人教版数学八年级上册 第14章 全等三角形（知识串讲+热考题型+真题训练） 同步练习 含答案

第14章全等三角形【考点1】全等图形的定义【考点2】全等三角形的性质【考点3】全等三角形的判定【考点4】全等三角形的判定与性质综合【考点5】全等三角形的应用【考点6】角平分线的性质【考点7】角平分线的判定与性质综合

【考点8】角平分线与中线巧算面积

知识点1：全等图形全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。（一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。（二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。（三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。知识点2：全等多边形（1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.（2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等.（3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等.知识点3：全等三角形（一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（二）全等三角形中的对应元素1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。2、对应元素的确定方法（1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。（2）图形位置确定法①公共边一定是对应边；②公共角一定是对应角；③对顶角一定是对应角;（3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。（三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。知识点4：全等三角形的性质（一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。（二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。∵△ABC≌△DEF∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。知识点5全等三角形的判定1.判定全等三角形（边边边）三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。2.判定全等三角形（边角边）（1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B')①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D';④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。（2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。3.判定全等三角形（角边角）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。4.判定全等三角形（角角边）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。5.判定全等三角形（直角边、斜边）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。知识点6角的平分线的性质和判定（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。2、分别以M,N为圆心，大于123、画射线OC，射线OC即为所求。（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。（三）角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。几何表示：∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上【考点1】全等图形的定义1．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）下列各组图形中，属于全等形的是（

）A． B．C． D．2．（2023八年级上·江苏·专题练习）全等图形是指两个图形（

）A．面积相等 B．形状一样 C．能完全重合 D．周长相同【考点2】全等三角形的性质1．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）已知△ABC≌△DBE，若BC=4，BD=7，则AE的长度为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）如图，△ABC≌△CDA，∠BAC=85°，∠B=65°，则∠CAD度数为（

）

A．65° B．85° C．30° D．35°3．（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，△ABC≌△DCB，∠DBC=40°，则∠BOC的度数为（

）A．100° B．80° C．40° D．140°4．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）下列说法正确的是（

）A．面积相等的两个三角形一定全等B．全等三角形的面积一定相等C．三角形的一个外角大于它的任意一个内角D．三角形的一个外角大于与它相邻的内角5．（24-25八年级上·四川广安·期中）如图，若△ABE≌△ACF，且AC=12，AF=5，则BF的长是（

）A．5 B．7 C．12 D．176．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，已知线段AB=30m，射线AC⊥AB于点A，射线BD⊥AB于点B，M点从B点向A运动，速度为1m/s，N点从B点向D运动，速度为2m/s，M，N同时从点B出发，若射线AC上有一点P，使得△PAM和△MBN全等，则线段APA．15m B．10m或15m C．10m D．【考点3】全等三角形的判定1．（八年级下·全国·课后作业）如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCFA．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF=AC，FD=CD，要证明△ADC≌△BDF需要的判定方法是（

）A．HL B．SSS C．AAS D．ASA3．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，DC⊥AE，垂足为C，且AC=CD，点B在CD上，若用“HL”证明△ABC≌△DEC，则需添加的条件是（

）A．CE=BC B．AB=DEC．∠A=∠D D．∠ABC=∠E4．（八年级·湖北黄冈·阶段练习）如图，AC和BD相交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（

）A．AB=DC B．OB=OC C．∠A=∠D D．∠AOB=∠DOC【考点4】全等三角形的判定与性质综合1．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，已知：AB⊥BC，AD⊥DE，AB=AD，AE=AC，AE、BC交于点F，AC、DE交于点G．(1)求证：∠BAE=∠DAC；(2)若AC=7，AF=4，求CG的长．2．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，且AE=CF．求证：(1)AC⊥BC；(2)AE+BF=EF．3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，点D是等腰△ABC外一点,∠BDC=∠BAC=120°,AB与CD相交于O,E是线段CD上一点,∠AED=30°．(1)求证：AE⊥BD．(2)求证：BD=EC．4．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l经过点C，过A作AD⊥l，垂足为D，过B作BE⊥l，垂足为E(1)求证：△ADC≌△CEB；(2)若AD=5，DE=13，求BE的长；(3)如图2，延长AD至F，连接CF，过点C作CG⊥CF，且CG=CF，连接BG交直线l于点H，若S△CGH=12，CD=6，求5．（24-25七年级下·上海静安·期中）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，AB=DE，E是BC中点，DE⊥AB，垂足为点F．(1)试说明：△BCA≌△DBE；(2)若AC=3cm，求BD6．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BE=CD，BD与CE交于点(1)试说明：△COD≌△BOE；(2)试说明：△ACE≌△ABD；(3)若CD=2，AE=5，求7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB．过点B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E(1)求证：△ABC≌△BDE；(2)若AB=13，DE=6，求CD的长．8．（24-25七年级下·陕西西安·期中）问题提出：（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①，AD是△ABC的中线，若AB=4，AC=6，求BC和AD的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了BC的取值范围，请你也算一算【探究方法】（2）他们遇到的困难是怎么也算不出AD的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE．可证出△ACD≌△EBD，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到△ABE中，进而求出AD的取值范围______；【迁移应用】（3）如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠BAC=∠BCA，求证：AE=2AD；（4）思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=909．（24-25七年级下·四川雅安·期中）（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，请探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，并说明理由．（2）拓展应用：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的线段BE，EF【考点5】全等三角形的应用1．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA,OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种作法的道理是（

