人教版数学八年级上册 13.3.1三角形的内角（第2课时 直角三角形的性质和判定）（练习题） 同步练习 含答案

分层作业13.3.1三角形的内角第2课时直角三角形的性质和判定目录A组巩固过关 题型01已知直角三角形中一锐角度数求另一个锐角度数 题型02利用方程思想求直角三角形锐角度数 题型03利用三角板求直角三角形锐角度数 题型04利用翻折/旋转求直角三角形锐角度数 题型05利用直角三角形性质综合解决问题 题型06利用直角三角形的判定解决问题 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 题型01已知三角形中一锐角的度数求另一锐角度数题型011．在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=42°，则∠B的度数为（

A．38° B．48° C．58° D．68°2．如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，点A表示轮船的初始位置，点B表示轮船行进中某一时刻的位置，当轮船从点A行驶到距离灯塔最近点时，此时∠ACB的度数为（

）A．40° B．50° C．60° D．80°题型02利用方程思想求直角三角形锐角度数题型023．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A:∠B=1:2，则两个锐角的度数为（

A．30°和60° B．45°和45° C．40°和80° D．以上说法都不对4.在Rt△ABC中，若两锐角之差为10°，则较大锐角的度数为（

A．45° B．50° C．55° D．60°5.如图，在直角三角形ABC与直角三角形ACE中，∠B=50°，∠BCD比∠ACE大20°，则∠EAD=________．题型03利用三角板求直角三角形锐角度数题型036.将一副教学常用三角板（厚度不计）如图摆放，则∠α=（

）A．60° B．55° C．45° D．30°7.如图，三角尺ABC的顶点A，B分别在直线l1，l2上，若l1∥l2，且BA平分A．20° B．30° C．45° D．60°8.一副三角板（内角分别是90°，45°，45°；90°，30°，60°）按如图方式叠放在一起，则∠1的度数是（

）A．55° B．65° C．70° D．75°题型04利用翻折/旋转求直角三角形锐角度数题型049.如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D落在长方形内的点D'处，已知∠DAE=25°，则∠CED'10如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，D是边AB上的一个动点，连接CD，当CD为∠ACB的平分线时，将△CDB沿着CD翻折，得到△CDE．如下结论：①点E落在AC上；②DE⊥AC；③DE平分∠ADC．结论正确的是_________11.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转28°，得到△A'B'C，A'B'交AC题型05利用直角三角形性质综合解决问题题型0512.如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=40°，∠C=80°，则∠EAD的度数为（

）A．15° B．20° C．25° D．30°13.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AC，∠ADC=65°，则∠BAC的度数14.如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠ACE=20°，∠B=50°，求∠ADC的度数．15.如图，△ABC中，∠A=50∘，∠B=70∘，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于题型06利用直角三角形的判定解决问题题型0615.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（

）A．∠A+∠B=∠C B．∠A−∠B=∠CC．∠A=12∠B=16.如图，CE平分∠ACB，∠A=38°，17.如图，在△ABC中，∠A=30°,∠B=60°，CE平分∠ACB交AB于点E．(1)求∠AEC的度数；(2)若CD⊥AB于点D，∠CDF=75°．判断△CFD的形状，并说明理由．1．将一副分别含30°角和45°角的直角三角板按如图所示方式摆放，∠B=∠F=90°，点D在AB边上，保持点D位置不动，将△DEF绕点D旋转，始终保持DE边与BC边相交，则∠1和∠2的数量关系是（

）A．∠1+∠2=75° B．∠1+∠2=90° C．∠1−∠2=30° D．∠1−∠2=45°2.如图，在Rt△ABC中，过点A作直线DE，∠ABC和∠ACB的平分线分别交DE于点E、D，则∠D+∠E=（

