2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第28讲　等差数列及其前n项和

第六章第28讲等差数列及其前n项和数列知识整合·体系建构1．(2024·全国甲卷理)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝S10，a5＝1，则a1＝

(

)C．1

D．2【解析】B2．已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝120，则a37＋b37＝

(

)A．760

B．820C．780

D．860【解析】

因为数列{an}，{bn}均为等差数列，所以数列{an＋bn}为等差数列，设其公差为d．因为a1＋b1＝100，a2＋b2＝120，所以d＝120－100＝20，所以a37＋b37＝100＋20×36＝820．B3．(教材经典题改编)在7和21之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则这个等差数列的公差是_______．【解析】3.54．(教材经典题)在等差数列{an}中，an＝m，am＝n，且n≠m，则am＋n＝_____．【解析】05．(教材经典题)在等差数列{an}中，若S15＝5(a2＋a6＋ak)，则k＝______．【解析】161．等差数列的有关公式(1)通项公式：___________________，其推导方法是累加法．若视作关于n的一次函数，则一次项系数为______，常数项为__________．(2)前n项和公式：_______________________________，其推导方法是倒序相加法．若视作关于n的一元二次函数，则二次项系数为_____，一次项系数为__________，无常数项．an＝a1＋(n－1)dda1－d2．等差数列的常见性质(1)已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．①通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)；②若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__________________；③ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为_______的等差数列；④若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列；⑤数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列；ak＋al＝am＋anmd(2)等差数列奇数项和与偶数项和的性质(4)在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．题型突破·思维拓展目标1等差数列的基本量运算

(1)(2025·南昌一模)已知等差数列{an}的各项均不为零，前n项和为Sn，若Sn＝anan＋1，则a13＝______．1【解析】

在等差数列{an}中，an≠0，设公差为d，因为Sn＝anan＋1，令n＝1，S1＝a1＝a1a2，所以a2＝1．

(2)(2025·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝6，S5＝－5，则S6＝ (

)A．－20

B．－15C．－10

D．－5【解析】1B(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d．变式1

(2025·天津卷)若Sn＝－n2＋8n，则数列{|an|}的前12项和为 (

)A．112

B．48C．80

D．64【解析】

因为Sn＝－n2＋8n，所以当n＝1时，a1＝S1＝－1＋8＝7．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋8n)－[－(n－1)2＋8(n－1)]＝－2n＋9，当n＝1时，也满足上式，所以an＝－2n＋9．当n≤4时，an＞0，当n≥5时，an＜0，所以{|an|}的前12项和为|a1|＋|a2|＋…＋|a4|＋|a5|＋…＋|a12|＝a1＋a2＋a3＋a4－(a5＋a6＋…＋a12)＝2(a1＋a2＋a3＋a4)－(a1＋a2＋…＋a12)＝2S4－S12＝2×(－16＋32)－(－144＋96)＝80．C目标2等差数列的判定与证明(1)求t的值；2【解答】(2)求证：{an}为等差数列．2【解答】判断数列{an}是等差数列的常用方法：(1)定义法；(2)等差中项法；(3)通项公式法(客观题中判断)；(4)前n项和公式法(客观题中判断)．(1)求数列{an}的通项公式；【解答】(2)求Sn．【解答】目标3等差数列的常见性质视角1

项的性质

(1)(2025·合肥一检)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＋a5＋a6＝9，则S9＝

(

)A．9

B．18C．27

D．36【解析】3－1C

(2)(2026·肇庆一模)(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝10，S9＝18，则

(

)A．a5＝0 B．S11＝0C．当n＝5或n＝6时，Sn取最大值

D．Sn的最小值为0【解答】3－1由an＝－2n＋12≥0⇒n≤6，所以当n＝5或n＝6时，Sn取最大值，即S6＝S5，故C正确；由Sn＝－n2＋11n知Sn无最小值，故D错误．BC变式3

(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a5＝a4＋5，则S11的值是

(

)A．11

B．50C．55

D．60【解析】C变式3

(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＝－600，当且仅当n＝30时Sn取得最小值，则{an}的公差d的取值范围为___________．【解析】(24，25)视角2

