上海嘉定一中2025-2026学年高一下学期数学期末试卷（含答案）

嘉定一中2025-2026学年第二学期高一年级数学期末2026.6一、填空题（本大题共12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1～6小题每题4分，7～12小题每题5分．1.已知，则______．2.已知，求______．3.已知，则______．4.设为等差数列的前项和，若，则______．5.若为等比数列，，则______．6.如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则四边形的周长为______．7.设，已知方程的两虚根为、．若，则______．8.已知数列前项和为，且满足，则______．9.设函数．已知，，且的最小值为，则______．10.已知平面向量与满足，，且在方向上的投影向量为，则______．11.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为复至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）为，复至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）4米，则表高（即的长）为______米．（近似到0.1米）12.等差数列，存在正整数，使得，若集合有4个不同元素，则的可能取值有______个．二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）每题只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知三角形，如果，则该三角形形状为（）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上选项均有可能14.若平面向量，，则（）A. B. C. D.15.已知直线为两条不重合的直线，若直线与正方体的各棱所成的角相等，则“直线与正方体的各棱所成的角相等”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件16.若对于任意的，都存在．使得成立，则下列选项中，可能的值为（）A. B. C. D.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在长方体中，为的中点．．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）设复数，，在复平面上所对应的点分别为，求的面积．（2）已知复数，若复数是纯虚数，且满足，求在复平面内对应点的坐标．19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）等差数列，等比数列，，，，如果（1）求的通项公式（2），求的最大项的值20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）如图，边长为6的正方形ABCD中，E在边AB上运动（不包括端点），F在边BC上运动（不包括端点），AF与DE交于点G．（1）若，分别是的中点，用向量法证明；（2）若E是AB的中点，，，求实数的值；（3）若，，求的最大值．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数，．（1）分别写出函数和的值域和单调区间；（2）求函数的所有零点；（3）令函数，常数，若函数在内恰有2027个零点，求实数与的所有取值．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为复至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）为，复至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）4米，则表高（即的长）为______米．（近似到0.1米）【答案】【解析】由题可知：，在中，由正弦定理可知：，即，则，

又在中，，所以，故选：D．12.等差数列，存在正整数，使得，若集合有4个不同元素，则的可能取值有______个．【答案】【解析】设等差数列首项为，公差为，则,

由题意，存在正整数，使得，若集合有4个不同元素，得4，

当时，，即，所以，或者舍弃,所以，取时，，在单位圆上的4个等分点可取到4个不同的正弦值，

即集合可取4个不同元素；

当，即，所以，此时在单位圆上的5个等分点，取到的，不可能取到4个不同的正弦值，故不成立；

同理，当，集合可取4个不同元素；

当时，，单位圆上至少9个等分点取4个不同的正弦值，必有至少3个相等的正弦值，不符合集合元素的互异性，故答案为：4．二、选择题13.B14.C15.B16.三、解答题17.（1）证明略（2）18.（1）（2）19.（1）（2）20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）如图，边长为6的正方形ABCD中，E在边AB上运动（不包括端点），F在边BC上运动（不包括端点），AF与DE交于点G．（1）若，分别是的中点，用向量法证明；（2）若E是AB的中点，，，求实数的值；（3）若，，求的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）当时，取得最大值为1．【解析】（1）证明：分别以所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，

可得，结合分别是的中点，可知，，所以，

因为，所以．

（2）根据（1）中所建平面直角坐标系，可得，结合是的中点，且，可得，，所以，

设，可得，由，可得，解得，即，

设，即，可得，解得．

（3）因为，且三点共线，所以，

设，可得,，

所以，

结合，可得，即所以当且仅当，即时，等号成立，

综上所述，当时，取得最大值为1．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数，．（1）分别写出函数和的值域和单调区间；（2）求函数的所有零点；（3）令函数，常数，若函数在内恰有2027个零点，求实数与的所有取值．【答案】（1）值域均为，增区间为，减区间为；的增区间为，减区间为，以上（2）（3）【解析】（1）略（2），得或所以所求零点为，以上（3）令，即，其中,

设该方程两根为，则有，不妨设，

考虑在内的零点个数，设，

当时，在内的零点个数依次为；

当时，在内的零点个数依次为；

当时，在内的零点个数依次为；