A．30° B．45° C．60° D．65°3.如图，将一个直角三角形纸片ABC∠ACB=90°，沿线段CD折叠，使点B落在B'处，若B'D//CB，∠AC4.如图，AB=AC=BD，AC⊥BD，则∠ABC+∠ADB的值为________5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则等腰三角形的顶角为_____度．6.如图，将长方形ABCD沿EF折叠，点C，D分别落在C'，D'的位置，C'F的延长线交CD于点7.如图，在△ABC中，∠C>∠B，AD⊥BC，AE平分∠BAC．(1)若∠B=30°，∠C=64°，则∠DAE=_________；(2)计算：若∠C−∠B=50°，求∠DAE的度数；(3)猜想：∠DAE、∠B、∠C的关系_________．8.已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系．(1)如图1，AB⊥DE，BC⊥EF，则∠1与∠2之间的数量关系是___________．(2)如图2，AB⊥DE，BC⊥EF，则∠1与∠2之间的数量关系是___________．(3)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少40°，求这两个角的度数．1．【跨学科试题·物理】一个小长方体木块静止在斜面OA上，其受力分析如图，重力G的方向与水平地面OB垂直，摩擦力F1的方向与斜面平行，支持力F2的方向与斜面垂直．若斜面的坡角∠1=28°，则支持力F2与重力G方向的夹角∠2A．162° B．152° C．142° D．118°2．【跨学科试题·物理】日常生活中，我们观察到的池塘水深比实际情况浅一些．如图，眼睛看到的点A'实际是在更深处的池底点A处（点A，A',O在一条竖直直线上）．若∠1=132°，则∠2A．48° B．46° C．44° D．42°3．【分类讨论】在△ABC中，AD是BC边上的高线，垂足为D，∠B=36°，且∠BAD−∠CAD=18°，则∠BAC的度数为__________．4．【分类讨论】已知：在△ABC中，AC⊥BC，∠B比∠A大26°，点M，N分别在边AC,AB上，连接MN，将△AMN沿着MN折叠，得到△A'MN，当A'N所在直线与AC5．【新定义】定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的12，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在△ABC中，如果∠A=80∘,∠B=40∘，那么(1)如图1，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A>∠B），∠ACB=90°．①求∠A、∠B的度数．②若CD是△ABC中AB边上的高，则△ACD、△BCD都是“友爱三角形”吗？为什么？(2)如图2，在△ABC中，∠ACB=70°，∠A=66°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），连接CD，若△ACD是“友爱三角形”，直接写出∠ACD的度数．1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1=50°，则∠2的度数是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°2．（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线l1∥l2，AB⊥CD于点D，∠1=50°，则A．40° B．45° C．50° D．60°3.一个三角形的三个内角的度数的比为1:2:3，这个三角形是______三角形

分层作业13.3.1三角形的内角第2课时直角三角形的性质和判定目录A组巩固过关 题型01已知直角三角形中一锐角度数求另一个锐角度数 题型02利用方程思想求直角三角形锐角度数 题型03利用三角板求直角三角形锐角度数 题型04利用翻折/旋转求直角三角形锐角度数 题型05利用直角三角形性质综合解决问题 题型06利用直角三角形的判定解决问题 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 题型01已知三角形中一锐角的度数求另一锐角度数题型011．在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=42°，则∠B的度数为（

A．38° B．48° C．58° D．68°【答案】B【知识点】直角三角形的两个锐角互余【分析】已知直角∠C和∠A的度数，用90°减去∠A的度数即可求出∠B的度数．【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=42°∴∠B=90°−∠A=90°−42°=48°．2．如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，点A表示轮船的初始位置，点B表示轮船行进中某一时刻的位置，当轮船从点A行驶到距离灯塔最近点时，此时∠ACB的度数为（

）A．40° B．50° C．60° D．80°【答案】C【知识点】垂线段最短、直角三角形的两个锐角互余【分析】根据垂线段最短的性质，当轮船行驶到距离灯塔最近点时，轮船与灯塔的连线垂直于航线，构成直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求解．【详解】解：∵当轮船行驶到距离灯塔C最近点时，∴此时轮船位置（即点B）与灯塔C的连线垂直于航线AD，∴CB⊥AB，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∠A=30°∴∠ACB=90°−∠A=90°−30°=60°．题型02利用方程思想求直角三角形锐角度数题型023．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A:∠B=1:2，则两个锐角的度数为（

A．30°和60° B．45°和45° C．40°和80° D．以上说法都不对【答案】A【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形中两锐角互余等知识点，掌握直角三角形两锐角互余成为解题的关键．由∠C=90°，则∠A+∠B=90°，然后按比例分配即可解答．【详解】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠A:∠B=1:2，∴∠A=1故选：A．4.在Rt△ABC中，若两锐角之差为10°，则较大锐角的度数为（

