人教版数学八年级上册 13.3.1三角形的内角 学案 含答案

13.3.1.1三角形的内角【学习目标】1.掌握三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；

2.能运用三角形内角和定理解决三角形中角度的计算问题，包括已知两角求第三角、已知内角比例关系列方程求解等。【学习重点】1.三角形内角和定理的内容与证明；

2.运用三角形内角和定理解决简单的角度计算问题。【学习难点】1.三角形内角和定理的证明思路（如何通过平行线将三个内角转化为一个平角）；

2.辅助线的引入与作用理解。【自主预习】阅读教材，完成以下问题：1.获得三角形内角和为180°的方法有2.几何证明三角形内角和为180°的辅助线做法的思路是。【课堂探究】探究一、三角形内角和【引导回顾】问1.三角形按角可以分为哪几类？问2.三角尺的三个角之和是多少？问3.任意三角形的内角和都是180°吗？1.测量法【方法一：测量法】

1.发放实验记录单，指导学生操作：

（1）画一个任意三角形ABC；（2）用量角器分别测量∠A、∠B、∠C的度数；（3）计算三个角的和，记录在表格中；（4）换不同形状的三角形重复实验。

2.展示学生的实验数据，提问：观察这些数据，你发现了什么？

2.折叠法【方法二：折叠法】

1.演示操作步骤：（1）将三角形的三个角向内折叠；（2）使三个角的顶点重合于一点；（3）观察折叠后的形状。

2.提问：折叠后三个角组成了什么角？和剪拼法的结果一致吗？3.剪拼法【方法三：剪拼法】

1.演示操作步骤：（1）画三角形ABC，标出三个内角；（2）沿边剪下三个角；（3）将三个角的顶点重合拼在一起，观察形成的图形。

2.播放剪拼法动态动画，提问：三个角拼成了一个什么角？3.几何证明法【过渡提问】我们通过实验发现三个角能拼成一个平角，那能不能把这个过程“翻译”成几何证明呢？回想一下，我们学过的哪些知识和平角、和180°有关？（平行线性质：两直线平行，同旁内角互补）

【引导思路】要证明三个角的和是180°，我们可以想办法把这三个角“移”到同一个顶点，组成一个平角。怎么“移”？——利用平行线的性质，让另外两个角和第一个角形成内错角或同位角。问1:观察图象∠1和∠2之间有什么关系,∠3和∠4之间有什么关系？问2.直线a和直线b有何特殊位置关系?你发现了证明的思路吗？

【证法1：过顶点作平行线】

已知：如图△ABC。

求证：∠A+∠B+∠C=180°。

典例分析【例1】基础应用

（1）在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，则∠A的度数为_________。

（2）在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠B=______。（3）求出下列各图形中x的值

【例2】（1）在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求三个内角的度数。

（2）在△ABC中，∠A=12∠B=16∠C，求三个内角的度数。（4）在△ABC

中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求【例3】综合应用（角平分线）如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。【例4】实际应用（方位角）

如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。求从C岛看A、B两岛的视角∠ACB的度数。

变式训练1.如图，在△ABC中，∠A=46°，CE是∠ACB的平分线，B、C、D在同一条直线上，FD∥EC，∠D=42°，求∠B的度数。

2.如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD平分∠ABC，求∠BDC的度数。

3.轮船从B处沿南偏东30°方向航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行一段路程到达点C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，求∠A的度数。【课堂总结】【课堂练习】1.在△ABC中，∠A=60°，∠B=20°，则∠C的度数为（）

A.20°B.60°C.80°D.100°2.如图，△ABC平移后得到△DEF，∠A=55°，∠B=45°，则∠DFE的度数是____。3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝70°，∠4.一个内角为30°的直角三角板与两条平行线l₁和l₂相交，已知∠1=50°，则∠2的度数为___。4.如图，AC和BD相交于点O，∠A=20°，∠B=40°，则∠C+∠D的度数为____。5.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，已知∠ABC=52°，∠A=60°，求∠BFC的度数。7.如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏东30°方向，求从C岛看A，B两岛的视角【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？

13.3.1.1三角形的内角【学习目标】1.掌握三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；

2.能运用三角形内角和定理解决三角形中角度的计算问题，包括已知两角求第三角、已知内角比例关系列方程求解等。【学习重点】1.三角形内角和定理的内容与证明；

2.运用三角形内角和定理解决简单的角度计算问题。【学习难点】1.三角形内角和定理的证明思路（如何通过平行线将三个内角转化为一个平角）；

2.辅助线的引入与作用理解。【自主预习】阅读教材，完成以下问题：1.获得三角形内角和为180°的方法有测量法、折叠法、剪拼法、几何证明法。2.几何证明三角形内角和为180°的辅助线做法的思路是利用平行线把三个角转化到一个平角中。【课堂探究】探究一、三角形内角和【引导回顾】问1.三角形按角可以分为哪几类？锐角三角形、直角三角形、钝角三角形问2.三角尺的三个角之和是多少？30°+60°+90°=

