吉林省榆树市部分学校 2026-2027学年度上学期开学考试九年级数学试题（含解析）

2026-2027学年度上学期开学考试九年级数学一、单选题（共24分）1.下列各式中x的取值范围是的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义和分式有意义，分式的分母不能为0；二次根式被开方数非负．根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不等于0求出各选项的自变量的取值范围，从而得解．【详解】解：A、由得，即，故本选项不符合题意；B、由得，即，故本选项不符合题意；C、由得，即，故本选项符合题意；D、由得，即，故本选项不符合题意．故选：C．2.下列式子中，不一定是二次根式的是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式．【详解】解：二次根式定义要求被开方数，：，被开方数，总是二次根式；：中，故总是二次根式；：，当时，，无意义，不一定是二次根式；：中，故总是二次根式．故选：．3.如图，已知矩形，则下列结论一定正确的是（）A. B. C. D.所在直线为对称轴【答案】B【解析】【分析】根据矩形的性质通过分析即可得出结论．【详解】∵四边形是矩形，∴，，，∴，∴选项B正确，A、C、D不正确；故选：B．本题考查了矩形的性质，熟记矩形的对角线互相平分且相等是解决此题的关键．4.如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点C，交于点D．若，的面积为2，则k的值为（）．A. B. C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】连接，过点D分别作轴于点G，轴于点E，过点C作轴于点F，根据，可求，，即求出，再根据点D的坐标为可求，最后根据梯形的面积即可求出结果．【详解】解：连接，过点D分别作轴于点G，轴于点E，过点C作轴于点F，∵四边形是平行四边形，，，，，又∵，，，，，，，，，，，，，，又，，，，，，轴，轴，∴四边形为矩形，，设点D的坐标为，则，，，∴所以点C的坐标为，则有，，，，，又，，，故选A．本题考查了平行四边形的性质与矩形的判定及三角形相似的判定和点的坐标坐标等相关知识，熟练掌握三角形相似的判定并能正确求出点的坐标及正确作出辅助线是解出本题的关键．5.小伟参加如奕围棋学生社团年度校园挑战赛，共进行了场比赛．积分统计小组根据小伟这场比赛的得分作了如图统计图，下列说法正确的是（）A.比赛最高得分是分 B.比赛得分的中位数是分C.比赛得分数据集中在分之间 D.比赛得分的上四分位数是分【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了箱线图，解决本题的关键是根据箱线图中的各部分表示的意义逐项判断．【详解】解：A选项：由箱线图可知，比赛的最高得分是分，故A选项错误；B选项：由箱线图可知，比赛得分的中位数是分，故B选项错误；C选项：由箱线图可知，得分的上四分位数是，下四分位数是，比赛得分数据集中在分之间，故C选项正确；D选项：由箱线图可知，比赛得分的下四分位数是，故D选项错误．故选：C．6.若把分式中的x、y都扩大2倍，则分式的值（）A.扩大为原来的2倍 B.不变 C.缩小为原来的2倍 D.缩小为原来的4倍【答案】B【解析】【分析】依题意分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．【详解】解：分别用和去代换原分式中的x和y，得：，可见新分式与原分式的值相等；故选：B．本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．7.如图，将质量为10kg的铁球放在不计重力的木板OB上的A处，木板左端O处可自由转动，在B处用力F竖直向上抬着木板，使其保持水平，已知OA的长为1m，OB的长为xm，g取10N/kg，则F关于x的函数解析式为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂，把题中数据代入即可得答案．【详解】∵g取10N/kg，铁球质量为10kg，∴G=mg=10×10=100（N），∵OA=1m，OB=xm，∴由杠杆平衡原理可得：F×OB=G×OA，即，∴F关于x的函数解析式为．故选A．本题考查反比例函数的应用，熟练掌握杠杆平衡原理是解题关键．8.如图，折叠矩形纸片，使点落在点处，折痕为，已知，，则的长是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由折叠的性质可得，，，可证四边形是菱形，在中，利用勾股定理可求的长，由菱形的面积公式可求解．【详解】解：连接，如图折叠矩形纸片，使点落在点处，，，，，，∴，即，解得，，，，，，四边形是菱形，，，，二、填空题（共18分）9.如图，长方体的长为6，宽为5，高为8，棱上一点到顶点的距离为2，一只蚂蚁若要沿着长方体的表面从顶点爬到点，则爬行的最短路程为__________．