）A．HL B．SSS C．SAS D．ASA2．（24-25八年级上·河南许昌·阶段练习）如图，沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知A．ASA B．SAS C．SSS D．SSA3．（24-25八年级上·山东德州·期中）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（

）A．（1）和（3） B．（3）和（4） C．（1）和（4） D．（1）和（2）4．（八年级上·江苏泰州·期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（

）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS5．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边【考点6】角平分线的性质1．（21-22八年级上·云南曲靖·期中）在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是（

）．A．三个内角角平分线的交点 B．三条高线交点C．三条中线的交点 D．三条中垂线的交点2．（23-24八年级下·重庆南岸·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为48和26，则△EDF的面积为（

）A．11 B．22 C．26 D．373．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=10，BD=6，则点D到AB的距离为．4．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=5，则点D到AB的距离是．5．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，射线OC是∠AOB的角平分线，点D为射线OC上一点，DP⊥OA于点P，PD=4，若点Q是射线OB上一点，OQ=5，则△ODQ的面积为．6．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，BD平分∠ABC交AC于点D,E为AB的中点，已知AB=4,BC=3,S△BDE=2，则7．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥BC．若AB=3，DE=2，则S△ABD=【考点7】角平分线的判定与性质综合1．（24-25八年级上·浙江·期中）学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理．【理解定理】（1）如图1，已知AD平分∠CAB，DC⊥AC于C，DB⊥AB于B，若CD=1，则DB=_____；【问题解决】（2）如图2，点B，D，C分别是AF，AG和AE上的一点，且满足BD=CD，∠ABD+∠ACD=180°．求证：AD平分∠BAC；【变式应用】（3）如图3，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D为BC的中点，E，F分别为AB，AC上一点，且∠BED=∠AFD．求△BDE和△CDF的面积和．2．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，在△ABC中，AP,CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．(1)求证：BP为∠MBN的平分线．(2)求证：∠PAC+∠PCA=∠ABC+∠APC．3．（24-25八年级上·天津·期中）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,∠ADC+∠B=180°．(1)求证：2AE=AB+AD．(2)当AD=4,BE=3时，AB=______（直接写出结果）4．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，点D在边BC的延长线上，∠ACE=28°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD于点H，且(1)证明：AE平分∠CAF(2)若AB=8，CD=10，AC=6，且S△ABE=16，求5．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD=DF．(1)求证：CF=EB；(2)试判断AB与AF，6．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=40°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接DE．(1)求证：DE平分∠ADC；(2)若AB=7，AD=4，CD=8，且S△ACD=15，求7．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．(1)判断AB、CD、AD之间的数量关系，并证明；(2)若AD=10，CB=8，求△ABE和△DCE的面积之和．

【考点8】角平分线与中线巧算面积

1．（八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于P，则A．10 B．8 C．6 D．42．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，S△BCD=45，S△ADC=20

第14章全等三角形【考点1】全等图形的定义【考点2】全等三角形的性质【考点3】全等三角形的判定【考点4】全等三角形的判定与性质综合【考点5】全等三角形的应用【考点6】角平分线的性质【考点7】角平分线的判定与性质综合

【考点8】角平分线与中线巧算面积

知识点1：全等图形全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。（一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。（二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。（三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。知识点2：全等多边形（1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.（2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等.（3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等.知识点3：全等三角形（一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（二）全等三角形中的对应元素1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。2、对应元素的确定方法（1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。（2）图形位置确定法①公共边一定是对应边；②公共角一定是对应角；③对顶角一定是对应角;（3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。（三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。知识点4：全等三角形的性质（一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。（二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。∵△ABC≌△DEF∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。知识点5全等三角形的判定1.判定全等三角形（边边边）三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。2.判定全等三角形（边角边）（1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B')①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D';④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。（2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。3.判定全等三角形（角边角）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。4.判定全等三角形（角角边）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。5.判定全等三角形（直角边、斜边）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。知识点6角的平分线的性质和判定（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。2、分别以M,N为圆心，大于123、画射线OC，射线OC即为所求。（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。（三）角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。几何表示：∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上【考点1】全等图形的定义1．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）下列各组图形中，属于全等形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查的是全等图形，根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解．【详解】解：A、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故A选项不符合题意；B、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故B选项不符合题意；C、由图可知两个图形可以完全重合，所以是全等图形，故C选项符合题意；D、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故D选项不符合题意．故选：C．2．（2023八年级上·江苏·专题练习）全等图形是指两个图形（

