2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第24讲　平面向量的基本定理与坐标表示

第五章第24讲平面向量的基本定理与坐标表示平面向量与复数知识整合·体系建构1．(教材经典题)在下列各组向量中，可以作为基底的是 (

)A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)【解析】

对于A，因为零向量与任何向量平行，所以选项A中的两个向量不可以作为基底；对于B，e1＝(－1，2)与e2＝(5，7)对应坐标不成比例，两向量不共线，可以作为基底；B【解析】A3．(教材经典题)当x＝_______时，a＝(2，3)与b＝(x，－6)共线．【解析】

因为a＝(2，3)，b＝(x，－6)，a∥b，所以2×(－6)－3x＝0，解得x＝－4，所以当x＝－4时，a与b共线．－44．(教材经典题)已知a＝(3，2)，b＝(0，－1)，则－2a＋4b＝____________，4a＋3b＝_________．【解析】

因为a＝(3，2)，b＝(0，－1)，所以－2a＋4b＝－2(3，2)＋4(0，－1)＝(－6，－4)＋(0，－4)＝(－6，－8)，4a＋3b＝4(3，2)＋3(0，－1)＝(12，8)＋(0，－3)＝(12，5)．(－6，－8)(12，5)【解析】1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，满足_________________，我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组基底．a＝λ1e1＋λ2e22．向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若b≠0，则a，b共线⇔______________．4．“爪形三角形”x1y2＝x2y1题型突破·思维拓展目标1平面向量基本定理的应用1【解析】C(1)选定基底后，根据向量的加、减、数乘运算法则以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．变式1

(1)(多选)已知等腰梯形ABCD满足AB∥CD，AC与BD交于点P，且AB＝2CD＝2BC，则 (

)【解析】【答案】AC

【解析】B目标2向量的坐标表示及运算2【解答】【解析】2(1)利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．(1)求点D的坐标；【解答】【解答】【解答】目标3向量共线的坐标表示

(1)(2025·汕尾、肇庆二模)已知向量a＝(－2，3)，b＝(m－1，3m)，a∥(a＋2b)，则m＝

(

)3【解析】A

(2)如图，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC和OB的交点P的坐标为_________．【解析】3(3，3)两平面向量共线的充要条件有两种形式(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb．变式3

(2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则 (

)A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件【解析】

对于A，当a⊥b时，a·b＝0，所以

x·(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，所以必要性不成立，故A错误；对于C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；【答案】C微探究等和线的应用4【解析】2【解析】4图(1)图(2)【答案】3

【解析】【解析】B1．(2025·潍坊期末)已知向量a＝(1,2)，b＝(m,3)，且a∥(a＋2b)，则m＝

(

)【解析】C2．(教材经典题改编)已知□ABCD的三个顶点为A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为

(

)A．(1,4)

B．(1,5)C．(2,4)

D．(2,5)【解析】B【解析】C【解析】C配套精练A组夯基精练一、单项选择题【解析】C【解析】C【解析】B【解析】D【解析】C【解析】【答案】A【解析】【答案】AC【解析】对于B，若a＝(x1，y1)θ，b＝(x2，y2)θ，则a＝x1e1＋y1e2，b＝x2e1＋y2e2，a＋b＝(x1＋x2)e1＋(y1＋y2)e2，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)θ，故B正确．对于C，若a＝(－1,2)θ，b＝(2,1)θ，则a＝－e1＋2e2，b＝2e1＋e2，则a·b＝(－e1＋2e2)(2e1＋e2)＝－2|e1|2＋2|e2|2＋3|e1||e2|·cosθ＝－2＋2＋3×1×1×cosθ＝3cosθ，故C错误．对于D，若a＝(x1，y1)θ，b＝(x2，y2)θ，则a＝x1e1＋y1e2，b＝x2e1＋y2e2，若a∥b，则当a＝0或b＝0时，x1＝y1＝0或x2＝y2＝0，显然x2·y1＝x1·y2；当a≠0且b≠0时，则存在唯一λ，使得a＝λb，则x1e1＋y1e2＝λ(x2e1＋y2e2)，x1＝λx2，y1＝λy2，消元变形得x2·y1＝x1·y2，故D正确．【答案】BD【解析】【答案】ABC三、填空题10．(2025·新余一模)已知向量a＝(1，－2)，b＝(－1，1)，c＝(－2，m)，若b＋c与a＋3b是共线向量，则实数m＝______．【解析】【解析】－3【解析】(3，1)或(1，－1)【解析】图(1)图(1)【答案】1∶3【解析】2B组创新题体验15．在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横、纵坐标都是整数的点)A(n)：A1，A2，A3，…，An与B(n)：B1，B2，B3，…，Bn，其中n≥3，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段AiAi＋1⊥BiBi＋1，其中i＝1,2,3，…，n－1，则称A(n)与B(n)互为正交点列．(1)求A(3)：A1(0,2)，A2(3,0)，A3(5,2)的正交点列B(3)；【解答】15．在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横、纵坐标都是整数的点)A(n)：A1，A2，A3，…，An与B(n)：B1，B2，B3，…，B