2027届湖南省G30联盟高三联考数学试题（含解析）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2．设集合，，则（

）A． B． C． D．3．已知向量，满足，，则（

）A． B． C． D．4．下列表格记录的是2022年和2023年湖南部分城市常住人口的数据（单位：万人），则由表中数据可知，年度增量数据的40%分位数对应的城市为（

）城市2023年常住人口2022年常住人口年度增量长沙市1051.311042.06+9.25湘潭市270.12270.27-0.15张家界市149.69150.40-0.71娄底市374.32376.01-1.69株洲市385.20387.11-1.91岳阳市499.14501.75-2.61常德市518.68521.30-2.62A．株洲市 B．岳阳市 C．娄底市 D．张家界市5．若函数，则（

）A．的最大值为B．的图象关于直线对称C．在上单调递增D．的图象关于点对称6．（

）A． B． C． D．7．的最大值为（

）A． B． C． D．8．在正四棱柱中，，，，分别为棱，的中点，，均为线段上的动点，，点在线段上，当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．若为上的奇函数，为上的偶函数，则（

）A． B．C． D．10．在中，，，，为直线上一点，且，则（

）A．为钝角 B．C． D．11．已知抛物线，，，，则（）A．与的准线重合B．由，，，的焦点构成的四边形的面积为C．同时与，，，相切的直线只有条D．，，，所围成封闭图形的面积大于三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．将5个颜色互不相同的小球排成一排，则不同的排法数为_______.13．若直线与曲线恰有三个公共点，则=________.14．已知函数若，且，则的取值范围是________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在等差数列中，，且.(1)求的通项公式；(2)记，证明：.16．如图，在三棱锥中，，.(1)证明：平面平面.(2)求三棱锥的体积.(3)求二面角的正弦值.17．已知双曲线的两个焦点为，，且的渐近线方程为.(1)若点在上，且，求；(2)设的左、右顶点分别为，，过点的直线与的右支交于点（异于），且关于的对称点为，若，求直线的斜率.18．已知函数，.(1)求在上的单调区间.(2)证明：在上存在最大值.(3)判断（2）中的是否也是在上的最大值，并说明你的理由.19．某判断规则基于次独立检测，每次检测成功的概率均为，其中，.若次检测中成功次数不小于，则判定为通过，否则判定为不通过.若一个具体的次检测结果满足：无论改变其中任意次检测结果，最终判定都不改变，则称这个检测结果是“稳定”的，其中.(1)当时，求一个随机检测结果是“稳定”的概率.(2)当时，记一个随机检测结果是“稳定”的概率为，证明：.(3)求一个随机检测结果是“稳定”的概率取得最小值时的（用含，的表达式表示）.答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．D【分析】代入离心率公式即可计算.【详解】由离心率公式得：.2．D【详解】，，所以.3．B【分析】利用向量模的平方等于向量自身平方的性质，将两个已知模长等式分别平方后相加，消去数量积项即可求得结果.【详解】由，得.由，得.所以，则.4．A【分析】先把年度增量数据从小到大排，算出百分位数的位置，不是整数就向上取整，匹配对应的城市。【详解】将数据从小到大排列：，因为一共有7个城市，且，所以第3个数即为40%分位数，所以年度增量数据的40%分位数为-1.91，对应的为株洲市.5．B【分析】先利用辅助角公式化简函数解析式得，再逐一验证各选项对应的三角函数性质即可判断正误.【详解】由辅助角公式化简函数：.