）A．面积相等 B．形状一样 C．能完全重合 D．周长相同【答案】C【分析】利用全等图形的定义可得答案．【详解】解：全等图形是指两个图形能完全重合．故选：C．【点睛】本题考查全等图形的概念，理解概念是解答的关键．【考点2】全等三角形的性质1．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）已知△ABC≌△DBE，若BC=4，BD=7，则AE的长度为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出AB=BD，BC=BE，根据AE=AB−BE，即可求解．【详解】解：∵△ABC≌△DBE，BC=4，BD=7，∴AB=BD=7，BC=BE=4，∴AE=AB−BE=7−4=3．故选：C．2．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）如图，△ABC≌△CDA，∠BAC=85°，∠B=65°，则∠CAD度数为（

）

A．65° B．85° C．30° D．35°【答案】C【分析】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质，先由三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再由全等三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：∵∠BAC=85°，∠B=65°，∴∠ACB=180°−∠BAC−∠B=30°，∵△ABC≌△CDA，∴∠CAD=∠ACB=30°，故选：C．3．（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，△ABC≌△DCB，∠DBC=40°，则∠BOC的度数为（

）A．100° B．80° C．40° D．140°【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和，由△ABC≌△DCB，得∠ACB=∠DBC=40°，再根据三角形的内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵△ABC≌△DCB，∴∠ACB=∠DBC=40°，∴∠BOC=180°−∠ACB−∠DCB=180°−40°−40°=100°，故选：A．4．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）下列说法正确的是（

）A．面积相等的两个三角形一定全等B．全等三角形的面积一定相等C．三角形的一个外角大于它的任意一个内角D．三角形的一个外角大于与它相邻的内角【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的定义及性质，根据全等三角形的性质，三角形的外角与三角的内角的关系逐一判断即可求解，熟练掌握全等三角形的性质，三角形外角的定义及性质是解题的关键．【详解】解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，原选项错误，不符合题意；B、全等三角形的面积一定相等，原选项正确，符合题意；C、三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角，原选项错误，不符合题意；D、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原选项错误，不符合题意；故选：B．5．（24-25八年级上·四川广安·期中）如图，若△ABE≌△ACF，且AC=12，AF=5，则BF的长是（

）A．5 B．7 C．12 D．17【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据△ABE≌△ACF得AB=AC，BF=AB−AF，计算即可．【详解】解：∵△ABE≌△ACF，∴AB=AC，∵AC=12,AF=5，BF=AB−AF=12−5=7，故选：B．6．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，已知线段AB=30m，射线AC⊥AB于点A，射线BD⊥AB于点B，M点从B点向A运动，速度为1m/s，N点从B点向D运动，速度为2m/s，M，N同时从点B出发，若射线AC上有一点P，使得△PAM和△MBN全等，则线段APA．15m B．10m或15m C．10m D．【答案】D【分析】本题考查全等三角形的性质，设运动时间为ts，则BM=t，BN=2t，AM=AB−BM=30−t【详解】解：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠CAB=∠ABD=90°，设运动时间为ts，则BM=t，BN=2t，AM=AB−BM=30−t当△PAM≌△MBN时，PA=BM=t，AM=BN=2t=30−t，解得t=10，此时PA=t=10m当△PAM≌△NBM时，PA=BN=2t，AM=BM=t=30−t，解得t=15，此时PA=2t=30m故选：D．【考点3】全等三角形的判定1．（八年级下·全国·课后作业）如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCFA．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC【答案】D【分析】本题考查了用“HL”证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件可知，两三角形是直角三角形，且有一条直角边相等，若用“HL”证明全等，需再有斜边对应相等，据此可解答．【详解】解：如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌需再有斜边对应相等，即AB=CD．故选：D．2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF=AC，FD=CD，要证明△ADC≌△BDF需要的判定方法是（

）A．HL B．SSS C．AAS D．ASA【答案】A【分析】本题考查了直角三角形全等的判定.根据AD是三角形的高，得到∠BDF=∠ADC=90°，故可根据HL可以判定．【详解】解：∵AD是三角形的高，∴∠BDF=∠ADC=90°，∵BF=AC，FD=CD，∴△ADC≌△BDF（HL），故选A．3．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，DC⊥AE，垂足为C，且AC=CD，点B在CD上，若用“HL”证明△ABC≌△DEC，则需添加的条件是（