A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】B【知识点】直角三角形的两个锐角互余【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余进行求解即可．【详解】解：∵在Rt△ABC设较小锐角的度数为x，则较大锐角的度数为x+10，∵直角三角形两锐角互余，x+x+10=90则x=40则较大的锐角度数为50°故选：B．5.如图，在直角三角形ABC与直角三角形ACE中，∠B=50°，∠BCD比∠ACE大20°，则∠EAD=________．【答案】15°/15度【知识点】几何图形中角度计算问题、直角三角形的两个锐角互余【分析】根据∠BCD比∠ACE大20°，并结合它们互余可求出∠ACE，再根据直角三角形的两锐角互余求出∠CAE，∠BAC，再由角的和差即可求解．【详解】解：∵∠BCD−∠ACE=20°，∠BCD+∠ACE=∠ACB=90°，∴∠BCD=55°，∠ACE=35°，∴在Rt△ACE中，∠CAE=90°−∠ACE=90°−35°=55°∵∠B=50°，∴在Rt△ABC中，∠BAC=90°−∠B=40°∴∠EAD=∠CAE−∠BAC=55°−40°=15°．题型03利用三角板求直角三角形锐角度数题型036.将一副教学常用三角板（厚度不计）如图摆放，则∠α=（

）A．60° B．55° C．45° D．30°【答案】A【知识点】三角板中角度计算问题、直角三角形的两个锐角互余【详解】由图可知，∠α=90°−30°=60°．7.如图，三角尺ABC的顶点A，B分别在直线l1，l2上，若l1∥l2，且BA平分A．20° B．30° C．45° D．60°【答案】B【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算【分析】根据角平分线的定义求出∠CBD的度数，再根据平行线的性质可得∠3的度数，最后利用直角三角形两锐角互余求出∠【详解】解：∵BA平分∠CBD，∠∴∠如图，∵l∴∠∵∠∴∠8.一副三角板（内角分别是90°，45°，45°；90°，30°，60°）按如图方式叠放在一起，则∠1的度数是（

）A．55° B．65° C．70° D．75°【答案】D【知识点】三角板中角度计算问题、直角三角形的两个锐角互余【分析】由角度的和差关系得出∠5=∠3−∠4，再由直角三角形两个锐角互余即可得出∠1=90°−∠5．【详解】由三角板可知：∠2=90°，∠3=45°，∠4=30°，∴∠5=∠3−∠4=15°，∴∠1=90°−∠5=75°．题型04利用翻折/旋转求直角三角形锐角度数题型049.如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D落在长方形内的点D'处，已知∠DAE=25°，则∠CED'【答案】50【知识点】几何图形中角度计算问题【分析】本题考查折叠性质、平角定义、角度的运算，根据折叠性质得到∠AED=∠AED【详解】解：∵长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D落在长方形内的点D'∴∠AED=∠AED∵∠DAE=25°∴∠AED=90°−∠DAE=65°

，∴∠CED故答案为：50．10如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，D是边AB上的一个动点，连接CD，当CD为∠ACB的平分线时，将△CDB沿着CD翻折，得到△CDE．如下结论：①点E落在AC上；②DE⊥AC；③DE平分∠ADC．结论正确的是_________【答案】①②③【知识点】直角三角形的两个锐角互余、角平分线的有关计算【分析】根据三角形内角和及角平分线求出∠ACD=∠D=12∠ACB=30°，结合翻折得到∠ECD=∠ACD【详解】解：在△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，∴∠ACB=90°−∠A=60°，当CD为∠ACB的平分线时，∠ACD=∠BCD=1由翻折得∠ECD=∠BCD=30°，∴∠ECD=∠ACD=30°，∴点E落在AC上，故①正确；由翻折得∠CED=∠B=90°，由①知点E落在AC上，∴DE⊥AC，故②正确；∵∠ECD=∠A=30°，∠AED=∠CED=90°，∴∠ADE=∠CDE=60°，∴DE平分∠ADC，故③正确．11.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转28°，得到△A'B'C，A'B'交AC【答案】62°【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用【分析】由题意得旋转角∠ACA【详解】解：∵△ABC绕点C顺时针旋转28°，得到△A∴∠ACA又∵∠A∴∠A=180°−90°−28°=62°．题型05利用直角三角形性质综合解决问题题型0512.如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=40°，∠C=80°，则∠EAD的度数为（