选项A：因为正弦函数的最大值为，因此的最大值为，显然，故A错误；选项B：因为正弦函数在对称轴位置取得最值，将代入得：，为的最小值，因此是的对称轴，故B正确；选项C：令，解得所以的单调递增区间为，在区间内仅为增区间，为减区间，因此在上不单调递增，故C错误；选项D：正弦函数关于点对称的充要条件是，所以代入得：，因此不是的对称中心，故D错误.6．A【分析】根据复数的运算法则计算.【详解】因为，所以.7．C【分析】根据对数的运算可得原式等于，利用基本不等式可求出的最大值，即可求得答案.【详解】由可知，，由于，当且仅当时等号成立，故，结合，则，故，当且仅当时等号成立，故，当且仅当时取等号，故的最大值为.8．B【分析】先利用对称性和平移法求出取得最小值时的长度，再利用几何法得到直线与底面所成的角为，然后在中即可计算的正切值．【详解】因为分别为棱的中点，所以，在棱上取点，使得，连结，则四边形为平行四边形，故，又因为关于的对称点为，连结，则，因此，当三点共线时，取得最小值，此时，由于底面，连结，则直线与底面所成的角为，而此时，故当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为．9．BC【分析】根据奇偶性的定义结合赋值法求解.【详解】选项AB，为上的奇函数，则，，，所以，A错；B正确；选项C，由B，得，又为上的偶函数，则，，所以，，C正确；选项D，由为上的偶函数，得，所以，D错.10．ABD【分析】选项A，已知三边长，求，使用余弦定理求解即可；选项B，在中，已知直角边，只需求出即可求出，而可在中用余弦定理即可求得；选项C，是的斜边，目前已知直角边和的余弦值，运用直角三角形中的三角函数公式即可解决问题；选项D，与互补，所以，而可在中运用直角三角形中的三角函数公式求得．【详解】选项A，由余弦定理可得，，所以为钝角；选项B，由余弦定理可得，，是锐角，，所以，因为，所以是直角三角形，在中，；选项C，在中，；选项D，因为，所以，即．11．ACD【分析】利用抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系，逐一分析每个选项，结合抛物线平移规律、判别式、对称性求解.【详解】选项A：是右移个单位，准线为；是左移个单位，准线为；二者准线均为轴，完全重合，A选项正确；选项B：由题可知焦点：，焦点：，焦点：，焦点：；四个点构成对角线长均为的菱形，面积，B选项错误；选项C：斜率不存在时设直线为，代入得，令，解得；代入得，令，解得，无公共解，因此斜率不存在时无公切线；斜率存在的直线为，联立与：代入得，令，化简得：；(1)联立与：代入得，令，化简得：；(2)联立与：代入得，令，化简得：；(3)联立与：代入得，令，化简得：；(4)联立(3)(4)得：，代入得，此时得到两条直线和，代入(1)(2)验证：对：，，满足；对：，，亦满足；故这两条直线同时与四条抛物线相切，即公切线共有条；C选项正确；选项D：由，得，则，则在点处的切线为直线与直线交于点．同理可得在点处的切线为直线，与交于点与直线交于点，又点，则的面积为的面积为．所以所围成封闭图形的面积大于，故D选项正确.12．120【详解】5个颜色互不相同的小球排成一排，不同的排法数为.13．【分析】数形结合，根据直线与圆的位置关系列式求的值.【详解】由得或，所以曲线表示两个同心圆，如下图：因为直线，即与曲线恰有三个公共点，所以直线与圆相切.所以.所以.14．【分析】两段函数均为严格单调递增函数，若且，则两点必然不在同一区间，分情况（1），（2），进行求解.【详解】当时，，一次函数单调递增，值域为,当时，，对数函数单调递增，值域为,两段函数均为严格单调递增函数，若且，则两点必然不在同一区间，下面分类讨论，（1），由，得，整理得，由，可得ln⁡x2−32由得，令，，当时，单调递减；时，单调递增，所以的最小值是，因为，所以，所以；（2），由，得，即，,因为，因此，即ln⁡x1≤32⟹0<x由得，,令，求导得,当时，单调递增；时，单调递减，所以的最大值是，因为，所以，所以，综上,则的取值范围是.15．