）A．CE=BC B．AB=DEC．∠A=∠D D．∠ABC=∠E【答案】B【分析】本题考查运用“HL”证明三角形全等，根据“HL”证明三角形全等的条件即可解答．【详解】解：∵DC⊥AE，∴∠ACB=∠DCE=90°，当AB=DE时，在Rt△ABC和RtAB=DEAC=DC∴Rt△ABC≌故选：B4．（八年级·湖北黄冈·阶段练习）如图，AC和BD相交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（

）A．AB=DC B．OB=OC C．∠A=∠D D．∠AOB=∠DOC【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定方法SAS即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【详解】解：在△AOB和△DOC中，OA=OD，∠AOB=∠DOC，若要用SAS证明△AOB≌△DOC，则需要添加条件OB=OC，故选：B．【考点4】全等三角形的判定与性质综合1．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，已知：AB⊥BC，AD⊥DE，AB=AD，AE=AC，AE、BC交于点F，AC、DE交于点G．(1)求证：∠BAE=∠DAC；(2)若AC=7，AF=4，求CG的长．【答案】(1)见解析(2)CG=3【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．（1）利用HL证明△ABC≌△ADE，得到∠BAC=∠DAE，进而推出∠BAE=∠DAC；（2）利用ASA证明△ABF≌△ADG，得到AF=AG，再根据CG=AC−AG即可求出CG的长．【详解】（1）证明：∵AB⊥BC，AD⊥DE，∴∠B=∠D=90°，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∴△ABC≌△ADEHL∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC−∠EAC=∠DAE−EAC，即∠BAE=∠DAC；（2）解：在△ABF和△ADG中，∠B=∠DAB=AD∴△ABF≌△ADGASA∴AF=AG=4，∵AC=7，∴CG=AC−AG=7−4=3．2．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，且AE=CF．求证：(1)AC⊥BC；(2)AE+BF=EF．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：垂线模型，熟悉模型的构成及相关结论是解题关键．（1）证Rt△ACE≌（2）由（1）可得CE=BF，据此即可求证．【详解】（1）证明：∵AE⊥l，BF⊥l，∴∠AEC=∠BFC=90在Rt△ACE和Rt△CBF∴Rt△ACE≌∴∠EAC=∠BCF.∵∠EAC+∠ACE=90∴∠ACE+∠BCF=90即∠ACB=180∴AC⊥BC（2）解：∵Rt△ACE≌∴CE=BF.又∵AE=CF，CF+CE=EF，∴AE+BF=EF.3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，点D是等腰△ABC外一点,∠BDC=∠BAC=120°,AB与CD相交于O,E是线段CD上一点,∠AED=30°．(1)求证：AE⊥BD．(2)求证：BD=EC．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定（AAS、SAS）、角平分线的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是通过构造辅助线（延长线段、作垂线）创造全等三角形的条件，利用角度关系推导垂直和线段相等．（1）通过延长EA与BD交于点H，利用已知∠BDC=120°和∠AED=30°，根据三角形外角性质（或内角和定理）计算出∠DHE=90°，从而证明EA⊥BD；（2）先作AG⊥CD于G，结合已知角度和对顶角相等推出∠DBO=∠ACO，再利用AB=AC和直角条件证明△BHA≅△CGA（AAS）得AH=AG；接着根据角平分线性质和角度计算得出AD=AE，再推导∠DAB=∠EAC，最后用SAS证明△ABD≌△ACE，从而得出BD=EC．【详解】（1）证明：延长EA,BD相交于H．∵∠BDC=120°,∠AED=30°，∴∠DHE=∠BDC−∠DEA=120°−30°=90°．∴EA⊥BD．（2）过A作AG⊥CD于G．∵∠BDC=∠BAC=120°,∠DOB=∠AOC，∴∠DBO=∠ACO即∠HBA=∠ACG，∵AB=AC,∠BHA=∠ACG=90°，∴△BHA≌△CGAAAS∴AH=AG．∵AH⊥DH,AG⊥DG，∴DA平分∠HDG，∴∠HDA=∠ADG=1∵∠BDC=120°，∴∠HDG=60°，∴∠HDA=∠ADG=30°，∴∠ADG=∠AEG=30°，∴AD=AE．∵∠DAB=∠HDA−∠HBA=30°−∠HBA,∠EAC=∠AED−∠ACE=30°−∠ACE，∴∠DAB=∠EAC，而AD=AE,AB=AC，∴△ABD≌△ACESAS∴BD=CE．4．