）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的有关计算【分析】根据已知条件AD是高,∠B=40°，∠C=80°,得出∠BAD=50°,∠CAD=10°,又因为AE是角平分线,得出∠DAE=20°．【详解】解：∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC=90°∵∠B=40°,∠C=80°∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=90°−40°=50°∴∠CAD=90°−80°=10°∵AE是角平分线∴∠BAE=∠CAE=∠DAE+10°∴∠BAD=50°=∠BAE+∠DAE=∠DAE+10°+∠DAE∴2∠DAE+10°=50°∴∠DAE=20°13.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AC，∠ADC=65°，则∠BAC的度数【答案】130°【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、等边对等角【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及直角三角形的性质，根据直角三角形的性质求出∠C=25°，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求∠BAC的度数．【详解】解：∵AD⊥AC，∠ADC=65°，∴∠DAC=90°，∴∠C=90°−∠ADC=25°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=25°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=130°．14.如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠ACE=20°，∠B=50°，求∠ADC的度数．【答案】85°【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算【分析】由直角三角形两个锐角互余得出∠CAE=90−∠ACE=70°，∠BCE=90°−∠B=40°，得到∠ACD=∠ACE+∠BCE=60°，由角平分线的定义得出∠CAD=12∠BAC=35°【详解】解：∵CE是△ABC的高，∠ACE=20°，∠B=50°，∴∠CAE=90−∠ACE=70°，∠BCE=90°−∠B=40°，∴∠ACD=∠ACE+∠BCE=60°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD=1∴∠ADC=180°−∠CAD−∠ACD=85°．15.如图，△ABC中，∠A=50∘，∠B=70∘，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于【答案】80°【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，根据角的平分线的定义求得∠BCE的度数，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BCD，根据角的和差求出∠DCE，进而在直角△CDF中求出∠CDF．【详解】解：∵∠A=50°，∴∠ACB=180°−∠A−∠B=180°−50°−70°=60°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=1∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∴∠BCD=90°−∠B=90°−70°=20°，∴∠DCE=∠BCE−∠BCD=30°−20°=10°，∵DF⊥CE，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=90°−∠CFD=90°−10°=80°．题型06利用直角三角形的判定解决问题题型0615.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（

）A．∠A+∠B=∠C B．∠A−∠B=∠CC．∠A=12∠B=【答案】D【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用【分析】利用三角形内角和定理，结合各选项给出的角的数量关系，计算各角度数，判断是否为直角三角形即可．【详解】解：A、将∠A+∠B=∠C代入∠A+∠B+∠C=180°得2∠C=180°，解得∠C=90°，则△ABC是直角三角形，不符合题意；B、由∠A−∠B=∠C得∠A=∠B+∠C，代入∠A+∠B+∠C=180°得2∠A=180°，解得∠A=90°，则△ABC是直角三角形，不符合题意；C、由∠A=12∠B=13∠C得∠B=2∠A、∠C=3∠A，代入∠A+∠B+∠C=180°得∠A+2∠A+3∠A=180°，解得D、将∠A=∠B=3∠C代入∠A+∠B+∠C=180°得3∠C+3∠C+∠C=180°，解得∠C=180°7、∠A=∠B=540°7，则三个角都不是16.如图，CE平分∠ACB，∠A=38°，【答案】详见解析【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用【分析】本题考查直角三角形的证明，角平分线性质和三角形内角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关键；先通过三角形内角和定理求出∠ACB=82°，再通过角平分线求出∠BCE，进而可求出∠BCD，从而可得到∠BCD+∠B=90°，进而得证．【详解】证明：∵∠A=38°，∠B=60°，∴∠ACB=180°−∠A−∠B=82°．∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=1∵∠DCE=11°，∴∠BCD=∠BCE−∠DCE=30°，∴∠BCD+∠B=90°，∴△BCD是直角三角形．17.如图，在△ABC中，∠A=30°,∠B=60°，CE平分∠ACB交AB于点E．(1)求∠AEC的度数；(2)若CD⊥AB于点D，∠CDF=75°．判断△CFD的形状，并说明理由．【答案】(1)105°(2)△CFD是直角三角形，理由见解析【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数．（1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠AEC的度数．（2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到∠DCF的度数，进而得出∠CFD的度数即可得答案．【详解】（1）解：∵∠A=30°,∠B=60°，∴∠ACB=180°−∠A−∠B=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ACE=1∴∠AEC=180°−∠A−∠ACE=105°；（2）解：△CFD是直角三角形，理由如下：由（1）得：∠BCE=45°，∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∴∠BCD=90°−∠B=30°，∴∠DCF=∠BCE−∠BCD=15°，∵∠CDF=75°．∴∠CFD=180°−∠CDF−∠DCF=90°，∴△CFD是直角三角形．1．将一副分别含30°角和45°角的直角三角板按如图所示方式摆放，∠B=∠F=90°，点D在AB边上，保持点D位置不动，将△DEF绕点D旋转，始终保持DE边与BC边相交，则∠1和∠2的数量关系是（

