03 第三章 动量与角动量

第三章动量与角动量§1

冲量与质点动量定理§1.1冲量与质点动量定理§2.2案例研究：数量级估算1996年9月22日，美国空军一架E-3A预警机起飞滑跑，在抬起前轮的一刹那，撞上了30多只鸟，瞬间两台发动机火光冲天，飞机坠毁在机场附近的洼地，24名机组人员全部遇难。愤怒的小鸟?伤不起的飞机!

牛顿第二定律考虑的是力的瞬时效果

当一个力作用于物体并维持一定时间，其效果将是什么？

考虑力对物体作用一定时间后物体的速度，即牛顿第二定律对时间的积分形式，这是力的时间累积效应。§1.1冲量与质点动量定理牛顿运动定律的微分形式

将上式从t1→t2这段时间进行积分力的冲量

质点运动中所受合外力的冲量，等于该物体动量的增量。质点的动量定理分量表示（直角坐标系）有了牛顿第二定律，为什么还要有动量定理？冲量的方向与力的方向是一致的吗？

影响冲量的因素有哪些？

I

一般是方向和大小都变的力，但冲量总等于始末动量的矢量差。

的方向一般不是

的方向，而是微分冲量

的矢量和的方向动量：状态量冲量：过程量

当两个物体碰撞时,它们相互作用的时间很短,相互作用的力很大,而且变化非常迅速,这种力称为冲力碰撞及冲击问题中的冲力冲力平均冲力冲力的冲量等于冲击（碰撞）前后动量的变化一维问题（或者在某个方向的分量）

如果作用力F大小有限，作用时间非常短促，即t2−t1→0，I→0，则有p2−p1→0。物体的动量(或运动状态)将不会发生有限或可观的变化。

运动员在投掷标枪时，伸长手臂，尽可能地延长手对标枪的作用时间，以提高标枪的出手速率

地上的海绵垫可以延长运动员下落时与地面的接触时间，减小地面对人的冲力

当汽车发生碰撞时，安全带可以阻止乘客由于惯性被甩到挡风玻璃上，但乘客仍然要面临短时间内非常大的力的作用，所以气囊的作用就是通过延长作用时间来减弱作用在乘客身上的力。

数量级估算法是一种半定量的物理方法，是根据物理基本原理通过粗糙的物理模型进行大致的、简单的推理或对物理量的数量级进行大致的估算。学习时能够做到心中有“数”培养科学素质，形成良好的思维方式提高解决“原始问题”（实际问题）的能力§1.2数量级估算数量级估算1945年7月16日凌晨,世界上第一颗原子弹在美国墨西哥州的沙漠中进行试爆,随着原子弹爆炸后产生的火球的上升和它的颜色的变化,人们意识到试爆成功了。40s后,当首轮冲击波传到试验基地的帐篷时,物理学家费米把手中的碎纸片举过头顶撒落,并根据纸片飘落在身后大约2.5m的距离,迅速心算出这次爆炸的能量相当于104tTNT炸药。随后,复杂的仪器经过几个星期对冲击波的速度和压力进行分析,得出了与费米即时估算十分接近的结果。历史上著名的估算案例Bird

VS

Plane

?数量级估算此力约为鸟本身重力的6800倍！

飞机以200m/s的速度飞行，撞到一只质量为2.0kg的鸟，鸟的长度为0.30m，假定鸟撞上飞机后随同飞机一起运动。试估算它们相撞的冲力的平均值数量级估算2003年2月1日，美国“哥伦比亚”号航天飞机在得克萨斯州北部上空解体坠毁，7名宇航员全部遇难。“哥伦比亚”号航天飞机发射升空81.7秒后，外部燃料箱外表面脱落一块泡沫材料，撞击导致航天飞机左翼前缘的热保护系统形成裂孔。2003年2月1日航天飞机重返大气层时，1300度高温气体得以从裂孔处进入“哥伦比亚”号机体，造成航天飞机解体“哥伦比亚”号航天飞机失事!数量级估算

在2003年7月7日于得克萨斯州圣安东尼奥西南研究所进行的一次模拟实验中，一块重约0.75千克的泡沫隔热材料，以每小时约850公里的速度，撞上真正的航天飞机机翼部件，结果形成了直径40厘米的孔洞。数量级估算2012年11月25日歼-15舰载战斗机在中国海军“辽宁”号航母上成功完成起飞和着舰的动作。数量级估算