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l经过点C，过A作AD⊥l，垂足为D，过B作BE⊥l，垂足为E(1)求证：△ADC≌△CEB；(2)若AD=5，DE=13，求BE的长；(3)如图2，延长AD至F，连接CF，过点C作CG⊥CF，且CG=CF，连接BG交直线l于点H，若S△CGH=12，CD=6，求【答案】(1)见解析(2)BE=8(3)AF=8【分析】本题考查了同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）由AD⊥l，BE⊥l，得∠ADC=∠CEB=90°，因为∠ACB=90°，所以∠CAD=∠BCE=90°−∠ACD，而AC=CB，即可根据AAS证明△ADC≌△CEB；（2）由全等三角形的性质得AD=CE=5，因为DE=13，所以CD=BE=DE−CE=8；（3）作GL⊥l于点L，则∠CLG=∠FDC=∠BEH=90°，由CG⊥CF，推导出∠LCG=∠F，而GC=CF，可证明△CLG≌△FDC，得GL=CD=6，CL=FD，则GL=BE，再证明△GHL≌△BHE，得HL=HE，由S△CGH=12×6CH=12，求得CH=4【详解】（1）证明：∵直线l经过点C，AD⊥l，垂足为D，BE⊥l，垂足为E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CAD=∠BCE=90°−∠ACD，在△ADC和△CEB中，∠CAD=∠BCE∠ADC=∠CEB∴△ADC≌△CEB(AAS（2）解：由（1）得△ADC≌△CEB，∴AD=CE=5，∵DE=13，∴CD=BE=DE−CE=13−5=8，∴BE的长是8．（3）解：如图2，作GL⊥l于点L，则∠CLG=∠FDC=∠BEH=90°，∵CG⊥CF，∴∠FCG=90°，∴∠LCG=∠F=90°−∠FCD，在△CLG和△FDC中，∠CLG=∠FDC∠LCG=∠DFC∴△CLG≌△FDC(AAS∴GL=CD=6，CL=FD，∵CD=BE，∴GL=BE，在△GHL和△BHE中，∠GHL=∠BHE∠GLH=∠BEH∴△GHL≌△BHE(AAS∴HL=HE，∵S△CGH∴CH=4，∵CE=CH−HE，CL=CH+HL=CH+HE，∴CE+CL=CH−HE+CH+HE=2CH=8，∵AD=CE，FD=CL，∴AF=AD+FD=CE+CL=8，∴线段AF的长为8．5．（24-25七年级下·上海静安·期中）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，AB=DE，E是BC中点，DE⊥AB，垂足为点F．(1)试说明：△BCA≌△DBE；(2)若AC=3cm，求BD【答案】(1)见解析(2)6【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．（1）先证明∠A=∠DEB，即可证明△BCA≌△DBE（（2）由△BCA≌△DBE，得到BC=DB，AC=BE，由E是BC中点，得到BC=2BE=6cm【详解】（1）解：∵DE⊥AB，∴∠EFB=90°，∴∠DEB+∠ABC=90°，∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DEB，在△BCA和△DBE中，∠A=∠DEB∠ACB=∠DBC=90°∴△BCA≌△DBE（（2）解：∵△BCA≌△DBE，∴BC=DB，AC=BE，∵E是BC中点，∴BC=2BE，∵AC=3cm∴BC=6cm∴BD=BC=6cm即BD的长为6cm6．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BE=CD，BD与CE交于点(1)试说明：△COD≌△BOE；(2)试说明：△ACE≌△ABD；(3)若CD=2，AE=5，求【答案】(1)见解析(2)见解析(3)7【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．（1）由角角边即可证明△COD≌△BOE；（2）由△COD≌△BOE得OC=OB，OD=OE，（3）由△ACE≌△ABD得AC=AB=AE+BE，而BE=CD，由此即可求解．【详解】（1）证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ODC=∠OEB在△COD与△BOE中∠ODC=∠OEB∠COD=∠BOE∴△COD≌△BOE(AAS)（2）证明：∵△COD≌△BOE，∴OC=OB，∴OC+OE=OB+OD，即CE=BD；∵∠AEC=∠ADB=90°，∴△ACE≌△ABD(ASA)（3）解：∵△ACE≌△ABD，∴AC=AB=AE+BE；∴BE=CD=2，∴AC=AE+BE=5+2=7．7．（24-25七年级下·陕西西安·期中）问题提出：（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①，AD是△ABC的中线，若AB=4，AC=6，求BC和AD的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了BC的取值范围，请你也算一算【探究方法】（2）他们遇到的困难是怎么也算不出AD的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE．