∠AOP=∠FCQ，可得此时OP=CQ，用含t的式子表示出OP和CQ，然后得出方程，解方程即可．【详解】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC∴∠BDO=∠ADC=∠AEO=90°，∵∠BOD=∠AOE，∴∠DBO=∠EAO，又AD=BD，∴△DBO≌△DACASA∴BO=AC=8，∴8÷2=4，∴t≤4，分情况讨论：①如图，当点F在BC延长线上时，△AOP≌△FCQ．∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AOP=∠EOD=180°−∠ACB，∵∠FCQ=180°−∠DCE，∴∠AOP=∠FCQ，又∵CF=AO，∴当△AOP≌△FCQ时，有OP=CQ．∵OP=2t，CQ=8−4t，∴2t=8−4t，解得t=4②如图，当点F在线段BC上时，△AOP≌△FCQ．

同①得∠AOP=∠FCQ，又∵CF=AO，∴当△AOP≌△FCQ时，有OP=CQ．∵OP=2t，CQ=4t−8，∴2t=4t−8，解得t=4；综上，当△AOP与△FCQ全等时，t的值为4316．如图，正方形ABCD中，CE∥BD，BE=BD，则∠CDE=

【答案】30°/30度【分析】把△BCE逆时针旋转90°得到△BAG，则∠BAG=∠BCE，BG=BE，∠GBE=90°，先证出C、A、G三点共线，得出∠BAG=135°，∠BAG=∠DAG，由SAS证明△BAG≌△DAG，得出BG=DG，证出BG=DG=BE，即【详解】解：把△BCE逆时针旋转90°得到△BAG，连接DG、AC、AG；如图所示：

