雅可比与高斯塞德尔迭代法收敛性MATLAB实验报告

实验雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性和收敛速度【实验目的】初步认识非线性问题的迭代法与线性问题迭代法的差别，探讨迭代法及初始值与迭代收敛性的关系。掌握迭代法求解线性方程组的基本思想和计算步骤掌握Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代的MATLAB程序实现方法。【实验内容】研究用雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法解下列方程组Ax=方程组1、2：A方程组3、4：A方程组5：A【解】: 对1有Jacobi和Gauss-Seidel迭代收敛，2的Jacobi发散，Gauss-Seidel收敛，3的Jacobi和Gauss-Seidel均发散【程序如下】:收敛性分析：雅可比迭代法：functionM=Jacobi_judge(A,n)disp('判断Jacobi迭代法是否收敛！！！');I=eye(n);D=I.*A;disp('输出D');disp(D);M=I-inv(D)*A;disp('输出迭代矩阵M');disp(M);%迭代矩阵e=eig(M);%求特征值disp('输出特征值');disp(e);fori=1:n%判断谱半径是否小于1，大于1则发散if(abs(e(i))>=1)disp('迭代发散！！！');break;endif(i==n&&abs(e(i))<1)disp('迭代收敛！！！');endend高斯-塞德尔迭代法：functionM=Gauss_Seidel_judge(A,n)disp('判断Gauss_Seidel迭代法是否收敛！！！');I=eye(n);D=I.*A;disp('输出D');disp(D);L=zeros(n,n);U=zeros(n,n);forj=2:nfork=1:(j-1)L(j,k)=-A(j,k);endenddisp('输出L');disp(L);fore=(n-1):-1:1forr=n:-1:(e+1)U(e,r)=-A(e,r);endenddisp('输出U');disp(U);M=inv(D-L)*U;disp('输出迭代矩阵M');disp(M);%迭代矩阵C=eig(M);%求特征值disp('输出特征值');disp(C);fori=1:n%判断谱半径是否小于1，大于1则发散if(abs(C(i))>=1)disp('迭代发散！！！');break;endif(i==n&&abs(C(i))<1)disp('迭代收敛！！！');endend雅可比迭代法：functionJacobiIter(A,B)%brief:雅可比迭代法求方程组的解%param:#1方程组的系数矩阵%#2方程组的右端项%return:无[n,m]=size(A);nb=length(B);assert(n==m,'矩阵A行数和列数必须相等!')assert(n==nb,'矩阵A的行数必须和b的长度相等!')fori=1:nx(i)=0;x2(i)=0;endtol=1;eps=1e-8;i=0;%SOLUTION=[];tols=[];whiletol>=epsi=i+1;forj=1:nfork=1:nifj~=kx(j)=x(j)-A(j,k)*x2(k);endendx(j)=x(j)+B(j);x(j)=x(j)/A(j,j);endtol=norm(x-x2); %前后两步迭代结果的误差x2=x;forj=1:nx(j)=0;endfprintf('第%d次迭代结果：\n',i);disp(x2)%SOLUTION=[SOLUTION;i,x2,tol];tols=[tols,tol];ifi>100break;endendsemilogy(tols);holdon%xlswrite('JacobilIter.xlsx',SOLUTION);End高斯-塞德尔迭代法：functionGaussSeidelIter(A,b)%brief:高斯赛德尔迭代法求方程组的解%param:#1方程组的系数矩阵%#2方程组的右端项%return:#1线性方程组的解%#2迭代次数M=100;%最大迭代次数eps=1e-8;%收敛精度[n,m]=size(A);nb=length(b);x0=zeros(n,1);%迭代初值assert(n==m,'矩阵A行数和列数必须相等!')assert(n==nb,'矩阵A的行数必须和b的长度相等!')L=zeros(n,n);U=zeros(n,n);D=zeros(n,n);fori=2:n forj=1:i-1L(i,j)=-A(i,j); endendfori=1:n-1 forj=i+1:nU(i,j)=-A(i,j); endendfori=1:n D(i,i)=A(i,i);endB=(D-L)\U;%B为迭代矩阵g=(D-L)\b;%g为右端项%pr=max(abs(eig(B)));%求迭代矩阵谱半径%assert(pr<=1,'迭代矩阵谱半径大于1迭代法不收敛')k=0;tol=1;%SOLUTION=[];tols=[];whiletol>=eps x=B*x0+g; k=k+1;%迭代步数 tol=norm(x-x0);%前后两步迭代结果的误差 x0=x;fprintf('第%d次迭代结果：\n',k);disp(x0.')%SOLUTION=[SOLUTION;k,x0.',tol];tols=[tols,tol];ifk>Mbreak;endendsemilogy(tols,'--');legend('雅可比迭代法','高斯-赛德尔迭代法')gridonholdoff%xlswrite('GaussSeidelIter.xlsx',SOLUTION);end【运行结果展示】：雅可比迭代收敛：方程组（1）（2）雅可比迭代发散：方程组（3）（4）（5）高斯-塞德尔迭代收敛：方程组（1）（2）（3）(4)高斯-塞德尔迭代发散：方程组（5）由于结果数字较多，为了便于展示，用折线图展示，其中横坐标为迭代次数，纵坐标为误差。为了使结果更清晰，采用半对数坐标系绘图。两种迭代法求解方程组1比较两种迭代法求解方程组2比较两种迭代法求解方程组3比较两种迭代法求解方程组4比较两种迭代法求解方程组5比