可证出△ACD≌△EBD，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到△ABE中，进而求出AD的取值范围______；【迁移应用】（3）如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠BAC=∠BCA，求证：AE=2AD；（4）思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90【答案】（1）2<BC<10（2）1<AD<5（3）见解析（4）EF=2AD，【分析】本题考查了三角形全等的性质和判定，三角形的三边关系等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定．（1）根据三角形的三边关系即可解答；（2）延长AD至点E，使DE=AD，连接BE．可证出△ACD≌△EBD，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到△ABE中，进而求出AD的取值范围；（3）如图2，延长AD至点F，使DF=AD，连接CF，同理得△ADB≌△FDCSAS，则AB=CF，∠B=∠DCF（4）在AD的延长线上截取DH=AD，连接CH，则AH=2AD，先证明△CDH≌△BDA得到CH=AB和∠AHC=∠BAE，进一步证明CH=AE，∠AHC=90°和∠FAE=∠ACH，再证明△FAE≌△ACH得到EF=AH和【详解】解：（1）∵AB=4，∴BC的取值范围为：6−4<BC<6+4，即2<BC<10；故答案为：2<BC<10；（2）如图1，延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠ADC=∠BDE，∴△ADC≌△EDBSAS∴BE=AC=6，△ABE中，BE−AB<AE<BE+AB，∴6−4<AE<6+4，∴2<2AD<10，∴1<AD<5，故答案为：1<AD<5；（3）证明：如图2，延长AD至点F，使DF=AD，连接CF，同理得：△ADB≌△FDCSAS∴AB=CF，∵∠BAC=∠BCA，∴AB=BC，∵AB=CE，∴BC=CE=CF，∵∠ACE=∠B+∠BAC，∴∠ACE=∠ACF，∵AC=AC，∴△ACE≌△ACFSAS∴AE=AF，∵AF=2AD，∴AE=2AD；（4）EF=2AD，如图3，在AD的延长线上截取DH=AD，连接CH，则AH=2AD，∵AD是△ABC的中线，∴CD=BD，同理得△CDH≌△BDASAS∴CH=AB，∴∠ACH+∠CAH=90°，∵AB=AE，∴CH=AE，∵∠FAC=90°，∴∠FAE+∠CAH=90°，∴∠FAE=∠ACH，∵AF=AC，∴△FAE≌△ACHSAS∴EF=AH，∴EF=2AD，8．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB．过点B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E(1)求证：△ABC≌△BDE；(2)若AB=13，DE=6，求CD的长．【答案】(1)见解析(2)7【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，（1）由题意得，∠ABC=∠BDE=90°，利用等量代换得∠ACB=∠E，即可得证；（2）由（1）得，△ABC≌△BDE，从而得AB=BD=13，DE=BC=6，进而求解即可．【详解】（1）证明：∵DE⊥BD，∴∠ABC=∠BDE=90°，∵BE⊥AC，∴∠EBD+∠ACB=90°，又∵∠EBD+∠E=90°，∴∠ACB=∠E，∵BD=AB，∴△ABC≌△BDEAAS（2）解：由（1）得，△ABC≌△BDE，∴AB=BD=13，DE=BC=6，∵CD=BD−BC=13−6=7．9．（24-25七年级下·四川雅安·期中）（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，请探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，并说明理由．（2）拓展应用：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的线段BE，EF【答案】（1）BE+DF=EF，见解析；（2）成立，理由见解析【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．（1）延长FD至G，使DG=BE，由SAS可直接证明△ABE≌△ADG，即得出AE=AG，∠BAE=∠DAG．结合题意又易证△AEF≌△AGFSAS，得出EF=GF，进而得出EF=BE+DF（2）延长CB到G，使BG=DF，连接AG，证明△ADF≌△ABGSAS，可得AG=AF,∠DAF=∠BAG，再证明△AEG≌△AEFSAS，可得【详解】解：（1）延长线段FD到点G，使DG=BE，连接AG，则∠ADG=90°，在△ABE和△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG=90°∴△ABE≌△ADGSAS∴AE=AG，∵∠BAD=120°，∴∠BAE+∠DAF=∠BAD−∠EAF=120°−60°=60°，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=60°，∴∠EAF=∠GAF=60°，在△AEF和△AGF中，AE=AG∠EAF=∠GAF∴△AEF≌△AGFSAS∴EF=GF=GD+DF，∴BE+DF=EF；（2）结论仍然成立，理由如下：如图，延长CB到G，使BG=DF，连接AG，