据报道歼-15舰载战斗机着舰时间只有两秒半，着舰速度每小时200公里，钩住阻拦索后滑行距离几十米停下。试求阻拦索承受的舰载机的平均冲击力。解由题中所设数据，歼-15在阻拦索阻挡下速度由200km/h即55.55m/s降为0,着舰时间为2.5s。

假设歼-15在着舰时的质量为2.0

104kg

数量级估算

美国现役航母广泛使用的阻拦装置能阻拦最大重量22.68吨、最大速度66.88米/秒的舰载机，其阻拦索直径35毫米，最大可承受近十万牛顿的拉力。数量级估算

一辆小车和一辆大卡车迎面碰上并粘在一起。在碰撞中，那辆车具有较大的加速度？答案：

AA.小车

B.卡车

C.一样大

D.由于不知道结合体最终的速度，我们不能分辨

质量为m的质点，以不变速率v沿图中正三角形ABC的水平光滑轨道运动。质点越过A角时，轨道作用于质点的冲量的大小为答案：

C例题1

一个质量m=0.14kg的棒球沿水平方向以v1=40m

s–1的速率投来，经棒打击后以相同的速率沿仰角

=60º的方向飞出。如果球与棒接触的时间为

t=0.02s，求棒对球的平均打击力？解法一：用分量式方程求解

打击力在x方向的分量

打击力在y方向的分量球受到棒的平均打击力的大小平均打击力与x方向的的夹角解法二：直接用矢量式求解等腰三角形解由冲量定义有例题2

一质点受合外力作用，外力为求此质点从静止开始在2s内所受合外力的冲量和质点在2s末的动量。(SI)根据动量定理例题3

一质量为m0且均匀分布、长度为L的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。解柔绳上端从o点处开始下落t

时刻:长为x的柔绳落至桌面dt

内:质量为

dx=m0dx/L的柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止

dx的动量变化为

dx根据动量定理，桌面在dt时间内对柔绳的冲量为柔绳对桌面的冲力F＝－F

即此时桌面对柔绳的冲力为因绳作初速为零的匀加速直线运动，即而已落到桌面上的柔绳的重量为所以，柔绳作用于桌面的压力蹦极运动

在帆船比赛中如何做到逆风前进？

帆船是没有动力的，只能依靠风作用在帆上的力前进或者转向。2.在帆船比赛时，有时需要逆风前进，如何调整帆？请利用质点动量定理来说明。课后作业与研究1.利用数量级估算法估算拉绳对蹦极运动员的平均冲击力。§2.1质点系和质心§2

质点系的动量定理§2.2质点系的动量定理§2.3质心运动定理§2.1质点系和质心若干个彼此存在相互作用的质点组成的力学系统质点系1、质点系质量分布的中心

质量离散分布系统

用mi和

表示系统中第i个质点的质量和位矢，质心C的位矢用表示2、质心

质心位矢：各质点位矢以其质量为权重的平均值

质量连续分布系统在直角坐标系中

质心的位矢随坐标系选取的变化而变化对一个质点系，质心的位置是固定的对称物体的质心就是物体的对称中心

质心和重心是两个不同的概念§2.2质点系的动量定理内力:质点系内各质点间的相互作用力。外力:系统以外的其它物体对系统内任意一质点的作用力质点系一个力是内力还是外力取决于所选系统的范围对外力和内力的区分是非常重要的质点系取质点m1作为研究对象取质点m2作为研究对象取两个质点m1

和m2作为一个质点系对于多个质点组成的系统根据牛顿第三定律——一对内力的矢量和为零质点系系统受到的外力系统的内力系统动量的增量

作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量质点系动量定理例题1

一装沙车以v

=3m

s–1的速率从沙斗下面通过。每秒钟落入车厢的沙为500kg

，如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力？(车与轨道的摩擦不计)解：设m为t时刻车厢(含已落入的沙)的质量以m和

m

为研究系统t+

t时刻

t时刻水平总动量为增量根据质点系的动量定理§2.3质心运动定理质点系的动量定理微分形式

系统所受外力的矢量和等于系统总质量与质心加速度的乘积质心运动定理在直角坐标系中有质心为整个质点系的代表点，其上集中了系统的全部质量和合外力质心的运动遵循与牛顿第二定律相同的规律系统的内力不改变质心的运动例题2

质量为m1=50kg的人站在一条质量为m2=350kg，长为L=5.6m的船头，开始时船静止。忽略水的阻力，试求当人走到船尾时船移动的距离。人在船尾时：x1x

1x2x

2x人在船头时：解水平方向不受力，质心速度不变，系统质心位置不变。x1x

1x2x

2xd又由相对运动的位移变换式例题3

一炮弹在轨道最高点炸成质量比m1:m2=3:1的两个碎片。其中m1自由下落，落地点与发射点的水平距离为R0，m2继续向前飞行，与m1同时落地。不计空气阻力，求m2的落地点。又由得解炮弹炸裂前后所受外力始终是重力，所以炮弹炸裂对质心运动没有影响，m1和m2落地时，炮弹的质心坐标应为voyx