）A．∠1+∠2=75° B．∠1+∠2=90° C．∠1−∠2=30° D．∠1−∠2=45°【答案】C【知识点】直角三角形的两个锐角互余【分析】根据平角的定义可得：∠3=120°−∠1，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：∠1−∠2=30°．【详解】解：如下图所示，在△DEF中，∠E=30°，∠F=90°，∴∠FDE=60°，∴∠1+∠3=180°−60°=120°，∴∠3=120°−∠1，∵∠B=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠2+120°−∠1=90°，∴∠1−∠2=30°．2.如图，在Rt△ABC中，过点A作直线DE，∠ABC和∠ACB的平分线分别交DE于点E、D，则∠D+∠E=（

A．30° B．45° C．60° D．65°【答案】B【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算【分析】设BE与CD交于点O，易得∠D+∠E=∠EBC+∠DCB，再根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可求解．【详解】解：如图，设BE与CD交于点O，∵∠DOE=∠BOC，∴∠D+∠E=∠EBC+∠DCB．∵∠ABC和∠ACB的平分线分别交DE于点E、D，∴∠EBC=12∠ABC∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°．∴∠D+∠E=∠EBC+∠DCB=13.如图，将一个直角三角形纸片ABC∠ACB=90°，沿线段CD折叠，使点B落在B'处，若B'D//CB，∠AC【答案】22.5°．【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形折叠中的角度问题、根据平行线的性质求角的度数【分析】根据平行线的性质和折叠的性质可得∠ACB【详解】解：∵B∴∠ADB∵∠ACB∴∠ACB′=3∠B，∵折叠，∴∠B=∠B∴∠ACB∵B'D∴∠B'EC=90°∴∠B∴∠B【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，平行线的性质以及折叠的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和折叠的性质．4.如图，AB=AC=BD，AC⊥BD，则∠ABC+∠ADB的值为________【答案】135°【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、等边对等角【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键．设AC，BD交于点E，由AC⊥BD可得∠AEB=90°，由直角三角形的两个锐角互余可得∠BAE+∠ABE=90°，由等边对等角及三角形的内角和定理可得∠ABC=∠ACB=12180°−∠BAE，∠DAB=∠ADB=12【详解】解：如图，设AC，BD交于点E，∵AC⊥BD，∴∠AEB=90°，∴∠BAE+∠ABE=90°，∵AB=AC=BD，∴∠ABC=∠ACB=1∠DAB=∠ADB=1∴∠ABC+∠ADB==90°−=180°−=180°−=180°−45°=135°.5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则等腰三角形的顶角为_____度．【答案】40或140【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的定义【分析】本题考查等腰三角形的性质及高的位置关系，根据题意，对等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形两种情况分别进行解答即可．【详解】解：①如图1，若该等腰三角形为锐角三角形，由题意可知，在△ABC中，AB=AC，BD为AC边上高，且∠ABD=50°，∴∠A=90°−50°=40°；②如图2，若该等腰三角形为钝角三角形，由题意可知，在△ABC中，AB=AC，BD为AC边上高，且∠ABD=50°，∴∠BAD=90°−50°=40°，∴∠BAC=180°−40°=140°；综上所述：等腰三角形的顶角度数为40度或140度．故答案为：40或140．6.