湖南省益阳市2027届高三上学期9月教学质量监测数学试卷（含答案）

湖南省益阳市2027届高三9月教学质量监测数学试题一、单选题1．已知，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足：，则（

）A．-1 B．-i C．1 D．i3．已知等差数列满足：，，则（

）A．2025 B．2026 C．4050 D．40524．已知，则（

）A． B． C． D．5．在中，，，，为边的6等分点（），则（

）A．4 B．5 C．8 D．106．已知，，则（

）A．若，则 B．若，则C．若互斥，则 D．若互斥，则7．已知，则关于实数x，y，z的下列结论中不可能成立的是（

）A． B． C． D．8．已知抛物线的焦点为，直线交于P，Q两点，点的坐标为，则下列结论正确的是（

）A．若上的点满足，则B．上有且仅有两个点满足C．若直线过点，取得最大值，则的面积等于16D．为坐标原点，若，取得最小值，则点到的距离为8二、多选题9．已知函数（，，）的部分图象如下图所示，根据图中信息可知下列结论正确的是（

）A． B． C． D．10．已知函数，则（

）A．函数在上单调递减B．曲线在处的切线是C．函数的最小值是D．函数有且只有两个零点11．如图，在矩形中，，，B为的中点，现分别沿，将，翻折，使点E，F重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（

）A．三棱锥的体积为B．直线与直线所成角的余弦值为C．直线与平面所成角的正弦值为D．三棱锥外接球的体积是三、填空题12．已知双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_______．13．一个数阵有行6列，第一行中的6个数互不相同，其余行都由这6个数以不同的顺序组成．如果要使任意两行的顺序都不相同，那么的值最大可取________．（用数字作答）．14．已知平行四边形，点为边的一点，且，点是直线上一动点，又数列满足，恒有，记的前项和为，则________．四、解答题15．某银行储蓄卡的密码由6位数字组成，在该银行自助取款机上取款时，若密码输入正确，则可成功取款，若密码连续输错3次，则不能继续输密码，取款失败．甲利用储蓄卡在该银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字．求：(1)任意按最后1位数字，不超过2次就成功取款的概率；(2)如果记得密码的最后1位是偶数，记表示取钱时输密码的次数，求随机变量的分布列和数学期望．16．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求；(2)若，求面积的最大值．17．如图，在直三棱柱中，是侧棱的中点，，，是底边的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值．18．在平面直角坐标系中，圆的方程为：，定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点．(1)求点的轨迹的方程；(2)设不过原点的直线l：与交于、两点，直线、的斜率分别为、，满足．（i）当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由；（ii）求面积的取值范围．19．已知函数，，．(1)求的最大值；(2)对任意实数x，恒成立，求实数的最大值；(3)若，且，其中，．求证：．参考答案1．C2．D3．A4．D5．B6．B7．C8．C9．ABD10．BC11．ACD12．13．72014．15．（1）设“第次成功取款”，则事件“不超过2次就成功取款”可表示为．则．（2）根据题意，可能的取值为1，2，3．记“最后1位密码为偶数”，，，，所以的分布列为123故随机变量的期望．16．（1）由已知得，又，所以，又，所以．因为，所以，所以．又，所以．（2）由及得：．所以，，即，因为，所以，在中，当时，取得最大值1．所以面积的最大值是．17．(1)因为，，所以，．在直三棱柱中，有底面侧面，因为平面，平面平面，所以平面．在平面内过点作直线，以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系．则，，，，．所以，，设为平面的一个法向量，则得，令，则，，则．又．则，所以．又平面，所以平面．（2）由（1）可知，，．设是平面的一个法向量，则，得，令，则，，则．由（1）可知，平面的一个法向量是．所以，．所以，二面角的正弦值是．18．（1）由题设条件可得，，，所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，又，，，所以，故点的轨迹的方程为；(2)（i）当变化时，是定值，定值为．证明如下：设，，由，得，当时，有，①，因为直线、的斜率依次为、，所以，所以②，由①②解得，经验证成立，所以结论成立．（ii），令，得．所以，面积的取值范围为．19．（1）解：由函数可得其定义域为，且，令，即，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为．（2）解：由对于任意，都有，即，因为函数，可得，令，可得．当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，且，所以，可得，解得，所以实数的最大值.(3)证明：由（2）知，所以，不妨设，，因为，由（1）知：；由（2）