【答案】【解析】【分析】求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”以及勾股定理求解，即可获得答案．【详解】解：如图1，

根据勾股定理，可得；如图2，

根据勾股定理，可得；如图3，

根据勾股定理，可得；∵，∴爬行的最短路程为．故答案为：．本题主要考查了长方体展开图、最短路径问题、勾股定理、实数比较大小等知识，理解题意，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键．10.一种病菌的直径为，用科学记数法表示为______．【答案】【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：用科学记数法表示为，故答案为：．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．11.若点在第二象限，则m的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】先根据第二象限内点的坐标特点得出关于的不能等式组，求出的取值范围即可．【详解】解：点在第二象限，，．故答案为：．本题考查的是解一元一次不等式组，熟知：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解题的关键．12.如图，点，，分别在的边，，上，，，．（1）__________．（2）点是的中点，连接并延长交于点，则值是__________．【答案】①.##0.25②.【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．（1）先证出，根据相似三角形的性质可得，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得；（2）取的中点，连接，先根据三角形的中位线定理可得，再证出，然后根据相似三角形的性质求解即可得．【详解】解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．（2）如图，取的中点，连接，∵，∴设，则，，∴，∵点是的中点，点是的中点，∴，∴，∴，∴，故答案为：．13.如图，过反比例函数上一点A作y轴的垂线，交y轴于点B，点C，D在x轴上，满足四边形是平行四边形，若的面积为6，则k的值是_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为，通过平行四边形面积与矩形面积的关系求出的值，再结合反比例函数图象所在象限确定k的正负，进而求出k的值．【详解】解：如图，作轴，垂足为点E，则四边形是矩形，由条件可知：，又∵反比例函数图象在第二象限，∴．14.如图，在等边中，点在边上，点在外部，若，，连接，，则的形状是______．【答案】等边三角形【解析】【分析】由等边三角形的性质可以得出AB=AC，∠BAD=60°，由条件证明△ABD≌△ACE就可以得出∠CAE=∠BAD=60°，AD=AE，就可以得出△ADE为等边三角形．【详解】解：的形状是等边三角形，理由：∵为等边三角形，∴AB=AC，∠BAD=60°，在∆ABD和∆CAE中，∴∆ABD≌∆ACE，∴∠CAE=∠BAD=60°，AD=AE，∴∆ADE为等边三角形，故答案为：等边三角形．本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关性质．三、解答题（共78分）15.计算：（1）；（2）9＋7﹣5×．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据零指数幂的运算、、负指数幂运算分别求解即可；（2）根据二次根式的加减乘相关运算法则直接求解即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．本题考查实数运算，涉及到零指数幂的运算、、负指数幂运算、二次根式的加减乘相关运算，熟练掌握相关运算法则与运算顺序是解决问题的关键．16.如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴交于点．已知点A，B的坐标分别为和．（1）求反比例函数的解析式．（2）请直接写出不等式的解．（3）若点在反比例函数图象上且，求点的坐标．【答案】（1）（2）或（3）点的坐标为或．【解析】【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、图象法求不等式的解集，求反比例函数与一次函数图象的交点坐标，等面积法的运用，角平分线的性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线，利用数形结合思想求解是解题的关键．