如图，将长方形ABCD沿EF折叠，点C，D分别落在C'，D'的位置，C'F的延长线交CD于点【答案】54°【知识点】折叠问题、对顶角相等、直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数【分析】由折叠性质、平行线的性质、对顶角相等求出相关角度，再由直角三角形两锐角互余求出∠FHC【详解】解：将长方形ABCD沿EF折叠，则∠DEF=∠D'EF设∠AED'=α，∠DEF=∠∴α+2β=180°，∠AEF=α+β，在长方形ABCD中，AD∥BC，则∠AEF+∠BFE=180°，∴∠BFE=180°−α+β将长方形ABCD沿EF折叠，则D'∴∠D'EF+∠∴∠BFC则∠CFG=∠BFC在长方形ABCD中，AD∥BC，则∠AEF=∠EFC，∴α+β=2α+α，即β=2α，∵α+2β=180°，∴α+2×2α=180°，解得α=36°，在Rt△HFC'∴∠BHD'=∠FHC7.如图，在△ABC中，∠C>∠B，AD⊥BC，AE平分∠BAC．(1)若∠B=30°，∠C=64°，则∠DAE=_________；(2)计算：若∠C−∠B=50°，求∠DAE的度数；(3)猜想：∠DAE、∠B、∠C的关系_________．【答案】(1)17°(2)∠DAE=25°(3)∠DAE=【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的有关计算【分析】（1）先根据三角形内角和定理可计算出∠BAC=180°−∠B−∠C=86°，再利用角平分线定义得∠CAE=12∠BAC=43°，接着由AD⊥BC得∠ADC=90°，根据三角形内角和得到∠CAD（2）由三角形内角和定理得∠BAC=180°−∠B−∠C，再根据角平分线定义得∠CAE=12∠BAC=90°−12（3）同（2）得出∠EAD=1【详解】（1）解：∵∠B=30°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=86°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=1∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°−∠C=26°，∴∠EAD=∠CAE−∠CAD=43°−26°=17°；故答案为：17°；（2）解：∵∠BAC=180°−∠B−∠C，AE平分∠BAC，∴∠CAE=1∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°−∠C，∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=90°−1∵∠C−∠B=50°，∴∠DAE=25°，故答案为：25°；（3）解：猜想：∠DAE=1∵∠BAC=180°−∠B−∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=1∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°−∠C，∴∠EAD=∠CAE−∠CAD=90°−1即∠DAE=1故答案为：∠DAE=18.已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系．(1)如图1，AB⊥DE，BC⊥EF，则∠1与∠2之间的数量关系是___________．(2)如图2，AB⊥DE，BC⊥EF，则∠1与∠2之间的数量关系是___________．(3)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少40°，求这两个角的度数．【答案】(1)∠1=∠2(2)∠1+∠2=180°(3)20°，20°或55°，125°【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、垂线的定义理解、直角三角形的两个锐角互余【分析】（1）根据垂直可得∠EGB=∠EHB=90°，由直角三角形的两锐角互余可得∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，再结合对顶角相等等量代换即可得解；（2）根据垂直可得∠EGB=∠EHB=90°，由四边形的内角和列式计算即可得解；（3）设其中一个角的度数为α，则另一个角的度数为3α−40°，根据这两个角相等或者互补列方程计算即可．【详解】（1）解：如图所示，设BC与EF的交点为G，AB与DE的交点为H，∵AB⊥DE，BC⊥EF，∴∠EGB=∠EHB=90°，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，∵∠3=∠4，∴∠1=∠2．