2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第30讲　常见的递推关系求通项

第六章第30讲常见的递推关系求通项数列知识整合·体系建构1．(2025·潍坊期末)已知数列{an}满足an＋1＝an＋a1＋n，a5＝30，则a1＝ (

)A．4

B．3C．2

D．1【解析】

因为an＋1＝an＋a1＋n，所以a2－a1＝a1＋1，a3－a2＝a1＋2，a4－a3＝a1＋3，a5－a4＝a1＋4，以上各式相加可得a5－a1＝4a1＋10，即a5＝5a1＋10．因为a5＝30，所以a1＝4．AA．9

B．21C．45

D．93【解析】CA．a2

B．a3 C．a4

D．a5【解析】B4．(教材经典题改编)若数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式是an＝__________．【解析】

因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1．2n－1【解析】题型突破·思维拓展目标1类等差与类等比型求通项视角1

an＋1－an＝f(n)【解析】1－1变式1－1

(1)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝2n＋2(n∈N*)，则an＝_______________．【解析】

当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋[2＋22＋23＋…＋2n－1]＋2(n－1)＝2n＋2n－2，显然a1＝2符合上式，故an＝2n＋2n－2．2n＋2n－2(2)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＋an＝2n＋2(n∈N*)，则a2026＝________．【解析】形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式求通项公式，常利用累加法，在累加求和时需特别注意能消去多少项，保留多少项．

(2025·临汾二模)(多选)已知数列{an}满足a1＝3,3nan＝(n＋1)an＋1，则下列说法正确的是

(

)A．a3＝9B．{an}是递增数列1－2D．若对任意n∈N*，都有(－1)nλan≤an＋1，则－3≤λ≤1【解析】【答案】ABC变式1－2

已知数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝(2n＋1)an＋1(n∈N*)，则{an}的通项公式为______________．【解析】an＝2n－1

(1)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－2an＝2n＋1，则数列{an}的通项公式为____________．【解析】2目标2构造等差数列求通项公式an＝n·2n

(2)设数列{an}的前n项积为Tn，且满足an＋2Tn＝1(n∈N*)，则T2026＝(

)【解析】2B变式2

(2025·太原一模)已知数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝6，an＋1＝2an，bn＋1＝2bn－an，若am＝bm，则m＝ (

)A．4

B．5C．6

D．7【解析】B目标3构造等比数列求通项公式视角1

an＋1＝pan＋f(n)型

(1)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋n＝2an，则a7＝ (

)A．65

B．127C．129

D．255【解析】

当n＝1时，a1＋1＝2a1，则a1＝1．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－[2an－1－(n－1)]＝2an－2an－1－1，所以an＝2an－1＋1，所以an＋1＝2(an－1＋1)．又a1＋1＝2≠0，所以{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a7＋1＝2×26＝27＝128，所以a7＝127．B3－1

(2)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋4·3n－1，a1＝－1，则数列{an}的通项公式为________________________．【解析】

方法一：设an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1)，整理得an＋1＝2an－λ·3n－1，可得λ＝－4，即an＋1－4×3n＝2(an－4×3n－1)，且a1－4×31－1＝－5≠0，则数列{an－4×3n－1}是首项为－5，公比为2的等比数列，所以an－4×3n－1＝－5×2n－1，即an＝4×3n－1－5×2n－1．3－1an＝4×3n－1－5×2n－1

(3)在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为____________________.【解析】3－1an＝3n－2(n－1)(3)满足an＋1＝pan＋qn＋m(p≠1)的数列{an}的通项公式的求法：设an＋1＋A(n＋1)＋B＝p(an＋An＋B)，通过待定系数法确定A，B的值，转化成以a1＋A＋B为首项，p为公比的等比数列{an＋An＋B}，再利用等比数列的通项公式求出{an＋An＋B}的通项，整理可得an．变式3－1

(1)(2025·潍坊模拟)(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，

an＋1－2an＋anan＋1＝0，则 (

)【解析】【答案】BCD【解析】变式3－1

(3)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋1－2Sn＝1－n，且S1＝3，则数列{an}的通项公式是______________________．【解析】