(1)(2)因为，所以.所以，所以.所以.【分析】（1）利用等差数列的通项公式列式求解.（2）利用裂项求和法证明.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则.所以.（2）略16．(1)证明：取的中点，连接，.因为，，所以是等腰直角三角形，，故，.因为，所以是等腰三角形，则有，所以.又，满足，所以是等腰直角三角形，且.因为平面，且，所以平面，又平面，故平面平面.(2)(3)【分析】（1）取底边中点，利用等腰三角形得到垂直，再用勾股逆定理证，得到平面，再进行面面垂直证明即可.（2）直接使用（1）中结论得到的高，再求得底面直角三角形的面积，最后利用锥体体积公式求解即可.（3）利用两两垂直的，，建系，求两个面的法向量，再计算二面角的正弦值即可.【详解】（1）略.（2）由（1）可知，平面，三棱锥的高.而，所以.（3）由（1）可知，，，两两垂直，以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则有，，，，，，.设平面的一个法向量为，则，令，得，故，又平面的一个法向量为，则，由图可知，二面角为锐角，故二面角的正弦值.17．(1)；(2)直线的斜率为或．【分析】（1）由双曲线的焦点坐标、渐近线方程以及可求得，再结合双曲线的定义即可求得，此题需要注意点只会在双曲线的左支上；（2）设出直线的斜率，用点斜式写出直线的方程，将直线与双曲线联立解方程组，求出点，再根据对称性求出点，最后用两点间的距离公式结合即可解决问题．【详解】（1）因为双曲线的两个焦点为，，所以，因为双曲线的渐近线方程为，所以，因为，所以，所以，所以双曲线，因为，所以点一定在双曲线的左支上，由双曲线的定义得，因此，即；（2）因为过点的直线与的右支交于点（异于），所以直线的斜率必存在，可记为且，所以直线的方程为，设，由可得，可得且，于是且，代入直线的方程得，所以点，因为关于的对称点为，所以，所以点，又因为，所以，整理得，解得或，均满足，故或，所以直线的斜率为或．18．(1)函数在，上单调递减，在上单调递增.(2)因为，，所以.设，，则，再设，，则，当时，，所以在上单调递减，又，，所以唯一存在，使得当时，，进而，所以在上单调递增；当时，，进而；当时，，进而，所以在上单调递减.又因为，，所以，所以唯一存在，当时，，进而，所以在上单调递增；当时，，进而，所以在上单调递减.所以，当时，函数取得极大值，记为.(3)（2）中的不是在上的最大值．理由如下：设，当时，，则单调递减，所以，所以当时，，所以．当时，．当时，，所以存在，使得，故（2）中的不是在上的最大值．【分析】（1）求导，分段讨论导函数的符号，确定函数的单调性.（2）通过多次求导，分析函数在上的单调性，确定函数的极大值.（3）判断函数的符号，即可得出结论.【详解】（1）因为.当时，，所以，所以在上单调递减；当时，，所以，所以在上单调递增；当时，，所以，所以在上单调递增；当时，，所以，所以在上单调递减.又，，所以函数在，上单调递减，在上单调递增.（2）略（3）略19．(1)(2)证明：设某个检测结果中成功次数为m.若该结果通过，则，要使改变任意次检测结果后仍通过，只需考虑把次成功改为失败的情况，故需，即；若该结果不通过，则，要使改变任意次检测结果后仍不通过，只需考虑把次失败改为成功的情况，故需，即.因此一个检测结果是“稳定”的充要条件为或.于是，当时，同理有.两式作差得.由组合数恒正、可知两项均大于0，因此即可得证.(3)【分析】（1）根据“2-1稳定”的定义，确定成功次数分别为0，3，4的概率，进而求和即可.（2）根据“稳定”的定义，推导出的表达式，计算差值并化简，证明差值大于0即可.（3）构造函数，则，所以的最小值点等价于的最大值点，然后对求导，根据单调性确定最值点.【详解】（1）由“2-1稳定”可知此时，共进行4次独立检测，且通过