4.5.2等腰三角形的判定-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

湘教版数学八年级上册4.5.1等腰三角形的性质定理专项练习一、核心知识点梳理1.等腰三角形基本概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。特别地，三条边都相等的等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质。2.等腰三角形性质定理1（等边对等角）：在同一个三角形中，相等的两条腰所对的底角相等。即：若AB=AC，则∠B=∠C。该定理是三角形角度计算的核心依据，专门用于等腰三角形等边推等角，适用于所有等腰三角形角度求解与简单证明题型。3.等腰三角形性质定理2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这是等腰三角形最核心、最常用的专属性质，只需满足其中一个条件，即可直接推出另外两个结论，大幅简化几何推理步骤，是几何证明的高频考点。4.等腰三角形对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线。利用轴对称性质可快速推导边角相等、线段垂直、角平分等结论，为综合几何题型提供解题思路。二、本章高频易错点汇总1.定理适用范围混淆：“等边对等角”仅适用于同一个三角形，跨三角形不能直接套用，容易出现边角推理错误。2.三线合一误用场景：三线合一仅针对顶角、底边的中线、底边的高，腰上的中线、高不满足该性质，是本节最高频易错点。3.角度计算漏解：已知等腰三角形一个内角，未区分顶角与底角，忽略锐角、钝角分类讨论，导致答案不完整。4.概念认知误区：误认为等边三角形与等腰三角形是独立图形，忽略等边三角形属于特殊等腰三角形，遗漏其性质通用规则。三、同步专项练习题（一）选择题（每题5分，共20分）1.等腰三角形的两个底角（）A.互余B.互补C.相等D.不等2.等腰三角形不具备的性质是（）A.两底角相等B.三线合一C.轴对称图形D.三条对称轴3.已知等腰三角形顶角为80°，则底角为（）A.40°B.50°C.80°D.100°4.等腰三角形的“三线合一”不包括（）A.顶角平分线B.底边上的高C.腰上的中线D.底边上的中线（二）填空题（每题6分，共24分）1.在等腰三角形中，等边对________。2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、________互相重合。3.已知等腰三角形一个底角为65°，则顶角为________°。4.等腰三角形是________图形，对称轴为底边上的高所在直线。（三）解答题（共56分）1.（16分）已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=55°，求△ABC另外两个内角的度数。2.（20分）已知：AB=AC，AD⊥BC，求证：AD平分∠BAC。3.（20分）已知等腰三角形顶角比底角大30°，求该三角形三个内角的度数。四、参考答案与详细解析（一）选择题解析1.C解析：等腰三角形核心性质，等边对等角，两底角相等。2.D解析：等腰三角形只有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴。3.B解析：等腰三角形两底角相等，底角=(180°-80°)÷2=50°。4.C解析：三线合一特指顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，腰上的中线不适用。（二）填空题解析1.等角解析：等边对等角是等腰三角形核心性质定理，仅限同一三角形。2.底边上的中线解析：三线合一完整定义，三者两两等价、可互相推导。3.50解析：两底角均为65°，顶角=180°-65°×2=50°。4.轴对称解析：等腰三角形轴对称属性，是图形折叠、对称题型的基础。（三）解答题解析1.解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=55°（等边对等角）。∴∠A=180°-55°-55°=70°。答：∠A=70°，∠C=55°。2.证明：∵AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一性质，底边上的高与顶角平分线重合，∴AD平分∠BAC。命题得证。3.解：设底角为x°，则顶角为(x+30)°。由三角形内角和得：2x+x+30=180，解得x=50。底角为50°，顶角为80°。答：三个内角为50°、50°、80°。五、专项总结本节重点掌握等腰三角形两大核心性质：等边对等角、三线合一，熟练运用性质完成角度计算与简单几何证明。明确等腰三角形的轴对称特征，精准区分三线合一的适用条件，规避腰与底边性质混淆、角度计算漏解、跨三角形套用定理等高频错误。等腰三角形是三角形模块的重点内容，承接普通三角形内角性质与全等证明，是后续等边三角形、几何综合证明、折叠题型的核心基础。同学们需牢记定理适用范围与专属特征，熟练掌握角度计算方法与规范推理步骤，养成分类讨论、精准识图的解题习惯，全面夯实等腰三角形知识体系，为后续几何重难点学习筑牢根基。（全文1324字）湘教版（新教材）数学八年级上册4.5.2等腰三角形的判定授课教师：.

班

级：

8年级（

）班.

时

间：.

2026/9/21

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第4章三角形学习目标1.掌握等腰三角形的判定方法；（重点）2.会运用等腰三角形的判定定理进行相关证明和计算.推进新课等腰三角形两腰相等的三角形是等腰三角形等腰三角形的两个底角相等.

(简写成“等边对等角”)ACBD12逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形这个命题是否为真命题，应该如何证明呢？等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形任意画∠EBC，在线段BC的同侧，以C为顶点作∠FCB，使∠FCB=∠EBC，BE与CF交于点A，得到△ABC，如图所示.用圆规量一量AB和AC，它们相等吗？由此，你能发现什么？猜想：

可以发现

AB=AC，从而△ABC

是等腰三角形.以过点

A

的一条直线为折痕对折，使得射线

AC与射线

AB重合，折痕与

BC

的交点记作

D，则

AD

为∠BAC

的平分线.ABCD如图，在∠ABC

中，∠B=∠C，在△ABD

和△ACD

中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD，所以△ABD≌△ACD(角角边).从而

AB=AC，因此△ABC

是等腰三角形文字语言：几何语言：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.等腰三角形的判定定理：ABCD所以

AC=AB

（

），即△ABC为等腰三角形.因为∠B=∠C

（

），已知等角对等边在△ABC中，下列条件能判定△ABC为等腰三角形的是（）A.∠A=40°，∠B=50°B.

∠A=40°，∠B=60°C.

∠A=40°，∠B=70°D.

∠A=40°，∠B=80°C试一试

D

返回2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于D，CE平分∠ACB交BD于E，图中等腰三角形的个数是(

)A．3B．4C．5D．6C返回所以∠ABD＝∠EBC＝∠ACE＝∠ECB＝36°，所以△EBC是等腰三角形．因为∠ABD＝∠A＝36°，所以△ABD是等腰三角形．因为∠CED＝∠ECB＋∠EBC＝72°，且∠CDE＝∠ABD＋∠A＝72°，所以∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝72°，所以△EDC和△BCD是等腰三角形．综上所述，共有5个等腰三角形．故选C.如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是AB，

AC上的点，且DE//BC.求证：△ADE为等腰三角形.证明：因为AB=AC，所以∠B=∠C（等边对等角）.又因为DE//BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C.因此∠ADE=∠AED.于是△ADE为等腰三角形（等角对等边）.例题2例题3求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.已知：如图，∠CAE

是△ABC

的外角，∠1=∠2，AD∥BC.求证：AB=AC.分析

要证明

AB=AC，可先证明∠B=∠C.因为∠1=∠2，所以应想办法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系.证明：因为AD

∥BC，所以∠1

=∠B（两直线平行，同位角相等）.∠2

=∠C（两直线平行，内错角相等）.又因为∠1=∠2，所以∠B=∠C.因此AB=AC（等角对等边）.

80返回返回4．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点E，F分别在BA，BC的延长线上，∠ABC，∠ACF与∠EAC的平分线相交于点D.以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③△ABD和△ACD都是等腰三角形．其中正确的