因为Sn＋1－2Sn＝1－n，所以Sn＋1－(n＋1)＝2(Sn－n)，且S1－1＝2≠0，所以{Sn－n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以Sn－n＝2·2n－1＝2n，即Sn＝n＋2n．视角2

an＋1＝pan＋qan－1型

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝3，an＋an＋2＝kan＋1．(1)当k＝2时，求S10；【解答】3－2

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝3，an＋an＋2＝kan＋1．【解答】3－2满足an＋1＝pan＋qan－1(p≠0)的数列{an}的通项公式的求法：可以将递推式化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根．若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}；若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．变式3－2已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝an－4an＋1，a1＝－1．(1)求证：数列{2an＋1－an}为等比数列；

【解答】变式3－2已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝an－4an＋1，a1＝－1．【解答】【解析】3－3【解析】配套精练A组夯基精练【解析】【答案】C2．(2025·秦皇岛三模)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an－1，n∈N*，且bn＝log2(an－1)，则数列{bn}的前100项和为

(

)A．4050

B．4950C．5050

D．4450【解析】B3．已知数列{an}满足a1∈Z，an＋1＋an＝2n＋3，且其前n项和为Sn．若S13＝am，则正整数m＝

(

)A．99

B．103 C．107

D．198【解析】

由an＋1＋an＝2n＋3得an＋1－(n＋1)－1＝－(an－n－1)，所以{an－n－1}是公比为－1的等比数列，所以an－n－1＝(－1)n－1(a1－2)，则an＝(－1)n－1(a1－2)＋n＋1，am＝(－1)m－1(a1－2)＋m＋1，所以S13＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a12＋a13)＝a1＋2×(2＋4＋…＋12)＋3×6＝a1＋102．①当m为奇数时，a1－2＋m＋1＝a1＋102，解得m＝103；②当m为偶数时，－(a1－2)＋m＋1＝a1＋102，则m＝2a1＋99，因为a1∈Z，所以m＝2a1＋99只能为奇数，则m不可能是偶数．综上所述，m＝103．B【解析】【答案】B二、多项选择题5．已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的有 (

)A．若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则a3＝7B．若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则a4＝53【解析】

对于A，由a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，得a2＝a1＋2＝4，a3＝a2＋3＝7，故A正确；对于B，由a1＝1，an＋1＝3an＋2，得an＋1＋1＝3(an＋1)，所以数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，3为公比的等比数列，则an＋1＝2×3n－1，即an＝2×3n－1－1，所以a4＝2×33－1＝53，故B正确；【答案】AB6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋2＝an＋1＋2an，若a1＝a2≠0，则(

)A．{an＋1－2an}是等比数列

B．{an＋2－an}是等比数列C．{Sn＋1－2Sn}是等差数列

D．{a2n＋1－S2n}是等差数列【解析】

对于A，由an＋2＝an＋1＋2an，得an＋2－2an＋1＝an＋1＋2an－2an＋1＝－(an＋1－2an)，且a2－2a1＝－a1，所以{an＋1－2an}是以－a1为首项，－1为公比的等比数列，所以A正确；对于B，由an＋2＝an＋1＋2an，得an＋3－an＋1＝an＋2＋an＋1＝2(an＋2－an)，且a3－a1＝a2＋a1＝2a1，所以数列{an＋2－an}是首项为2a1，公比为2的等比数列，所以B正确；对于C，由an＋2＝an＋1＋2an，可得Sn＋2－Sn＋1＝Sn＋1－Sn＋2(Sn－Sn－1)(n≥2)，即n≥2时，Sn＋2－2Sn＋1＝Sn－2Sn－1，又S2－2S1＝0，S3－2S2＝a1，所以{Sn＋1－2Sn}的奇数项均为0，偶数项均为a1，又2(S3－2S2)≠(S2－2S1)＋(S4－2S3)，所以{Sn＋1－2Sn}不是等差数列，所以C错误；对于D，由an＋2＝an＋1＋2an，可得an＋2－an＝an＋1＋an，即a1＋a2＝a3－a1，a3＋a4＝a5－a3，a5＋a6＝a7－a5，…，a2n－1＋a2n＝a2n＋1－a2n－1，累加得S2n＝a2n＋1－a1，即a2n＋1－S2n＝a1为常数，则{a2n＋1－S2n}是等差数列，所以D正确．【答案】ABD三、填空题7．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝9，且an＋2＋an＝2an＋1＋8，则数列{an}的通项公式为_________________．【解析】an＝4n2－4n＋1【解析】9．已知数列{an}满足an＋1＝pan＋2×3n＋1(p∈R)，若p＝1，a1＝4，则a4＝______；若p＝2，a1＝5，则an＝_____________．【解析】

