2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第32讲　基本立体图形及几何体的表面积与体积

第七章第32讲基本立体图形及几何体的表面积与体积立体几何知识整合·体系建构1．(教材经典题改编)如图，若长方体ABCD－A′B′C′D′中截去体积较小的一部分，其中EH∥A′D′∥FG，则剩下的几何体是 (

)A．棱台

B．四棱柱C．五棱柱

D．简单组合体C2．(教材经典题改编)已知圆锥的表面积为12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为 (

)A．1cm

B．2cm【解析】

设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2(cm)．B3．如图，一个水平放置的△ABO的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形A′B′O′．若B′A′＝B′O′＝1，则原三角形ABO的面积为______．【解析】4．(教材经典题)已知一个六棱锥的高为10cm，底面是边长为6cm的正六边形，则这个六棱锥的体积为______________．【解析】5．(教材经典题改编)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝16．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，则当底面ABC水平放置时，液面高为______．【解析】121．直观图的斜二测画法(1)原图形中，x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为_________________，z′轴与x′轴、y′轴所在平面________．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的________．(3)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图面积与原图形面积的关系：45°(或135°)垂直一半2．多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形

说明：多面体的表面积是各个面的面积的和．名称棱柱棱锥棱台底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状________________________________体积公式V＝________V＝__________V＝_________________平行四边形三角形梯形Sh3．旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点

轴截面__________________________________圆面矩形等腰三角形等腰梯形名称圆柱圆锥圆台球侧面展开图

侧面积公式S圆柱侧＝________S圆锥侧＝_____S圆台侧＝___________S球＝______体积公式V圆柱＝________V圆锥＝______V圆台＝_______________V球＝______2πrlπrlπ(r1＋r2)l4πR2Sh4．重要结论(1)四棱柱、四面体的结构特征及关系(2)几个与球有关的切、接常用结论：①设正方体的棱长为a，球的半径为R．题型突破·思维拓展目标1基本立体图形视角1

结构特征下列命题中正确的是 (

)A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线B．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥C．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等D．棱台各侧棱的延长线交于一点D1－1识别空间几何体的两种方法(1)定义法：紧扣定义，由已知条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定．(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可．变式1－1

(多选)下面关于空间几何体的叙述正确的是 (

)A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥B．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形C．长方体是直平行六面体D．存在每个面都是直角三角形的四面体CD视角2

直观图已知水平放置的四边形OABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90°，O′A′＝1，B′C′＝2，则原四边形OABC的面积为 (

)1－2【解析】【答案】B在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．视角3

最短路径如图，在正三棱锥S－ABC中，∠BSC＝40°，BS＝2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为

(

)【解析】1－3C立体图形的展开是指将空间图形沿某一条棱展开为平面图形，研究其面积或者距离的最小值，把几何体中的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离问题．变式1－3

如图，圆台的母线AB的长为20cm，上、下底面半径分别为5cm和10cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点B，则这条绳长的最小值为______cm．【解析】图(1)图(2)【答案】50目标2空间图形的表面积

(1)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，D，E分别是CC1，BC的中点，AE＝DE，则此正三棱柱的侧棱长为_______；表面积为_____________．

2【解析】

(2)已知在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为___________．2【解析】

(3)(2025·秦皇岛三模)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的各顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为12π，则平面C1BD截球O所得的截面面积为______．2【解析】【解析】【答案】B目标3空间图形的体积3【解析】【答案】C

(2)如图，已知五面体ABC－DEF中，AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1．已知AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为

(

)3【解析】【答案】C

【解析】微探究祖暅原理内容：幂势既同，则积不容异．含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．应用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的碗口直径为8，高为2，利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为______．【解析】4图(1)

图(2)如图(2)，在以过球心的截面圆为底面圆，以R＝5为高的圆柱中挖去一个等底等高的圆锥，其中圆O1与圆O4在同一平面上，圆O3所在平面截圆柱所得截面的圆心为O5，易知O5M＝3＋h，故圆环的面积也为π[52－(3＋h)2]，即在求瓷碗体积时，符合祖暅原理(备注：瓷碗是图(3)中上方倒扣的部分)．图(3)

图(4)

【解析】图(1)由祖暅原理知，卧足杯的体积等于图(2)中高为h＝3cm的圆柱的体积减去一个圆台的体积．图(2)

【答案】5

54π【解析】B2．(多选)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，AA1＝2，则关于该正四棱台，下列说法正确的是 (

)【解析】【答案】BC3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，E为棱AB的中点．一个点从E出发在正方体的表面上依次经过棱BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA上的点，又回到E，则整个线路的最短长度为_______．【解析】【解析】配套精练A组夯基精练一、单项选择题【解析】B2．(2025·厦门四模)以边长为1的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的体积为 (

)【解析】D3．(2025·南通一调)已知某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60°，则该正四棱锥的体积为 (

)【解析】A【解析】【答案】C5．(2025·济南一模)已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上、下底面面积之差的绝对值为 (

)A．π

B．2πC．4π

D．8π【解析】B【解析】C二、多项选择题7．(2025·晋城二模)已知圆锥的顶点为S，AB为底面直径，△SAB是面积为1的直角三角形，则

(

)【解析】【答案】ABD8．(2022·新高考Ⅱ卷)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥

ED，AB＝ED＝2FB．记三棱锥E－ACD，F－ABC，F－ACE的体积分别为V1，V2，V3，则

(

)A．V3＝2V2B．V3＝V1C．V3＝V1＋V2D．2V3＝3V1【解析】【答案】CD三、填空题9．(教材经典题)如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是________m3．(结果精确到0.01)【解析】0.67【解析】

DP，PC1分别在平面A1B1CD与平面CB1C1内移动，如图，将平面CB1C1以CB1为轴旋转至平面A1B1CD所在平面，得到B1CC′1，则C′1D即为DP＋PC1的最小值．11．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱．若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm，325mm，325mm，且斛量器的高为230mm，则斗量器的高为______mm，升量器的高为______mm．【解析】23【解析】13．已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