22.3 第2课时 三角形相似判定定理2026-2027学年沪科版九年级数学上册

第22章相似形22.3

相似三角形的判定第2课时

三角形相似的判定定理1学习目标学习重难点重点难点1.掌握相似三角形的判定定理1—两角分别相等的两个三角形相似.2.理解相似三角形判定定理1的推导过程，并能运用定理解决简单的有关问题.运用相似三角形的判定定理1解决简单的有关问题.相似三角形的判定定理1的探索及证明过程.回顾复习怎样判定两个三角形相似？(1)定义法

对应角相等，对应边长度的比相等的两个三角形叫作相似三角形.注：相似三角形的定义既是相似三角形的一种判定方法，又是它的一个性质.(2)预备定理平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似.利用预备定理判定两个三角形相似时，只需“平行”这一个条件就能判定.根据定义，要判定两个三角形相似，必须证明对应角相等，对应边成比例(对应边长度的比相等)；而根据预备定理判定三角形相似必须要有平行线的条件，哪能都有平行线呢？能不能像判定三角形全等一样，用较少的条件就能判定三角形相似呢？接下来，我们来研究：怎样的条件可以判定两个三角形相似.探索新知知识点1两角分别相等的两个三角形相似.

思考已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′.

证明：在△ABC的边AB上截取AD=A′B′，

过点D作BC的平行线DE，交AC于点E，则△ADE∽△ABC，∠ADE=∠B.又∵∠B=∠B′,∴∠ADE=∠B′.又∵∠A=∠A′,AD=A′B′,∴△ADE∽△A′B′C′(ASA),∴△ABC∽△A′B′C′.

可以发现相似三角形的判定定理1

如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（可简单说成：两角分别相等的两个三角形相似）.几何语言：

∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，

∴

△ABC∽△A′B′C′.例题示范

例题示范例2在△ABC和△A'B'Cʹ中，已知∠A=38°，∠C=97°，∠A'=38°，∠B=45°．判断这两个三角形是否相似，并说明理由.解：△ABC∽△A'B'C'.理由如下：∵∠B=180°-(∠A+∠C)=180°-(38°+97°)=45°，∴∠B=∠B'=45°.又∵∠A=∠A'=38°，∴△ABC∽△A'B'Cʹ.

随堂练习1.下列各组条件中不能使△ABC与△DEF相似的是（

）A.∠A＝∠D＝40°，∠B＝∠E＝60°，AB＝DEB.∠A＝∠D＝60°，∠B＝40°，∠E＝80°C.∠A＝∠B＝∠D＝∠E＝60°D.∠B＝∠E＝70°，AB∶DE＝AC∶DF2.下列描述的两个三角形相似吗？请判断正误.（1）两个等边三角形相似.（

）（2）两个直角三角形相似.（

）（3）两个等腰直角三角形相似.（

）（4）有一个角为50°的两个等腰三角形相似.（

）（5）有一个角为100°的两个等腰三角形相似.（

）D√√√××3.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明：△ADE∽△EFC.解：∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.

∵EF∥AB，

∴∠B＝∠EFC，

∴∠ADE＝∠EFC，

∴△ADE∽△EFC.

4.如图，∠ABD＝∠C，AD＝2，AC＝8，求AB的长.解：∵∠A＝∠A，∠ABD＝∠C，

∴△ABD∽△ACB，

∴AB∶AC＝AD∶AB，

∴AB2＝AD·AC.

∵AD＝2，AC＝8，

∴AB＝4.

拓展提升

ABCD（E）2.已知，如图在△ABC中，AB=AC，DE//BC，点F在边A，C上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE.

求证:(1)△DEF∽△BDE.(2)DG·DF=DB·EF.证明：归纳小结相似三角形的判定定理1

如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（可简单说成：两角分别相等的两个三角形相似）几何语言：

∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，

∴

△ABC∽△A′B′C′.第22章相似形22.3

相似三角形的判定第3课时

三角形相似的判定定理2学习目标学习重难点重点难点1.掌握两个三角形相似的判定定理2(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)及其应用.2.体会探究两个三角形相似判定方法的过程.运用相似三角形的判定定理2解决简单的有关问题.相似三角形的判定定理2的探索及证明过程.回顾复习三角形相似的判定方法：(1)定义法：对应角相等，对应边的比例相等的两个三角形相似.(2)预备定理：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似.(3)判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：两角分别相等的两个三角形相似.问题引入问题1.有两边对应成比例的两个三角形相似吗？问题2.类比三角形全等的判定方法（SAS,SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？相似3355探索新知思考对于△ABC和△A′B′C′，如果，∠A=∠A′，这两个三角形一定相似吗？