（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式中求解即可；（2）利用函数图象，求得反比例函数图象位于一次函数图象上方部分或重合处的点的横坐标的取值范围即可；（3）当点E为第一象限内的点时，设射线与轴的交点为F，过点A作轴于点H，，交轴于点D，设，利用勾股定理和等面积法解得，再利用角平分线的性质推出，接着可求出点F的坐标，利用待定系数法求直线的解析式，再联立直线与反比例函数的解析式解方程求点E的坐标；过点A作，交轴于点M，可得，设，利用等面积法求出，往下的解法同第1种情况，综合可得点E的坐标．【小问1详解】解：将点代入反比例函数，可得，反比例函数的解析式为．【小问2详解】解：不等式可化为，由函数图象可知，当或时，，不等式的解集为或．【小问3详解】解：将点代入，可得，，直线的解析式为，当时，由解得，故，如图1，当点E为第一象限内的点时，设射线与轴的交点为F，过点A作轴于点H，，交轴于点D，则，，，由勾股定理得，，设，则，，由勾股定理得，由，得，，方程两边平方整理得，，解得，，，，，，平分，点F到和的距离相等，，，，，，设直线的解析式为，代入点，，可得，解得，直线的解析式为，解方程得，，，当时，，；如图2，过点A作，交轴于点M，则，，设，则，，，，，由得，，，两边平方整理得，解得，，同理可求直线的解析式为，解方程得，，，当时，，，综上可知点的坐标为或．17.世界上因为有了圆的图案，万物显得更富有生机，以下图形(如图)都有圆，它们看上去是多么美丽和谐，这正是因为圆具有轴对称性．（1）图中的三个图形是轴对称图形的有_________；(分别用三个图的序号填空)（2）请你再画出与上面图案不重复的两个与圆相关的轴对称图案．【答案】（1）①②③（2）如图所示（答案不唯一）：【解析】【分析】（1）根据轴对称的定义：沿着某一条直线翻折，直线两边的部分能够完全重合的图形即为轴对称图形，即可判断；（2）根据定义内容画出符合要求的图形即可．【小问1详解】解：根据轴对称图形的定义可得①②③均为轴对称图形．【小问2详解】略本题侧重考查轴对称的概念，掌握其概念是解决此题的关键．18.以下是两张不同类型火车（“Dxxx次”表示动车．“Gxx次”表示高铁）的车票：（1）根据车票中的信息填空：该列动车和高铁______（填“相向”或“同向”）而行．该列动车比高铁发车早_____h：（2）已知该列动车和高铁的平均速度分别为，，两列火车的长度不计，高铁比动车早到，求A，B两地之间的距离：（3）在（2）的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距．【答案】（1）同向，1（2）A，B两地之间的距离为（3）当高铁出发或或后两车相距【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用．（1）由两张票均是A地到B地，可得出该列动车和高铁同向而行；结合两车的发车时间，可得出该列动车比高铁发车早；（2）设A，B两地之间的距离为，利用时间=路程÷速度，结合动车比高铁多用，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）设高铁出发后两车相距，分高铁还未追上动车时、高铁追上动车后以及高铁到达B地后三种情况考虑，根据两车相距，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．【小问1详解】解：∵两张票均是A地到B地，∴该列动车和高铁同向而行，∵动车发车，高铁发车，∴该列动车比高铁发车早，故答案为：同向，1．【小问2详解】解：设A，B两地之间的距离为，根据题意得，，解得．即A，B两地之间的距离为．【小问3详解】解：设高铁出发后两车相距，∴当高铁还未追上动车时，，解得，当高铁追上动车后，，解得，当高铁到达B地后，，解得，即当高铁出发或或后两车相距．19.先化简，再求代数式的值，其中【答案】，【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，然后计算特殊角的三角函数可得的值，代入计算即可得．【详解】解：．∵，∴原式．20.为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是级．请根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整．（2）补全下面的表格中的数据：________，________，________．学校平均数/分中位数/分众数/分甲校测试班级乙校测试班级（3）若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有多少人？【答案】（1）补全甲校测试班级成绩统计图如下：：（2），，；（3）人【解析】【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数、中位数与众数、用样本估计总体，从统计图中获取数据求出中位数和众数是解题的关键．