R0x1x2m1m2将代入m1:m2=3:1得voyx

R0x1x2m1m2§3

动量守恒定律

一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的总动量就保持不变。如果质点系所受合外力为零质点系动量定理动量守恒定律质点系在运动的全过程

自然界普遍适用的一条基本规律质点系的动量守恒定律意味着在运动的全过程中，任一时刻质点系的总动量都保持不变质点系的总动量保持不变，但系统内每个质点的动量都可能发生变化由于内力的作用

内力不能改变系统的动量，但可以改变系统内各质点的动量=常量=常量=常量质点系的动量守恒定律的分量形式若质点系沿某一方向所受合外力为零，则质点系沿该方向上的动量守恒=常量但是如果系统动量守恒条件例如：碰撞、打击、爆炸等过程

外力对质点系的总动量变化影响很小时，近似地认为系统动量守恒。选定系统，分析过程对系统进行受力分析，判断系统是否满足动量守恒或系统在哪个方向上动量守恒确定系统在研究过程中的初动量和末动量。应注意各动量中的速度是相对同一惯性系而言的建立坐标系，列出动量守恒方程。求解并讨论应用动量守恒定律解题的一般步骤

质量为20g的子弹，以400m/s的速率沿图示方向射入一原来静止的质量为980g的摆球中，摆线长度不可伸缩。子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为A．2m/sB．4m/sC．7m/sD．8m/s答案：

B例题1

一辆停在水平地面上的炮车以仰角

发射一颗炮弹，炮弹相对于炮车的出膛速度为u，炮车和炮弹的质量分别为m0和m，忽略地面的摩擦，求：(1)炮车的反冲速度；(2)若炮筒长为l，在发射炮弹的过程中炮车移动的距离解

(1)以炮弹和炮车为系统，选地面为参考系系统在在水平方向上动量守恒(2)设在发射炮弹过程中的任意时刻t，炮弹相对于炮车的出膛速度为u(t)，炮弹出膛时间为t0。在发射炮弹的过程中，炮车的位移炮筒长度l炮车位移例题2

有两个长方形物体A和B紧靠着静止放在光滑的水平桌面上，已知mA

2kg，mB

3kg。现有一质量m

100g的子弹以速率v0

800m/s水平射入长方体A，经t=0.01s又射入长方体B，最后停留在长方体B内未射出。设子弹射入A时所受摩擦力为F=3×103N。(1)子弹在射入A的过程中，B受到A的作用力大小(2)当子弹留在B中时，A和B的速度大小(1)子弹射入A未进入B以前，A、B共同作加速运动B受到A的作用力(2)A在时间t内作匀加速运动，t秒末的速度vA＝at

当子弹射入B时，B将加速而A则以vA的速度继续向右作匀速直线运动

取A、B和子弹组成的系统为研究对象，系统所受合外力为零，故系统在整个过程中的动量守恒，子弹留在B中后，系统的总动量等于子弹射入时的动量，即§4

火箭飞行原理“神九”发射

火箭发射时，为尽快摆脱阻力很大的稠密大气层，通常采用垂直向上发射，在2分钟内使火箭加速到足够大的速度。2分40秒后一、二级火箭分离，在4分钟之内火箭已经飞出了稠密大气层。

脱离大气层的火箭依靠已经获得的动能继续升高。同时在地面控制中心的控制下，火箭轨道偏离竖直方向逐渐转向水平。10分钟左右火箭连同它所装载的飞船或卫星加速到预定的速度而进入轨道。1、火箭垂直起飞阶段的速度

