四川省宜宾市南溪第一中学校2027届高三上学期月考（四）数学试卷（含答案）

四川省宜宾市南溪第一中学校2025-2026学年高三基地班上学期数学试题（四）一、单选题1．若集合，，则下面结论中正确的是（

）A． B．C． D．2．已知复数z满足，则复数z的虚部为（

）A．2i B．i C．2 D．13．不等式的解集是（

）A． B．C． D．4．某数据样本的频率分布直方图如下图所示，则该组数据的众数、平均数、中位数的大小关系为（

）A．众数<平均数<中位数B．众数<中位数<平均数C．中位数<平均数<众数D．众数=平均数=中位数5．“”是“函数的值域为”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知，则（

）A． B． C． D．7．设定义在上的函数的导函数满足，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．8．若实数满足，则下列结论不可能成立的是（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知，，，则（

）A． B．C． D．10．已知函数，则下列说法中正确的是（

）A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称C．若，则的最小值为D．若，则的最小值为11．已知函数定义域为，其导函数为，且，则下列说法正确的是（

）A．一个对称中心为 B．的一个周期为2C．的图象关于对称 D．三、填空题12．已知，且，则_____.13．袋子中有3个红球，2个黄球，m个蓝球，现从中任取两个球，记取出的红球个数为X，若取出的两个球都是红球的概率为，则______．14．已知函数，则的最大值是________．四、解答题15．已知中，，，分别为内角，，的对边，且．(1)求角的大小；(2)若，的角平分线交于点，求的长度．16．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16．(1)求椭圆C的标准方程；(2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值．17．如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，．(1)若点为线段的中点，证明：//平面；(2)若点为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积.18．在一个不透明的箱子里放入大小，材质均相同的5个小球，红球3个，白球2个．甲、乙两人现在一起玩抽球游戏，规则如下：甲每次直接抽取两个球，若同色则继续抽球；若异色则交由乙抽球．乙每次有放回的抽球两次，每次抽一球，若同色则继续抽球；若异色则交由甲抽球．由甲先抽球，两人共进行次抽球后，游戏结束．(1)分别求甲，乙两人每次抽球时，抽到两个球颜色相同的概率；(2)求第次甲抽球的概率；(3)若表示乙抽球前甲抽球的次数，求．19．已知．(1)证明：曲线是中心对称图形；(2)若时，恒成立，求的最小值；(3)若的图象关于点对称，且的解集为，求的取值范围．1．D2．D3．A4．B5．D6．B7．D8．D9．ACD10．BC11．ACD12．13．114．15．（1）因为，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，因为，所以；（2）在中，因为，所以，则；16．（1）由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即，又离心率为所以．所以椭圆C的方程为：．（2）依题意，直线l与x轴不重合，设l的方程为：．联立得：，因为在椭圆内，所以，即，易知该不等式恒成立，设，由韦达定理得．又，则注意到，即：.17．(1)取中点，连接，.如图：因为为中点，所以且.又且，所以且.所以四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）取中点，连接，，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以且.由，，，所以四边形为正方形，所以，.因为，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.在平面内作直线的垂线，则平面，有，.以为原点，分别以所在直线为坐标轴，建立如图空间直角坐标系.因为，所以平面，因为平面，所以.由，，可得.由余弦定理，,所以.所以，，.所以，.设，.底面的一个法向量为.设直线与底面所成的角为，则.当时，；当时，.所以当时，取得最大值.此时，.所以到平面的距离为，又，所以此时三棱锥的体积为.18．（1）甲每次抽球，抽到两个颜色相同的球的概率为；乙每次抽球，抽到两个颜色相同的球的概率为.（2）表示第次抽球的人是甲，表示第次抽球的人是乙，表示抽到两个球为同色，，则，于是，又，，因此为以为首项，为公比的等比数列，则，即，所以第次甲抽球的概率为.（3），，，，，两式相减得，所以.19．(1)由得，所以的定义域为，，关于点中心对称；（2）当时，恒成立，则恒成立，，，，