因为an＋1＝pan＋2×3n＋1(p∈R)，当p＝1，a1＝4时，an＋1＝an＋2×3n＋1，所以a2＝a1＋2×3＋1＝11，a3＝a2＋2×32＋1＝30，a4＝a3＋2×33＋1＝85．当p＝2，a1＝5时，an＋1＝2an＋2×3n＋1，则an＋1－(2×3n＋1－1)＝2[an－(2×3n－1)]，又a1－(2×3－1)＝0，所以an－(2×3n－1)＝0，即an＝2×3n－1．852×3n－1四、解答题10．(2026·宁波一模)记Sn为正项数列{an}的前n项和，已知4Sn＝a＋2an－3．(1)求数列{an}的通项公式；【解答】10．(2026·宁波一模)记Sn为正项数列{an}的前n项和，已知4Sn＝a＋2an－3．【解答】11．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2an－2n＋1．(1)求数列{an}的通项公式；【解答】11．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2an－2n＋1．(2)若对一切正整数n，不等式2n2－n－3≤λan恒成立，求λ的最小值．【解答】B组能力提升练12．(2026·无锡期中节选)设数列{an}的前n项和为Sn，已知(3n－5)an＋1－6Sn＝pn＋q，n∈N*，其中p，q为常数．(1)当p＝0时，若S1＝－2，S2＝－1，求数列{an}的通项公式；【解答】12．(2026·无锡期中节选)设数列{an}的前n项和为Sn，已知(3n－5)an＋1－6Sn＝pn＋q，n∈N*，其中p，q为常数．【解答】

因为(3n－5)an＋1－6Sn＝pn＋q①，所以(3n－2)an＋2－6Sn＋1＝p(n＋1)＋q②，由②－①，得(3n－2)an＋2－(3n＋1)an＋1＝p③，所以(3n＋1)an＋3－(3n＋4)an＋2＝p④，由④－③，得(3n＋1)an＋3＋(3n＋1)an＋1＝(6n＋2)an＋2，即an＋3＋an＋1＝2an＋2，因此

an＋3－an＋2＝an＋2－an＋1，所以当n≥2时，{an}为等差数列．A组夯基精练一、单项选择题【解析】C2．(2025·泰安期末)已知数列{an}满足a2＝－3，(2n－3)an＋1＝(2n－1)an＋(2n－1)(2n－3)，n∈N*，则数列{an}的通项公式为

(

)C．an＝(n－3)(2n－1) D．an＝(n－5)(2n－3)【解析】DA．22027－1

B．21015－1C．22026－1

D．21014－1【解析】【答案】AA．8

B．9 C．10

D．11【解析】B【解析】【答案】ABD6．(2025·武汉4月调研)若数列{an}满足a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n，an的前n项和为Sn，则 (

)A．a1＝2 B．数列{an}是等比数列【解析】

对于A，当n＝1时，可得a1＝1×21＝2，故A正确．【答案】AD7．(2025·武汉一模)已知数列{an}满足an＋1an＝4an－4，则下列说法正确的是 (

)【解析】

对于A，令an＋1＝an＝a，由an＋1an＝4an－4，可得a2＝4a－4，解得a＝2，所以{an}可能为常数列，A正确．【答案】AC三、填空题【解析】9．若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝_________．【解析】3n－110．已知数列{an}的前n项和为Sn，若8Sn＋3n＋1＝9an＋3，则S2＝______，an＝___________．【解析】

当n＝1时，8S1＋9＝9a1＋3，解得a1＝6；当n＝2时，8S2＋27＝8a1＋8a2＋27＝9