和的性质

(1)(2026·邯郸期初)(多选)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，则(

)A．若Sn＝2n2＋n，则an＝2n＋1 B．S3n，S6n－S3n，S9n－S6n成等差数列C．Sn，S2n，S3n可能成等差数列

D．Sn，S2n，S3n可能成等比数列【解析】

对于A，因为Sn＝2n2＋n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2＋1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋n)－[2(n－1)2＋(n－1)]＝4n－1，n＝1也适合，所以an＝4n－1，故A错误．3－2对于C，设等差数列{an}的公差为d，则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S3＝3a1＋3d，若S1，S2，S3成等差数列，则2S2＝S1＋S3，即2(2a1＋d)＝a1＋3a1＋3d，解得d＝0，所以Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，S2n－Sn＝na1，S3n－S2n＝na1，所以S3n－S2n＝S2n－Sn，所以Sn，S2n，S3n成等差数列，故C正确．【答案】BC【解析】3－2C1．(2025·武汉2月调研)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝0，S6＝2S3－12，则a1＝

(

)A．6

B．8C．10

D．12【解析】

设等差数列{an}的公差为d，由S6＝2S3－12，得6a1＋15d＝2(3a1＋3d)－12，得9d＝－12．由S10＝0，得10a1＋45d＝0，则2a1＝－9d＝12，所以a1＝6．A2．(2025·秦皇岛一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝

(

)A．18

B．27C．45

D．63【解析】

由题意得S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，即9,36－9，a7＋a8＋a9成等差数列，即2×(36－9)＝9＋a7＋a8＋a9，解得a7＋a8＋a9＝45．C3．(2026·新乡期初)某会场的座位呈扇形分布，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位，已知该会场能容纳一个700人的代表团，则该会场的座位至少有

(

)A．20排

B．21排C．22排

D．23排【解析】B【解析】

因为{an}为等差数列，a3＝2，所以an＝a3＋(n－3)d＝nd＋2－3d，因为{Sn}严格递增，所以Sn＋1－Sn＝an＋1＝(n＋1)d＋2－3d＝(n－2)d＋2＞0恒成立．[1，2)配套精练A组夯基精练一、单项选择题1．(2025·南京期初)已知数列{an}为等差数列，前n项和为Sn．若S3＝6，S6＝3，则S9＝

(

)A．－18

B．－9 C．9

D．18【解析】

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．方法二：因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，即6，－3，S9－3成等差数列，所以－6＝6＋S9－3，解得S9＝－9．B2．已知{an}是公差不为0的等差数列，a1＝－2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10＝ (

)A．－20

B．－18C．16

D．18【解析】C【解析】D4．(2025·张家口期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，S10＝4a4，则an＋Sn取最大值时n的值是

(

)A．4

B．5 C．6

D．10【解析】B二、多项选择题5．(2025·青岛期末)已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n，则 (

)A．a1＝－3

B．d＝－2【解析】AC6．(2025·茂名二模)已知等差数列{an}中，a2＋a3＝－12，a5＋a7＝2．记数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是 (

)A．数列{an}的公差为2 B．Sn取最小值时，n＝6C．S4＝S7【解析】对于C，S4＝42－10×4＝－24，S7＝72－10×7＝－21，则S4≠S7，故C错误；【答案】AD7．已知递增数列{an}满足an＋2＝2an＋1－an(n∈N*)，其前n项和为Sn，则下列说法正确的是 (

)【解析】对于D，因为S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋S9－S6，可得S9＝3(S6－S3)，故D错误．【答案】BC三、填空题8．(2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7,3a2＋a5＝5，则S10＝______．【解析】95【解析】6072【解析】四、解答题【解答】

因为3a2＝3a1＋a3，所以3d＝a1＋2d，解得a1＝d，所以S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d．(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；【解答】(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d．【解答】【解答】(2)求数列{anan＋1}的前n项和Sn．B组创新题体验13．(2025·肇庆一模)对于一个给定的数列{an}，令bn＝an＋an＋1，则数列{bn}称为数列{an}的一阶和数列，再令cn＝bn＋bn＋1，则数列{cn}是数列{an}的二阶和数列，以此类推，