火箭起飞阶段，受到空气阻力和重力，特别是在刚刚点火脱离地面的很短时间内，火箭缓缓上升，空气阻力可以忽略，火箭发动机的推力主要用来克服重力。

火箭依靠排出其内部燃烧室中产生的气体来获得向前的推力。设火箭发射时的质量为m0，速率为v0=0，气体相对于火箭的喷射速率为u。不计空气阻力。t时刻t+dt时刻动量得到喷出的气体质量等于火箭质量的减少量：

dm

=

dm

系统动量变化火箭起飞阶段，重力起主要作用，忽略空气阻力系统的动量定理2、火箭的推力火箭发动机的推力火箭所需的最小推力大小就是其初始重力m0g

例题1

一质量为6

104

kg的火箭竖直发射，喷射速率u为1.5

103m/s

，试问要产生克服火箭重力所需的推力，起飞时火箭每秒至少应喷出多少质量的气体？解例题2

火箭竖直立在发射台上，点火后以1500kg

s–1的速率喷出气体，气体分子的喷射速率达到3.5km

s–1。若火箭缓慢上升，火箭的初始质量最大为多少？解火箭点火后产生的推力

该火箭最大可以承载5.25

106N的重力，所以火箭初始的最大质量为3、在大气层之外或更远的自由空间飞行火箭系统的不受外力作用，动量守恒火箭喷出质量为

dm(dm<0)的气体，速度增加了dv

假设某一级火箭启动时的质量为m

0，燃料用尽时质量为m

，

火箭所能达到的最大速率火箭的质量比：m

0/m

要提高火箭的速度，可采用提高喷射速度和质量比的办法。一般多采用多级火箭来提高速度。

在飞行过程中，当某一级火箭的燃料烧完后这一级火箭自动脱落，下一级火箭又开始工作，直到最后一级的燃料用尽时，火箭就达到了所需速度。

近地轨道的有效载荷达139t，飞往月球轨道的有效载荷为47t

第一级喷气速度为2.9km/s，质量比为16，产生3.5×107N的推力美国“土星5号”运载火箭第二级喷气速度为4km/s，质量比为14第三级喷气速度为4km/s，质量比为12，理论末速度为28km/s（实际末速度远小于此结果）美国“土星5号”运载火箭例题3

运载火箭的最后一级以v=7600m

s–1

的速度飞行。这一级由一个质量为m1=780.0kg的火箭壳和一个质量为m2=590.0kg的空间实验室扣在一起。当扣松开后，二者间的压缩弹簧使二者分离。这时二者的相对速率为u=850.0m

s–1

。设所有速度都在同一直线上，求两部分分开后各自的速度。

(m1+m2)v=m1v1+m2v2解对太空惯性系，以v方向为正方向，以v1

和v2分别表示火箭壳和仪器舱分开后各自的速度。由火箭壳和仪器舱的总动量守恒给出例题3

运载火箭的最后一级以v=7600m

s–1

的速度飞行。这一级由一个质量为m1=780.0kg的火箭壳和一个质量为m2=590.0kg的空间实验室扣在一起。当扣松开后，二者间的压缩弹簧使二者分离。这时二者的相对速率为u=850.0m

s–1

。设所有速度都在同一直线上，求两部分分开后各自的速度。由于仪器舱应在前，所以

u=v2

v1即：v2=u+v1因此：(m1+m2)v0=m1v1+m2(u+v1)由此得§5质点的角动量§5.1质点对定点的角动量§5.3质点的角动量定理§5.4角动量守恒定律§5.2力对定点的力矩§5.1质点对定点的角动量(1)作匀速直线运动的质点

设质点沿AB作匀速直线运动，在相等的时间间隔内，走过的距离都相等。掠面速度:位矢在单位时间内扫过的面积。

掠面速度相等!1、探求新的守恒量=常矢量写成矢量式2、在向心力的作用下作匀速圆周运动的质点

动量不守恒常矢量，守恒!位矢的掠面速度vr/2在圆周上各点是相等的

在两种情况下，相对于某点（O）的位矢的掠面速度都相等，都相应存在一个守恒量，这就是角动量。2、质点的角动量质点关于定点O点的角动量大小方向

单位:kg

m2/s

由位矢

和动量

的方向决定，它们之间满足右手螺旋法则

如图，Oxy平面上，一质量为0.5kg的质点在直线y=3上沿x轴正方向匀速运动，速度大小为v=2m/s。当该质点运动到x=4m处时，质点对原点O的角动量大小为(单位kg·m2/s）

答案：

BA.0B.3C.4

D.5例题1

根据玻尔假设，氢原子内电子绕核运动的角动量只可能是h/2

的整数倍，其中h是普朗克常数，它的大小为6.63×10

34kg

m2

s–1

。已知电子圆形轨道的最小半径为r=0.529×10

10m，求在此轨道上电子运动的频率

。

解由于r是最小半径，所以有

电子运动的频率

大小方向右手螺旋法则单位外力对定点O的力矩

质量为m的质点对定点O的位矢为，作用在该质点上的力为§5.2力对定点的力矩§5.3质点的角动量定理根据牛顿第二定律

对于O点的力矩与角动量有什么关系？

质点对某一参考点的角动量随时间的