180°45°+45°+90°=

180°问3.任意三角形的内角和都是180°吗？大胆猜想：三角形三个内角的和是个定值为180°1.测量法【方法一：测量法】

1.发放实验记录单，指导学生操作：

（1）画一个任意三角形ABC；（2）用量角器分别测量∠A、∠B、∠C的度数；（3）计算三个角的和，记录在表格中；（4）换不同形状的三角形重复实验。

2.展示学生的实验数据，提问：观察这些数据，你发现了什么？

【结论】无论三角形的形状如何，三个内角度数之和为180°2.折叠法【方法二：折叠法】

1.演示操作步骤：（1）将三角形的三个角向内折叠；（2）使三个角的顶点重合于一点；（3）观察折叠后的形状。

2.提问：折叠后三个角组成了什么角？和剪拼法的结果一致吗？【结论】无论三角形的形状如何，三个内角度数之和为180°3.剪拼法【方法三：剪拼法】

1.演示操作步骤：（1）画三角形ABC，标出三个内角；（2）沿边剪下三个角；（3）将三个角的顶点重合拼在一起，观察形成的图形。

2.播放剪拼法动态动画，提问：三个角拼成了一个什么角？【结论】无论三角形的形状如何，三个内角度数之和为180°【教师总结】1、测量法操作简单、数据直观，但由于测量存在误差，结果都接近180°，但不一定精确等于180°。

2、剪拼法直观展示了三个角可以拼成一个平角，但操作过程会破坏纸片，且拼接时的微小偏差可能影响判断。3.折叠法，不破坏纸片，可重复，但折叠需较精准：三种方法都验证了我们的猜想：三角形的内角和等于180°，且和三角形的形状、大小无关。但这都是实验得出的结果，要说明“所有三角形的内角和都是180°”，还需要严格的数学证明。有什么科学严谨的方法来论证了？3.几何证明法【过渡提问】我们通过实验发现三个角能拼成一个平角，那能不能把这个过程“翻译”成几何证明呢？回想一下，我们学过的哪些知识和平角、和180°有关？（平行线性质：两直线平行，同旁内角互补）

【引导思路】要证明三个角的和是180°，我们可以想办法把这三个角“移”到同一个顶点，组成一个平角。怎么“移”？——利用平行线的性质，让另外两个角和第一个角形成内错角或同位角。问1:观察图象∠1和∠2之间有什么关系,∠3和∠4之间有什么关系？∠1和∠2是内错角，且∠1=∠2；∠3和∠4是同位角，且∠3=∠4；问2.直线a和直线b有何特殊位置关系?a//b你发现了证明的思路吗？

【证法1：过顶点作平行线】

已知：如图△ABC。

求证：∠A+∠B+∠C=180°。

证法1.证明：过点C作直线l∥AB。

∵l∥AB，∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等），

∠B=∠2（两直线平行，内错角相等）。

∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定义），

∴∠A+∠B+∠ACB=180°。【证法2：拓展】还可以过点A作BC的平行线，或者延长BC构造平行线，思路都是一样的：利用平行线把三个角转化到一个平角中。思考教师的问题，联想平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，或者内错角相等。

观察教师的作图，理解“过C作AB的平行线”的作用：把∠A和∠B分别“移”到∠C的旁边，和∠C组成平角。证法2：过点A作l∥BC∴∠C=∠1∠B=∠2∵∠2+∠1+∠BAC∴∠证法3：过点A作l∥BC∴∠C=∠1∠B+∠∵∠BAD∴∠B证法4：过边BC上一点D作l∥AB，∴∠B=∠1,∠C=∠2,∵∠1+∠2+∠4=180°，∴∠A+∠【归纳定理】三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。典例分析【例1】基础应用

（1）在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，则∠A的度数为60°。

（2）在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠B=50°。（3）求出下列各图形中x的值x=70x=60x规律与方法：8字模型中：∠A+∠B=∠C+∠D

【小结】已知两角求第三角，直接用内角和定理列式计算。

【例2】（1）在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求三个内角的度数。

（4）在△ABC

中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求解：设∠A=2x°，由题意，得∠即2x+3x∴∠A=40°，∠解：设∠A=x°，由题意，得∠即x+2x+6∴∠A=20°，∠解：设∠A=(x+60)°，由题意，得∠即x+60+x+30+∴∠A=90°，∠解：设∠A=3x°，由题意，得∠即3x+x∴∠A=99°，∠B=33°，∠C=48°如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。

【思路引导】先在△ABC中求∠BAC和∠B的和，再在△ABD中用内角和定理求∠ADB。

解：∵∠BAC=40

°，AD是∴∠BAD=

在△ABD中，∴∠ADB

=180°–75°–20°=85°.

【例4】实际应用（方位角）

如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。求从C岛看A、B两岛的视角∠ACB的度数。

法一：解：∵∠CAB又∵∠BAD=80°，∴∠∵AD//BE∴∠∠ABC在△ABC中，∠方法二：解：由题意可得：∠DAC=50°过点C作CF∵CF//∴CF//∴∠BCF＝∠CBE

＝40

°∴∠变式训练1.如图，在△ABC中，∠A=46°，CE是∠ACB的平分线，B、C、D在同一条直线上，FD∥EC，∠D=42°，求∠B的度数。解：∵FD//EC,∴∠∵CE是∠ACB∴∠∵∠B=180°∴∠B=180°−84°−46°=50°

2.如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD平分∠ABC，求∠BDC的度数。

解：∵∵在△ABC中，∠∴x+2x+2x=180∵BD平分∠ABC∴∠∴∠3.轮船从B处沿南偏东30°方向航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行一段路程到达点C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，求∠A的度数。解：根据题意画出图形，得∠1＝∠2＝30°∵∠ACD∴∠∵∠CBA∴∠A【课堂总结】【课堂练习】1.在△ABC中，∠A=60°，∠B=20°，则∠C的度数为（D）

A.20°B.60°C.80°D.100°2.如图，△ABC平移后得到△DEF，∠A=55°，∠B=45°，则∠DFE的度数是_80°___。3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝70°，∠BAD＝30°4.一个内角为30°的直角三角板与两条平行线l₁和l₂相交，已知∠1=50°，则∠2的度数为_70°__。4.如图，AC和BD相交于点