∵∠ABE+∠ADC=180°，∠ABE+∠ABG=180°∴∠ADC=∠ABG，在△ADF和△ABG中，AD=AB∠ADF=∠ABG∴△ADF≌△ABGSAS∴AG=AF，∵∠EAF=1∴∠BAE+∠DAF=1∴∠BAE+∠BAG=12∠BAD∴∠EAG=∠EAF，在△AEG和△AEF中，AG=AF∠EAG=∠EAF∴△AEG≌△AEFSAS∴EF=GE=BE+GB，∴BE+DF=EF【考点5】全等三角形的应用1．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA,OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种作法的道理是（

）A．HL B．SSS C．SAS D．ASA【答案】B【分析】本题考查全等三角形的判定，根据作图，可知：OM=ON,CM=CN，结合OC=OC，利用SSS证明△OMC≌△ONC，即可．【详解】解：由题意，可知：OM=ON,CM=CN，又∵OC=OC，∴△OMC≌△ONCSSS∴∠COM=∠CON，即：射线OC即是∠AOB的平分线；故依据为SSS；故选B．2．（24-25八年级上·河南许昌·阶段练习）如图，沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知A．ASA B．SAS C．SSS D．SSA【答案】A【分析】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABP=∠CDP，利用ASA定理可得，【详解】解：∵AB∥∴∠ABP=∠CDP，∵PD⊥CD，∴∠CDP=90°，∴∠ABP=90°，即PB⊥AB，∵AB∥∴PD=PB，在△ABP与△CDP中，∠ABP=∠CDP∴△ABP≌∴CD=AB=16（米），故选：A．3．（24-25八年级上·山东德州·期中）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（

）A．（1）和（3） B．（3）和（4） C．（1）和（4） D．（1）和（2）【答案】D【分析】本题考查全等三角形的判定，根据ASA，可以确定唯一三角形，进行判断即可．【详解】解：由图可知：（1）和（2）或（2）和（4）可以组成两个完整的角和两个角的夹边，根据ASA，可以确定唯一三角形，符合题意；其他组合均不能得到唯一三角形，故选D．4．（八年级上·江苏泰州·期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（

）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的应用．图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．【详解】解：由图可知，可以通过ASA画出与书上完全一样的三角形，故选：A．5．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边【答案】A【分析】此题考查了全等三角形判定方法的应用．由O是AA′、BB′的中点，可得：AO=A′O，BO=【详解】解：∵O是AA′、∴AO=A′O在△OAB和△OAAO=A∴△OAB≌△OA故选：A．【考点6】角平分线的性质1．（八年级上·云南曲靖·期中）在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是（

）．A．三个内角角平分线的交点 B．三条高线交点C．三条中线的交点 D．三条中垂线的交点【答案】A【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得到答案．【详解】解：三角形三个内角平分线交于一点，该点到三边的距离相等．故选：A．2．（23-24八年级下·重庆南岸·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为48和26，则△EDF的面积为（