ABCA＇B＇C＇

ABCA＇B＇C＇DE∴AʹCʹ=AE.∵∠A=∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′(SAS),∴△ABC∽△A′B′C′.相似三角形的判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.简单地说:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.例题示范

例2:如图，在△ABC中，点E在AB上，延长AC到点D，连接DE，与BC相交于点O，问：（1）当∠D满足什么条件时，△ADE∽△ABC？（2）当AE：AC满足什么条件时，△ADE∽△ABC？解:(1)∵∠A=∠A′,

∴当∠D=∠D′时,△ADE∽△ABC.(2)∵∠A=∠A,

∴当AE：AC=AD：AB时，△ADE∽△ABC.

随堂练习1.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O，且将这个四边形分成①,②,③,④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是().A．①与②相似B．①与③相似

C．①与④相似D．②与④相似2.如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD∶AC=1∶3,AE=BE,则有(

)A．△AED∽△BEDB．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABDD．△BAD∽△BCD①④②③BB3.如图,已知△ABC中,D为边AC上一点,P为边AB上一点，AB=12,AC=8,AD=6,当AP的长度为

时,△ADP和△ABC相似..

4或94.如图,D,E分别是△ABC的边AC,AB上的点,AE=1.5,AC=2,BC=3,且

,求DE的长.解：∵AE=1.5,AC=2,∴.∴

,∴

.又∵∠EAD=∠CAB,∴△ADE∽△ABC,∴

.∵BC=3,∴DE=BC=×3=.拓展提升1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB＝BE＝EF＝FC.求证：△AEF∽△CEA.解：设AB=BE=EF=FC=a，∵∠B=90°，∴AE=a.∵∴

且∠AEF=∠CEA.∴△AEF∽△CEA.2.已知，如图，点O是△ABC的垂心，联结AO交CB的延长线于点D

,联结CO交AB的延长线于点E,联结DE

.求证:△ODE∽△OCA.证明:∵O是垂心,∴AO⊥CD,即∠CDO=90︒,同理∠AEO=90︒,∴∠AEO=∠CDO,∵∠O=∠O,△AEO∽△CDO∴

,

∴.△ODE∽△OCA.归纳小结三角形相似判别定理2

如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边成比例，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.简单来说：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.本节课还用到了类比的思想，类比三角形全等.第22章相似形22.3

相似三角形的判定第4课时

三角形相似的判定定理3学习目标学习重难点重点难点1.理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法.2.会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题.运用相似三角形的判定定理3解决简单的有关问题.相似三角形的判定定理3的探索及证明过程.回顾复习判定三角形相似的方法都有哪些？(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.(2)预备定理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.(3)判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.(4)判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.思考:类比全等三角形的判定方法，还有其他判定三角形全等的方法吗？

问题引入′′′如果,猜想△ABC∽△A′B′C′是否成立？有效利用判别定理去求证.探索新知知识点1三角形相似的判别定理3

已知:如图△ABC和△A′B′C′中,.求证:△ABC∽△A′B′C′.证明：在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,过点D作DE∥BC交AC于点E.

∴

△ADE∽△ABC

,∴

,∵AD=A′B′,∴,又∵，∴.A′B′C′ABCDE因此DE=B′C′,EA=C′A′.∴△ADE≌△A′B′C′,∴△ABC∽△A′B′C′.三角形相似的判定定理3

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边成比例的两个三角形相似.ABCDEF符号语言：在△ABC与△DEF中,

∵,∴△ABC∽△DEF.

例题示范例1

根据下列条件判断△ABC与以D,E,F为顶点的两个三角形是否相似.AB=3,BC=4,AC=6;DE=6,EF=8,DF=12.△ABC∽△DEFABCEDF3466812方法总结：把每个三角形的三边按大小顺序依次排列，然后比较它们对应的比值是否相等.

随堂练习1.如图,已知△ABC与△DEF中,AB=5,BC=12,AC=8,DE=10,则当DF=____,EF=____时,△ABC∽△DEF.1624ABCDEF581210相似3:5或3:7或5:72.如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且