（2）解：如图所示，设AB与DE的交点为G，BC与EF的交点为H，∵AB⊥DE，BC⊥EF，∴∠EGB=∠EHB=90°，∵∠1+∠2+∠EGB+∠EHB=360°，∴∠1+∠2=180°．（3）解：设其中一个角的度数为α，则另一个角的度数为3α−40°．根据题意，得α=3α−40°或α+3α−40°=180°，解得α=20°或α=55°．当α=20°时，3α−40°=20°；当α=55°时，3α−40°=125°，∴这两个角的度数为20°，20°或55°，125°．1．【跨学科试题·物理】一个小长方体木块静止在斜面OA上，其受力分析如图，重力G的方向与水平地面OB垂直，摩擦力F1的方向与斜面平行，支持力F2的方向与斜面垂直．若斜面的坡角∠1=28°，则支持力F2与重力G方向的夹角∠2A．162° B．152° C．142° D．118°【答案】B【知识点】垂线的定义理解、直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数【分析】重力G与水平地面垂直，得∠ODC=90°．由∠1=28°，得∠OCD=62°，由对顶角得∠ECA=62°．摩擦力F1与斜面平行，故∠CEF1=180°−62°=118°．支持力F2【详解】解：如图，设重力G的作用线与斜面OA交于点C，与水平地面OB交于点D．∵重力G的方向与水平地面OB垂直，∴∠ODC=90°∵∠1=28°∴∠OCD=90°−28°=62°∴∠ECA=62°．∵摩擦力F1∴∠CEF∵支持力F2∴支持力F2的方向与摩擦力F∴∠F∴∠2=360°−∠F2．【跨学科试题·物理】日常生活中，我们观察到的池塘水深比实际情况浅一些．如图，眼睛看到的点A'实际是在更深处的池底点A处（点A，A',O在一条竖直直线上）．若∠1=132°，则∠2A．48° B．46° C．44° D．42°【答案】D【知识点】利用邻补角互补求角度、对顶角相等、直角三角形的两个锐角互余【分析】利用邻补角的性质求出∠OA'B【详解】解：∵点A，∴∠OA∵∠AA∴∠OA∵水面OD水平，竖直直线OA垂直于水面，∴∠A∴∠OBA∵人眼逆着折射光线看去，感觉光线是从A'∴点C，又∵点O，∴∠CBD和∠OBA∴∠2=∠OBA3．【分类讨论】在△ABC中，AD是BC边上的高线，垂足为D，∠B=36°，且∠BAD−∠CAD=18°，则∠BAC的度数为__________．【答案】90°或18°【知识点】几何图形中角度计算问题、直角三角形的两个锐角互余【分析】根据直角三角形的性质，角的和差计算，需要分情况讨论垂足D的位置，垂足D在线段BC上和垂足D在线段BC的延长线上，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD，再结合已知条件求出∠CAD，最后根据角的和差关系计算∠BAC的度数．【详解】解：∵AD是BC边上的高线，∴AD⊥BC，∠ADB=90°，在Rt△ABD中，∠B=36°∴∠BAD=90°−∠B=90°−36°=54°，∵∠BAD−∠CAD=18°，∴∠CAD=∠BAD−18°=54°−18°=36°，分两种情况讨论：①当垂足D在线段BC上时，∠BAC=∠BAD+∠CAD=54°+36°=90°，②当垂足D在线段BC的延长线上（点C在B，D之间）时，∠BAC=∠BAD−∠CAD=54°−36°=18°，综上可得：∠BAC的度数为90°或18°．4．【分类讨论】已知：在△ABC中，AC⊥BC，∠B比∠A大26°，点M，N分别在边AC,AB上，连接MN，将△AMN沿着MN折叠，得到△A'MN，当A'N所在直线与AC【答案】29°或119°【知识点】根据平行线判定与性质求角度、折叠问题、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用【分析】先求出∠A=32°，∠B=58°，再分两种情况讨论，A'N⊥AC，且点A'与点C在直线AB的异侧；A'N⊥AC，且点A【详解】解：∵AC⊥BC，∴∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠B比∠A大26°，∴∠B=∠A+26°，∴∠A+∠A+26°=90°，∴∠A=32°，∴∠B=32°+26°=58°，如图1，A'N⊥AC，且点A'与点C∵A'∴A'∴∠BNA∴∠ANA由折叠得：∠ANM=∠A∵∠ANM+∠A∴2∠ANM+122°=360°，∴∠ANM=119°，∴∠AMN=180°−∠A−∠ANM=180°−32°−119°=29°；如图2，A'N⊥AC，且点A'与点C∵A'∴A'∴∠ANA由折叠得∠ANM=∠A∴∠AMN=180°−∠A−∠ANM=180°−32°−29°=119°，综上所述，∠AMN的