）A．11 B．22 C．26 D．37【答案】A【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，作DH⊥AC，根据角平分线的性质定理得DF=DH，再证明Rt△FDE≌Rt△HDG【详解】解：过点D作DH⊥AC，于点H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB,DH⊥AC，∴DF=DH．在Rt△FDE和RtDF=DHDE=DG∴Rt△FDE≌同理Rt△FDA≌设△EDF的面积是x，则△HDG的面积是x，根据题意，得48−x=26+x，解得x=11，所以△EDF的面积是11．故选：A．3．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=10，BD=6，则点D到AB的距离为．【答案】4【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．由角平分线的性质可得点D到AB的距离等于CD，根据已知求得CD即可．【详解】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离等于CD，∵BC=10，BD=6，∴CD=BC−BD=10−6=4，∴点D到AB的距离是4．故答案为：4．4．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=5，则点D到AB的距离是．【答案】5【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质定理，即可求解．【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=5，∴DE=CD=5，即点D到AB边的距离是5，故答案为：5．5．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，射线OC是∠AOB的角平分线，点D为射线OC上一点，DP⊥OA于点P，PD=4，若点Q是射线OB上一点，OQ=5，则△ODQ的面积为．【答案】10【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作DE⊥OB于E，根据角平分线的性质求出DE，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：如图，过点D作DE⊥OB于E，∵射线OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA,DE⊥OB，∴DE=PD=4，∴S故答案为：10．6．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，BD平分∠ABC交AC于点D,E为AB的中点，已知AB=4,BC=3,S△BDE=2，则【答案】7【分析】本题考查的是角平分线的性质及三角形中线的定义，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点D作DP⊥AB于P，DQ⊥BC于Q，根据角平分线的性质得到DP=DQ，根据三角形的中线及三角形面积公式计算即可．【详解】解：过点D作DP⊥AB于P，DQ⊥BC于Q，∵BD平分∠ABC,DP⊥AB,DQ⊥BC，∴DP=DQ,∵E为AB的中点，S△BDE∴S∵S∴1∴DP=2，∴S∴S故答案为：77．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥BC．若AB=3，DE=2，则S△ABD=【答案】3【分析】本题考查角平分线的性质．过点D作DF⊥AB于点F，角平分线的性质得到DF=DE，再利用三角形的面积公式进行计算即可．【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F，∵BD平分∠ABC,DE⊥BC∴DF=DE=2，∴△ABD的面积是12故答案为：3．【考点7】角平分线的判定与性质综合1．（24-25八年级上·浙江·期中）学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理．【理解定理】（1）如图1，已知AD平分∠CAB，DC⊥AC于C，DB⊥AB于B，若CD=1，则DB=_____；【问题解决】（2）如图2，点B，D，C分别是AF，AG和AE上的一点，且满足BD=CD，∠ABD+∠ACD=180°．求证：AD平分∠BAC；【变式应用】（3）如图3，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D为BC的中点，E，F分别为AB，AC上一点，且∠BED=∠AFD．求△BDE和△CDF的面积和．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）10825【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质及勾股定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．（1）利用角平分线的性质定理，即可得证；（2）过D作DP⊥AC于P，过D作DQ⊥AB于F，证明△DCP≌△DBQAAS，得到DP=DQ（3）连接AD，过D作DH⊥AB于H，DG⊥AC于G，进而证明△DHE≌△DGFAAS，DE=DF，可证△BDH≌△CDG，得到∶DH=125【详解】（1）解：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC于C，DB⊥AB于B，∴BD=CD，∵CD=1，∴BD=1；故答案为：1；（2）证明：过D作DP⊥AC于P，过D作DQ⊥AB于F，∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCP=180°，∴∠DCP=∠DBQ，∵BD=CD，∠DPC=∠DQB=90°，∴△DCP≌△DBQ∴DP=DQ，∵DP⊥AC，DQ⊥AB∴AD平分∠EAB；（3）连接AD，过D作DH⊥AB于H，DG⊥AC于G，∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，DA平分∠BAC，BD=CD=3，∵DH⊥AB，DG⊥AC，DA平分∠BAC，∴DH=DG，∵∠BED=∠AFD，DH=DG，∠DHE=∠DGF=90°，∴△DHE≌△DGFAAS∴DE=DF，∵Rt△BDH和BD=CDDH=DG∴Rt∴S由AB=5，BD=3可得：AD=A∵12BD⋅AD=∴DH=12∴BH=B△BDE和△CDF的面积和==2S△BDH的面积2．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，在△ABC中，AP,CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．(1)求证：BP为∠MBN的平分线．(2)求证：∠PAC+∠PCA=∠ABC+∠APC．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查了角平分线的判定和性质性质，三角形外角的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．（1）过点P作PD⊥BM，PE⊥AC，PF⊥BN，根据角平分线的性质，得出PD=PF，即可证明结论；（2）由三角形外角的性质和角平分线的定义，得到∠PAC=∠MAP=∠ABP+∠APB，∠PCA=∠NCP=∠CBP+∠BPC，进而得到∠PAC+∠PCA=∠ABP+∠CBP+∠APC，再结合∠ABP=∠CBP=1【详解】（1）证明：如图，过点P作PD⊥BM，PE⊥AC，PF⊥BN，∵AP,CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，∴PD=PE，PE=PF，∴PD=PF，∵PD⊥BM，PF⊥BN，∴BP为∠MBN的平分线；（2）解：∵∠MAP是△ABP的外角，∠NCP是△BCP的外角，∴∠MAP=∠ABP+∠APB，∠NCP=∠CBP+∠BPC，∵AP,CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，∴∠PAC=∠MAP=∠ABP+∠APB，∠PCA=∠NCP=∠CBP+∠BPC，∴∠PAC+∠PCA=∠ABP+∠APB+∠CBP+∠BPC=∠ABP+∠CBP+∠APC，∵BP为∠MBN的平分线，∴∠ABP=∠CBP=1∴∠PAC+∠PCA=∠ABC+∠APC．3.（24-25八年级上·天津·期中）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,∠ADC+∠B=180°．(1)求证：2AE=AB+AD．(2)当AD=4,BE=3时，AB=______（直接写出结果）【答案】(1)见解析(2)10【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质，正确的作出辅助线是解题的关键；（1）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质可得CF=CE，先根据HL证Rt△AFC≌Rt△AEC，再根据AAS证明△FDC≌△EBC（2）由（1）可知DF=BE=3，则AE=AF=7，即可求出AB．【详解】（1）证明：过点C作CF⊥AD，∵AC平分∠BAD,CE⊥AB，CF⊥AD，∴CF=CE，∠DFC=∠BEC=∠BEC=90°，∵AC=AC，∴Rt∴AF=AE，∵∠FDC+∠ADC=180°,∠ADC+∠B=180°，∴∠FDC=∠B，∵∠DFC=∠BEC，CF=CE，∴△FDC≌△EBCAAS∴DF=BE，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AE+AF=2AE，∴2AE=AB+AD；（2）解：∵DF=BE，BE=3，∴DF=3，∴AE=AF=AD+DF=4+3=7，∴AB=AE+BE=7+3=10，故答案为：10．4．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，点D在边BC的延长线上，∠ACE=28°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD于点H，且(1)证明：AE平分∠CAF(2)若AB=8，CD=10，AC=6，且S△ABE=16，求【答案】(1)详见解析(2)32【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互