根据乙学校测试班级有人的成绩是级，占总人数的，可以求出乙校参加测试的总人数人，从而可知甲校参加测试的总人数为人，用减去获得、、等于级的人数，可得获得级的人数，根据获得级的人数补全统计图；根据平均数、中位数、众数的定义分别求出、、的值即可；利用样本估计总体，用甲校参加测试的同学中级及以上同学占测试总人数的百分比代表全年级同学中级及以上人数占全年级人数的百分比计算即可．【小问1详解】解：乙学校测试班级有人的成绩是级，从乙校测试班级成绩统计图中可以看出乙学校成绩是级的占总人数的，乙校参加测试的学生的总人数为(人)，甲校参加测试的学生总数也是人，甲校成绩为级的人数为(人)，补全甲校测试班级成绩统计图如下：：【小问2详解】解：甲校参加测试的共有人，按照成绩从高到低排列第名学生应在级，甲校测试班级的中位数是分，即，乙校测试成绩获得组的人数为(人)，获得级的有(人)，获得级的有(人)，获得级的有(人)，乙校测试成绩的平均数为：，乙校测试成绩中获得级的人数最多，乙校测试成绩的众数是，故答案为：，，；【小问3详解】解：甲校测试成绩为级的人数占测试总人数的，甲校测试成绩为级的人数占测试总人数的，甲校测试成绩为级及以上的人数占测试总人数的，利用样本估计总体，可得：甲校测试成绩达到级及以上的人数为(人)，答：估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有人．21.如图，在中，，请用尺规作图的方法在内求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【解析】【分析】作的平分线交的垂直平分线于点P，连接即可．【详解】解：如图，点P即为所求，∵平分，，∴，∵点P在的垂直平分线上，∴，∴．22.甲、乙两地的路程为240千米，一辆汽车早上从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速度继续前行，当离甲地路程为180千米时接到通知，要求中午准时到达乙地，设汽车出发x小时后离甲地的路程为y千米，图中折线表示接到通知前y与x之间的函数关系.（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为____________千米/小时；（2）求线段所表示的y与x之间的函数表达式；【答案】（1）60（2）【解析】【分析】此题考查了从函数图象获取信息、待定系数法求一次函数解析式等知识，数形结合是解题的关键.（1）根据路程除以时间即可得到答案；（2）求出点E的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可.【小问1详解】解：（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为千米/小时；故答案为：60【小问2详解】休息后行驶的时间为：（小时）点.设线段所表示的y与x之间的函数表达式为，则：，解得，23.如图，在矩形中，对角线与相交于点，分别过点、作、，与交于点．求证：四边形是菱形．【答案】证明：，，，．∴四边形是平行四边形．在矩形中，，，，．∴四边形是菱形．【解析】【分析】先证四边形是平行四边形，再由矩形的性质可得，然后可得四边形是菱形．【详解】略24.已知，如图，在中，，点D在的延长线上，点E在的延长线上，，连接，过C作于F，交于G，连接．（1）求证：；（2）用等式表示和的数量关系，并证明．【答案】（1）证明：，，，，；（2），理由如下：如图，在上截取，连接，，，延长，交于点，交于点，连接，，，，，由，，，，，，在和中，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，，，垂直平分，，，．【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，同角的余角相等等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．（1）由，则，从而有，，再根据同角的余角相等即可求证；（2）在上截取，连接，，，延长，交于点，交于点，连接，证明，得，，证明，得出，通过性质证明，则，然后证明垂直平分，最后由垂直平分线的性质和线段和差即可求解；【小问1详解】略【小问2详解】略25.如图，在平面直角坐标系中，直线AB为y＝﹣x＋b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B，直线x＝1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x＝1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）．（1）求点B的坐标及点O到直线AB的距离；（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；（3）当S△ABP＝时，在第一象限找点C，使△PBC为等腰直角三角形，直接写出点C的坐标．【答案】（1）B（4，0），（2）（3）（5，7）或（8，3）或（，）【解析】【分析】（1）求出直线AB的解析式，可求点B坐标，由面积法可求解；（2）求出点