则∠BAG=∠BCE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∵CE∥∴∠DCE=∠BDC=45°，∴∠BCE=90°+45°=135°，∴∠BAG=135°，∴∠BAG=135°，∴∠BAG+∠BAC=135°+45°=180°，∴点C、A、G三点共线，∴∠DAG=180°−45°=135°，∴∠BAG=∠DAG，在△BAG和△DAG中，AB=AD∠BAG=∠DAG∴△BAG≌△DAGSAS∴BG=DG，∵BD=BE，∴BG=DG=BE，即△BDG是等边三角形，∴∠GBD=60°，∴∠DBE=90°−60°=30°，∴∠BDE=∠BED=1∴∠CDE=∠BDE−∠BDC=30°．故答案为：30°．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．三、解答题（本大题共7小题，满分72分）17．（6分）（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF=ED，连接CF．(1)求证：CF∥AB；(2)若∠A=70°，∠F=35°，AB=BC，求∠BED的度数．【答案】(1)证明见解析(2)∠BED=15°【分析】（1）由E为AC中点可知AE=CE，可证明△AED≌△CEFSAS（2）根据△AED≌△CEF得∠F=∠ADE=35°，在△ADE中，由三角形内角和得到∠AED=75°，再根据三线合一得到BE⊥AC，进而得到∠BEA=90°，然后根据∠BED=∠BEA−∠AED即可得出答案．【详解】（1）证明：∵E为AC中点，∴AE=CE，在△AED和△CEF中，AE=CE∠AED=∠CEF∴△AED≌△CEFSAS∴∠A=∠ACF，∴CF∥AB；（2）解：∵△AED≌△CEF，∴∠F=∠ADE，∵∠A=70°，∠F=35°，∴∠ADE=35°，在△ADE中，∠AED=180°−∠A+∠ADE∵AB=BC，E为AC中点，∴BE⊥AC，∴∠BEA=90°，∴∠BED=∠BEA−∠AED=90°−75°=15°．18．（8分）（25-26八年级下·福建三明·期末）如图，在△ABC中，AB=BC，点D在AB的延长线上，过点D作DE⊥AC于点E，交BC于点F．(1)求证：∠D=∠BFD；(2)若F是BC的中点，求证：EF=1【答案】(1)证明：∵DE⊥AC，∴∠AED=∠CED=90°．∴∠A+∠D=90°，∠C+∠EFC=90°∵AB=BC，∴∠A=∠C．∴∠D=∠EFC．∵∠BFD=∠EFC．∴∠D=∠BFD．(2)证明：如图2，过点B作BH⊥DE于点H，∵∠D=∠BFD，∴BF=BD，∴FH=HD．∵DE⊥AC，BH⊥DE，∴∠CEF=∠BHF=90°．∵F是BC的中点，∴BF=CF．∵∠BFH=∠CFE，∴△FBH≌△FCEAAS∴FH=EF．∴FH=HD=EF，∴EF=【分析】（1）由DE⊥AC得∠A+∠D=90°，∠C+∠EFC=90°，由AB=BC得∠A=∠C，证得∠D=∠EFC，进一步可得结论．（2）过点B作BH⊥DE于点H，则可证明FH=DH，再证明△FBH≌△FCE，得FH=EF，得出FH=HD=EF，故可得结论．19．（10分）如图，△ABC和△EDC都是等边三角形，当点B，C，D在一条直线上时，连接AD，BE交于点M，连接CM，(1)求证：△ACD≌(2)试探究线段BM与线段AM，CM之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)BM=AM+CM，见解析【分析】（1）利用SAS可证△BCE≌（2）在DA上取点F，使DF=ME，连接CF，由全等三角形的性质得BE=AD，∠BEC=∠ADC，同理可证△MEC≌△FDC，由全等三角形的性质得MC=FC，∠MCE=∠FCD，由等边三角形的判定得【详解】（1）证明：∵△ABC与△EDC都是等边三角形，∴AC=BC=AB，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，∴∠ACE=180°−∠BCA−∠ECD=60°，∴∠BCE=∠ACD=60°+60°=120°，在△BCE和△ACD中BC=AC∠BCE=∠ACD∴△BCE≌△ACD（（2）解：BM=AM+CM；理由如下：如图，在DA上取点F，使DF=ME，连接CF，∵△BCE≌∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，∴∠MEC=∠FDC，同理可证：△MEC≌△FDC（∴MC=FC，∠MCE=∠FCD，∴∠MCF=∠MCE+∠ECF=∠FCD+∠ECF=∠ECD=60°，∴△MCF是等边三角形，∴CM=MF，∴BM=BE−ME=AD−DF=AM+MF=AM+CM．20．（10分）（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC延长线上的一点，AE⊥EF，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．(1)求∠ECF的度数．(2)若FG垂直于射线BC，垂足为点G．请判断EG的长是否为定值，若是，请证明；若不是，请说明理由．【答案】(1)45°(2)EG的长为定值，理由见解析【分析】（1）根据正方形ABCD得到∠DCE=90°，再根据角平分线的定义求解即可；（2）在BA的延长线上取点H，使得AH=CE，则BH=BE，得到∠H=∠FCE=45°，证明∠HAE=90°+∠BEA=∠CEF，得到△HAE≌△CEFASA，从而AE=EF，再证明∠AEB=∠EFG，即可得出△ABE≌△EGFAAS，因此EG的长等于正方形【详解】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∴∠DCE=180°−∠BCD=90°，∵CF平分∠DCE，∴∠ECF=1（2）解：EG的长为定值，理由如下：在BA的延长线上取点H，使得AH=CE，∵在正方形ABCD中，∠B=90°，AB=BC，∴AB+AH=BC+CE，即BH=BE，∴△BEH是等腰直角三角形，∴∠H=45°，由（1）有∠FCE=45°，∴∠H=∠FCE，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠HAE=∠B+∠BEA=90°+∠BEA，∠CEF=∠AEF+∠BEA=90°+∠BEA，∴∠HAE=∠CEF，∴△HAE≌△CEFASA∴AE=EF，∵FG⊥BC，∴∠FGE=90°，∴∠FEG+∠EFG=90°，∵∠AEB+∠FEG=180°−∠AEF=90°，∴∠AEB=∠EFG，∵∠B=∠FGE，∴△ABE≌△EGFAAS∴EG=AB，∴EG的长等于正方形ABCD的边长，为定值．21．（12分）（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，D为△ABC外部一点，连接AD，CD，已知∠B=50°，(1)尺规作图：在△ABC内求作一点M，使△AMC≌△ADC；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)①通过作图可以得到：AM=___________，CM=___________；②判定△AMC≌△ADC的依据是___________（从SSS、SAS、ASA或AAS中选填）；(3)求∠BAM+∠BCM．【答案】(1)解：如图，点M即为所求．(2)①AD,CD；②SSS(3)50°【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）根据题意，以点A为圆心，AD为半径画弧，再以点C为圆心，CD为半径画弧，两弧交于点M，连接AM,CM，故AM=AD,MC=DC,AC=AC，所以证明△AMC≌△ADC，即可作答．（2）①根据题意可得答案．②结合全等三角形的判定可得答案．（3）结合全等三角形的判定可得∠AMC=∠D=100°，在△ABM中，∠BAM=180°−∠ABM−∠AMB，在△BCM中，∠BCM=180°−∠CBM−∠CMB，则可得∠BAM+∠BCM=360°−∠ABC−360°−∠AMC【详解】（1）略（2）解：①通过作图可以得到：AM=AD,CM=CD．故答案为：AD；CD．②结合作图得AM=AD,CM=CD，∵AC=AC∴判定△AMC≌△ADC的依据是SSS．故答案为：SSS．（3）解：在△ABM中，∠BAM=180°−∠ABM−∠AMB，在△BCM中，∠BCM=180°−∠CBM−∠CMB．∵△AMC≌△ADC，∴∠AMC=∠D=100°．∴∠BAM+∠BCM=180°−∠ABM−∠AMB+180°−∠CBM−∠CMB=3